Признаки Дирихле и Абеля

1. bn сходится Bn

n 1 посл.част.сумм огр.посовок.

n 1

2. a

n

монот. и

огр. lim a

n

a

a

n

a

0

n 1

n

монот.невозр.или

монот.неубыв.

a a

Тогда

anbn an

bn an a

bn +a bn

сходится.

n 1

n 1

n 1

n 1

( 1)

n n

n .

Задача: Исследовать сходимость ряда

т 2

ln n

Решение:

Пусть an : an n n. Она ограничена: n 1 an 3 3,

и монотонно убывает при n 3.

n

сходится попризнаку

Сдругойстороны,ряд bn ( 1)

n 1

n 1 ln n

n

n

n

сходитсяпо

Лейбница.Значит,исследуемыйряд ( 1)

n 1

ln n

расх.попризнакам сравнения:егообщ.член

n n

эквив

1

1

.

ln n

ln n

n

n

Если ряд un сходится абсолютно, то ряд

un , полученный из него перестановкой

n 1

n 1

членов также сходится и имеет ту же сумму.

Если ряд un сходится условно, то

L , конечного или равного

, можно так

n 1

переставить члены ряда un , что получится ряд un , сумма которого равна L.

n 1

n 1

1

n

Исследовать на сходимость ряд

.

n

n 1

1

n

1

1

1

1

1

1

...

...

n

2

3

4

5

8

n 1

1

m

1

...

1

m

vm ,

2

2

... 1

m

m 2m

n 1

0 v

1

...

1

1

...

1

2m 1

0

m2

m2 2m

m2

m2

m

m2

Покажем, что v

0 :

v

v

1

m монот. убыв.

m

m 1

1

1

2m

1

m

2

k

m

2

2m k 1

m

2

4m 2

m

2

4m 3

k 0

2m

2m 1

1

1

m

k m

4m 2

m

4m 3

2

2

m

2

2

k 0

2m k 1

2m

2m 1

1

1

m

2

2m

m

2

4m

m

2

4m 1

m

2

4m 1

k 0

1

2m 1

2

2

2m

2

1

0.

m2

2m

m2

4m 1

m2 4m 1

m2

2m

m2 4m 1