![](/user_photo/_userpic.png)
- •Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы
- •Примеры
- •Примеры
- •Формула Грина
- •Формула Грина
- •Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
![](/html/89449/144/html_3bvHKoiIbS.QovV/htmlconvd-D7Zvyp1x1.jpg)
Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Математический анализ 3 семестр
Лекция 4
Криволинейные интегралы.
2 октября 2014 года Лектор: НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н., доцент Ткаченко Дмитрий Сергеевич
![](/html/89449/144/html_3bvHKoiIbS.QovV/htmlconvd-D7Zvyp2x1.jpg)
Криволинейные интегралы
Рассмотрим на плоскости некоторую кривую L, не имеющую точек самопересечения и участков самоналегания.
![](/html/89449/144/html_3bvHKoiIbS.QovV/htmlconvd-D7Zvyp3x1.jpg)
Криволинейные интегралы
Пусть эта кривая задана одним из трёх способов: 1) в декартовых координатах
yy(x), x [a, b],
2)в полярных координатах
r r( ), [ , ],
3) параметрически
L : |
x x(t), |
t [a, b], |
|
||
|
y y(t). |
|
Поскольку первые два способа являются частными случаями третьего, основные действия будем проделывать для случая параметрического задания кривой.
![](/html/89449/144/html_3bvHKoiIbS.QovV/htmlconvd-D7Zvyp4x1.jpg)
Криволинейные интегралы
Полагая, что функции, задающие кривую, непрерывно дифференцируемы, введём определение.
Опр. Дифференциалом дуги кривой L называется 1)в декартовых координатах
dl 1 y 2 (x) dx,
2)в полярных координатах
dl r2 ( ) r 2 ( ) d ,
3)в случае параметрического задания
dl x 2 (t) y 2 (t) dt.
![](/html/89449/144/html_3bvHKoiIbS.QovV/htmlconvd-D7Zvyp5x1.jpg)
Криволинейные интегралы
Поясним геометрический смысл этого определения на примере параметрически заданной кривой.
Поскольку по теореме Пифагора
l x2 y2 ,
а |
|
|
|
x dx x (t) dt , |
y dy y (t) dt , |
Получаем формулу из определения:
l dl x2 y2
x 2 (t) y 2 (t) dt.
![](/html/89449/144/html_3bvHKoiIbS.QovV/htmlconvd-D7Zvyp6x1.jpg)
Криволинейные интегралы
![](/html/89449/144/html_3bvHKoiIbS.QovV/htmlconvd-D7Zvyp7x1.jpg)
Криволинейные интегралы
Введём на кривой L разбиение. Для этого разобьём отрезок [a, b] на
частичные отрезки
a t0 t1 t2 . . . tn b,
получаем, что кривая L тоже разбивается на частичные дуги точками с координатами
x(t0 ), y(t0 ) , x(t1 ), y(t1 ) , x(t2 ), y(t2 ) , . . . , x(tn ), y(tn ) .
На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку
i ti 1, ti .
Ей на кривой будет соответствовать некоторая точка частичной дуги
i , i L , |
i x( i ), |
i y( i ). |
Диаметром построенного разбиения будем называть
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max dl |
max (x |
x |
)2 ( y |
i |
y |
i 1 |
)2 . |
|||
1 i n |
i |
1 i n |
i |
i 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/89449/144/html_3bvHKoiIbS.QovV/htmlconvd-D7Zvyp8x1.jpg)
Криволинейные интегралы
![](/html/89449/144/html_3bvHKoiIbS.QovV/htmlconvd-D7Zvyp9x1.jpg)
Криволинейные интегралы
Пусть теперь в каждой точке кривой заданы непрерывные функции
f (x, y), P(x, y), Q(x, y).
Выражения
|
n |
|
|
1 f ( i , i ) li , |
|
n |
i 1 |
n |
2 P( i , i ) xi , |
3 Q( i , i ) yi |
|
i 1 |
|
i 1 |
мы будем называть первой, второй и третьей интегральной суммой, соответственно.
![](/html/89449/144/html_3bvHKoiIbS.QovV/htmlconvd-D7Zvyp10x1.jpg)
Криволинейные интегралы
Если теперь рассмотреть всевозможные разбиения отрезка [a, b] на частичные отрезки и всевозможные способы выбора произвольных точек
i ti 1, |
ti |
и устремить диаметр разбиения к нулю (т.е. рассматривать только разбиения со всё меньшим диаметром), то интегральные суммы будут стремиться к своим пределам, которые мы будем называть
криволинейным интегралом первого и второго рода, соответственно, и обозначать:
f (x, y) dl, |
P(x, y) dx, |
Q(x, y) dy, |
L |
L |
L |
причём сумму двух последних интегралов называют общим криволинейным интегралом второго рода и обозначают
P(x, y) dx Q(x, y) dy.
L