Ряд Тейлора
|
|
|
|
n |
( n) |
(0) |
|
|
|
f |
(n 1) |
(ξ) |
|
|
|
|
|||||
|
|
f ( x) |
f |
|
( x a)n |
|
|
( x a)n 1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
n! |
|
(n 1)! |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( n) |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
f |
( n 1) |
(ξ) |
|
|
|
||||
|
f ( x) |
f |
|
( x a)n |
lim |
|
|
( x a)n 1 |
0 |
|
|||||||||||
|
n! |
(n 1)! |
|
||||||||||||||||||
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Замечание : |
xn x xn 1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
lim |
f ( n) (ξ) |
( x a)n |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ряд Тейлора
|
|
f ( n) (ξ) |
( x a)n |
|
|
| f |
( n) (ξ) | |
| x a |n |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
n! |
|
|
n! |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Cbnn! |
| x a |
|n C(b | x a |)n 0 |
|||||
|
|
n! |
|
|||||||
(если только |
b | x |
a | 1, |
т.е. | x a | 1 / b ) |
|||||||
Ряд Тейлора
Следствие. Пусть в интервале (a ;a ) функция
f ( x) бесконечно дифференцируема и в этом интервале с некоторой постоянной M при всех n выполнено неравенство
| f ( n) ( x) | M .
Тогда функция f (x) разложима в ряд Тейлора в этом интервале.
Ряд Тейлора
Достаточно показать, что выполнено неравенство
|
| f (n) ( x) | Cbnn! |
при |
b 1 / |
|
|
В этом случае |
|
|
1 min( ,1 / b) min( , ) . |
Ряд Тейлора
xn M n n!
Известно, что предел этой последовательности равен нулю.
n n!
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 2 3 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
m! |
|
|
|
|
|
|
|
m 1 |
|
m 1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
m |
|
|
n m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
n |
Cq |
n |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
m! |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
m 1 |
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
q |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m! |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ряд Тейлора
M n |
0 |
|
n! |
||
|
||
|
|
В частности, она ограничена, т.е. существует такое C>0, что
M n |
C |
|
M C |
n! |
|
n! |
n |
||||
|
|
|
Следовательно,
| f ( n) ( x) | M C nn! Cbnn! (b 1 / )
Представления функций рядом Тейлора
Представления функций рядом Тейлора
Представления функций рядом Тейлора
