Необходимые и достаточные условия
Необходимое условие.
Всякая интегрируемая функция ограничена на G. Достаточное условие. Если функция f(x,y,z) непрерывна на измеримом компакте G , то она интегрируема на G. Замечание о кусочной непрерывности.
f1(x, y, z), |
x, y, z G1 |
|
|
(x, y, z), |
x, y, z G2 |
f(x,y,z)= f2 |
||
|
(x, y, z), |
x, y, z G |
f3 |
||
Свойства интеграла
|
|
|
|
|
|
|
1. Линейность. |
|
f g)dxdydz |
|
|
||
|
|
fdxdydz |
gdxdydz |
|||
|
G |
|
|
|
G |
G |
2. Аддитивность по множеству. G G1 G2 |
|
|||||
|
fdxdydz fdxdydz fdxdydz |
|
||||
|
G |
G1 |
|
|
G2 |
|
3.Теорема о среднем. Функция f (x, y, z) непрерывна на компакте G. Тогда существует точка xc , yc , zc G, для которой
f (x, y, z)dxdydz f (xc , yc , zc ) (G)
G
4. Оценка отклонения интеграла от интегральной суммы:
f (x, y, z)dxdydz S f (G ) f ( ) (G)
G
Повторное интегрирование
1. G Пba1 ,,ba2 ,,ba3 |
параллелепипед |
||
1 |
2 |
3 |
|
b1 b2 b3
f (x, y, z)dxdydz dx dy f (x, y, z)dz
|
G |
|
a1 a2 a3 |
2.T a,b D a;b |
|
прямой цилиндр |
|
D |
|
|
|
b
f (x, y, z)dxdydz dz f (x, y, z)dxdy
|
D |
|
G |
|
|
|
|
|
a |
D |
|
|
|
3. |
x, y, z |
: |
x, y |
|
|
|
стандартная по OZ |
||||||
V ,g |
|
|
|
D, g(x, y) z (x, y) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( x, y) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y, z)dz |
||||||
|
|
|
|
|
f |
(x, y, z)dxdydz |
dxdy |
|
|||||
G |
D |
g ( x, y) |
Повторное интегрирование
4. G Gc
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f (x, y, z)dxdydz dp |
f (x, y, p)dxdy |
|
|||
|
|
G |
|
a |
Dp |
|
|
Пример. Вычислить x2dxdydz по области G ограниченной |
|||||||
|
|
|
|
G |
|
|
|
поверхностями: z y2 , z 4 y2 , z x, z 2x, z 1, y 0. |
|
||||||
Решение. Проводим сечение плоскостью z p, тогда x |
p |
, x p, |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
||
y |
, y p, p |
|
0;1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример вычисления интеграла
|
1 |
|
|
1 |
p |
p |
3 |
8 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
108 |
||||||
x2dxdydz |
dp |
x2dxdy dp |
x2dx |
|
dy 1 |
7 |
p2 dp |
7 |
|||
|
|
||||||||||
G |
0 |
|
Dp |
0 |
p/2 |
p /2 |
|
|
0 |
|
|
Замена переменной
x x(u,v, w),
Опр. Замена переменной y y(u,v, w), - это биекция Gu,v,w Gx, y,z
z z(u,v, w)
( граница в границу). Предполагаем, что функции x(u,v, w), y(u,v, w) и z(u,v, w) непрерывно-дифференцируемые.
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
xu |
xv |
xw |
|
Определитель J (u,v, w) |
|
|
|
0 якобиан преобразования |
yu |
yv |
yw |
||
|
|
|
|
|
|
zu |
zv |
zw |
|
Сферическая замена
|
x r cos cos , |
|
|
|
|
|
||
1. |
|
|
|
; |
||||
y r sin cos , |
сферическая замена, 0;2 , |
2 |
2 |
|
||||
|
|
z r sin |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos cos |
r sin cos |
r cos sin |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
Якобиан J (r, , ) |
sin cos |
r cos cos |
r sin sin |
|
||||||||
|
|
|
sin |
0 |
r cos |
|
||||||
r sin2 cos |
|
sin |
cos |
|
r cos3 |
|
cos |
sin |
|
r cos |
||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
cos |
sin |
|
|
|
|
sin |
cos |
|
|
|
Цилиндрическая замена
x r cos , |
|
|
|
2. Замена y r sin , цилиндрическая, 0;2 , r 0, h R |
|
|
z h |
|
|
J (r, , h) r якобиан преобразования.
Формула замены переменной
Теорема. (замена переменной в тройном интеграле) Пусть F(x, y, z) непрерывная функция на компакте G ,
x x(u,v, w),
Замена переменной y y(u,v, w), осуществляет биекцию
z z(u,v, w)
области Gu,v,w на Gx, y,z с непрерывно-дифференцируемыми функциями x(u,v, w), y(u,v, w) и z(u,v, w). Тогда
F(x, y, z)dxdydz
Gx,y ,z
F(x(u,v, w), y(u,v, w), z(u,v, w)) J (u,v, w) dudvdw
Gu ,v,w
Пример
Пример. Вычислить интеграл x2 y2 dxdydz, где область G
G
ограничена поверхностями: x2 y2 2z, z 2
Прообразом G при цилиндрической замене является область
r, ,h |
|
|
: 0 2 , 0 h |
2, 0 r |
|
. Тогда |
|||
G |
|
r, , h |
2h |
||||||
x2 y2 dxdydz |
2 |
2 |
2h |
|
2 |
|
|||
d |
dh |
|
r3dr 2 |
h2dh 16 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
G |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|