Представления функций рядом Тейлора
f ( x) (1 x) |
|
|
||
|
( 1)...( n 1) |
|
||
y( x) |
|
xn xn |
||
n! |
||||
n 0 |
n 0 |
n |
||
|
|
cn |
|
|
n 1 |
|
|
||
R lim |
|
|
lim |
|
|
1 |
|||
c |
n |
||||||||
n |
|
n |
|
|
|||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| x | 1 |
f ( x) y( x) |
|
|
|
|
|
|
Представления функций рядом Тейлора |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Лемма 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 : |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1: |
|
(n 1) |
|
|
|
|
( 1)...( |
n 1) |
|
( 1)...( n) |
|
|||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)! |
|
|
|
n! |
|
|
|||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
( 1)...( n 1) |
1 |
|
|
n |
|
( 1)...( n 1) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
(n 1)! |
|
|
n |
|
|
|
(n |
1)! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|||||||||||
Представления функций рядом Тейлора
Лемма 2.
(1 x) y '( x) y( x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y '( x) nxn 1 |
nxn 1 |
(n 1)xn |
||||||||||
|
|
n 0 |
n |
n 1 |
n |
|
|
n 0 |
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy '( x) |
nxn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n 0 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 x) y '( x) xy '( x) y '( x) nxn |
(n 1)xn |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 0 |
n |
|
|
n 0 |
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n |
(n 1) |
xn |
xn y( x) |
|||||||||
n 0 |
|
n |
|
n |
1 |
|
n 0 |
n |
|
|
|
|
Представления функций рядом Тейлора
(1 x) y ' y
dyy 1dxx , ln | y | ln |1 x | const
y C(1 x) y(0) 1 C 1
y (1 x)
Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Математический анализ. Лекция 12 завершена.
Спасибо за внимание!