Продолжение

5. Аддитивность интеграла по множеству:

Если G1 и G2 измеримых, пересекающихся по границе, функция f (x, y) интегрируема на G1 и G2 , то она интегрируема на G G1 G2 и

Необходимое условие интегрируемости

Теорема. Если функция f (x, y) интегрируема на области G, то она ограничена на ней.

Док. От противного. Предположим, что функция f (x, y) неограничена. Тогда она неограничена хотя бы на одном П G и существует последовательность точек M n П , для которых f (M n ) n. Последовательность интегральных сумм, для которых не меняются точки M для и M M n , неограничена, поскольку все ее слагаемые не меняются, кроме одного, которое f (M n ) (П ) n (П ) становится как угодно большим. Последнее противоречит интегрируемости функции.

Достаточные условия интегрируемости

Теорема ( достаточные условия интегрируемости)

Область G - измеримый компакт, f (x, y) непрерывна на G. Тогда функция f (x, y) интегрируема на G.

Док. Из непрерывности функции f (x, y) на компакте следует,что она равномерно непрерывна на G :

0 0 : : d( ) , П ( f , П ) (G) Возьмем два разбиения , с параметром d( ) , d( ) и их объединение , содержащее прямоугольники П такие, что любой из прямоугольников П разбиений , является их объединением.

Достаточные условия интегрируемости

Тогда для любого П = П и любых точек M и M

справедлива оценка: f (M ) (П ) f (M ) (П )

f (M ) f (M ) (П ) ( f , П ) (П )

Интегральную сумму S , f для разбиения разобьем на две части

Достаточные условия интегрируемости

Аналогично, S( , f ) S( , f ) 2 . Тогда

и по критерию Коши интеграл Римана существует.

Замечания

Замечание о кусочно-непрерывности.

Функция f (x, y) кусочно-непрерывна на G, если множество точек ее разрыва (типа скачка) представляет кусочно-гладкую кривую в G. Мера множества точек разрыва равна нулю.

Кусочно-непрерывная функция интегрируема на G. Область с кусочно-гладкой границей измерима.

Вычисление двойного интеграла

Формула для вычисления двойного интеграла по прямоугольнику. Для непрерывной функции f (x, y) на прямоугольнике Пac,,bd :

Пример 2

Пример 2. Вычислить интеграл xydxdy.

Вычисление интеграла по области

Формула для вычисления интеграла по стандартной области.

Ka,b ( f , g, x) x, y : a x b, g(x) y f (x)