Представления функций рядом Тейлора
Представления функций рядом Тейлора
f (n) ( x) ex | f ( n) ( x) | e
( x ( ; ))
Отсюда следует, что наша функция раскладывается в ряд Тейлора в любом интервале, т.е. на всей числовой прямой.
Представления функций рядом Тейлора
Представления функций рядом Тейлора
?
Представления функций рядом Тейлора
f |
( n) |
|
n |
|
| f |
( n) |
( x) | 1 |
|
|
( x) cos x |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(в любом интервале x ( ; ))
Отсюда следует, что наша функция раскладывается в ряд Тейлора в любом интервале, т.е. на всей числовой прямой.
Представления функций рядом Тейлора
?
Представления функций рядом Тейлора
f |
( n) |
|
n |
|
| f |
(n) |
( x) | 1 |
|
|
( x) sin x |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(в любом интервале x ( ; ))
Отсюда следует, что наша функция раскладывается в ряд Тейлора в любом интервале, т.е. на всей числовой прямой.
Представления функций рядом Тейлора
Представления функций рядом Тейлора
(Здесь применение достаточного условия не нужно, разложение функции |
! |
в ряд следует из теоремы о почленном интегрировании степенных рядов) |
Представления функций рядом Тейлора
Пример: |
|
f ( x) (1 x) |
|
|
|
||
f ( n) ( x) ( 1)...( n 1)( x 1) n |
|
||||||
f ( n) (0) ( 1)...( n 1) |
|
|
|
||||
c |
|
f ( n) (0) |
|
( 1)...( n 1) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
n! |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||
|
|
|
|
||||
Если натуральное, то |
|
|
Cn |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|