Пример 3
Пример 3. Вычислить интеграл x ydxdy , где G треугольник,
G
ограниченный прямыми: x 0, y 0, x y 1
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. x ydxdy dx x ydy |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
G |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
y 1 x |
2 |
1 |
|
|
3 |
|
2 |
|
2 |
5 |
|
x 1 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
y 0 |
dx |
|
1 x |
2 |
|
dx |
|
|
x |
|
x2 |
|
|
x 0 |
|
||
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
5 |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Интегрирование по стандартной области
Аналогично доказывается формула вычисления двойного интеграла для стандартной области:
Kс,d ( , , y) x, y
F(x, y)dxdy
Kc,d
|
|
|
: c y d, ( y) x (y) |
||
d |
( y) |
|
|
F(x, y)dx dy |
|
|
|
|
c |
( y) |
|
Вопросы и упражнения к экзамену
1. Измеримые множества, мера множества, примеры измеримых множеств.
2.Понятие двойного интеграла. Необходимые условия интегрирования.
3.Теорема об интегрируемости непрерывной функции на компакте.
4.Свойства двойного интеграла.
5.Повторное интегрирование. Вычисление интеграла по прямоугольнику.
6.Вычисление двойного интеграла по стандартной области. Примеры.
a x a a
7. Докажите формулу Дирихле: dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx, a 0
0 0 0 y
Дистанционный курс общей физики НИЯУ МИФИ
Математический анализ. «Двойной интеграл 1» Лекция 1
Завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Двойной интеграл 2.
Лекция состоится в четверг 19 сентября в 14:30 по Московскому времени.