Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Лекции / Metodichka_Grishina (1)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

6.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

. Если b

, то

bn 1

an 1

выберем число q :1 q p . Тогда ряд bn

n 1

(n 1)q		1	q
	1
nq
		n

сходится и

1	q	o	1	. Пусть
1		o		. Пусть

	n n

n0 : n n0

n 1

, что по лемме означает сходимость ряда (1).

n 1

Пусть p 1

. Выберем число q : p q 1

. Тогда ряд (2) расходится и

a		b	b	a		n n
	n	n	n 1	n 1	для		. Тогда по лемме ряд (1) расходится.
						0
a		b	b	a
	1
n		n 1	n	n

В завершении приведем формулировку достаточного признака сходимости рядов с положительными членами, объединяющий признаки Даламбера и Раабе.

Теорема 9 (признак Гаусса)

p 1

Если для ряда

an , n 1

найдутся числа

n	, , ,
0

0,C

, для которых

с ограниченной последовательностью

C, n n

, то

n 1

При 1

ряд сходится.

При 1

ряд расходится.

При 1, 1

ряд сходится

При 1, 1

ряд расходится

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1.Понятие сходимости числового ряда. Критерий Коши для сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости.

2.Числовые ряды с положительными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с положительными членами.

3.Числовые ряды с положительными членами. Признак сравнения 1 рядов с положительными членами.

4.Числовые ряды с положительными членами. Признак сравнения 2 рядов с положительными членами.

5.Числовые ряды с положительными членами. Признак Даламбера.

6.Числовые ряды с положительными членами. Интегральный признак Коши.

7.Числовые ряды с положительными членами. Радикальный признак Коши.

8.Числовые ряды с положительными членами. Признак Раабе.

Ф-03-Лекция 12. Знакопеременные ряды. П.1 Абсолютная и условная сходимости.


ОПР. Ряд an	(1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
n 1

составленный из модулей членов ряда (1). Теорема 1. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

ДОК. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши:

 an

n 1

(2),

0 N

Поскольку

a	n	a	n 1	... a	m
	n		n 1		m

a	n

: n N , m n

an 1 ... am

a	n	a	n 1

, для ряда(1)

... am

выполняется критерий Коши и ряд

сходится.

Любой из достаточных признаков сходимости рядов с положительными членами может быть использован как достаточный признак абсолютной сходимости знакопеременного ряда. Например, ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА абсолютной сходимости знакопеременного ряда.

Если для общего члена

a	n

знакопеременного ряда

an

n 1

(1) выполняется одно из условий:

		a	1
1.	n0 , : 0 1: n n0	n
		a

		n

;

2.	lim
	n

a	1
n
a	n

, то ряд (1) абсолютно сходится.


ОПР. Числовой ряд an (1) называется условно сходящимся, если (1) сходится, а ряд
n 1

an (2), составленный из модулей его членов, расходится.
n 1
		x	n

Пример 1. При каких x			?
Пример 1. При каких x	сходится ряд n!		?
	n 1	n

Применим признак Даламбера для установления абсолютной сходимости:

an 1

(n 1)! x n 1 nn

1 n

1 x e; e

1)n 1 x

n 1

При

ряд сходится абсолютно. При x e

ряд расходится по невыполнению

необходимого признака. При x e

n 1

. Из условия монотонного возрастания последовательности

следует, что an 1 1и общий член к нулю не стремится. an

Чтобы понять разницу между абсолютной и условной сходимостями числовых рядов докажем теорему, утверждающую, что члены абсолютно сходящегося ряда можно менять местами без потери сходимости и изменения суммы ряда. Условно сходящиеся ряды при изменении порядка слагаемых могут изменять свою сумму.

Теорема 2. (Дирихле)


Пусть ряд	an	(1) сходится абсолютно и m1, m2 ,..., mn ,... любая перестановка множества
	n 1

натуральных чисел. Тогда ряд bn			(3) с общим членом bn	am	также сходится
					n
		n 1

абсолютно и имеет ту же сумму.

ДОК. Для каждой частичной суммы n

сумма m(n) a1 a2 ... am(n) ряда



n 1

b	b
1	2

a	n	, (2)
	n


... bn	ряда bn	, найдется частичная
	n 1

, включающая все слагаемые суммы n . В

свою очередь,

найдется частичная сумма

	N (n)

ряда bn , содержащая все

n 1

слагаемые суммы m(n) . Тогда n

m(n)

N (n) . Из абсолютной сходимости ряда (1)

следует, что частичные суммы m(n)

имеют предел, а поэтому ограничены. Тогда в силу

неравенства ограничены частичные суммы

и ряд (3) сходится абсолютно. Пусть S 1

, S

и Sn частичные суммы рядов (1), (2) и (3) соответственно и S –сумма ряда (1).

Тогда из абсолютной сходимости ряда (1) следует, что

0 N : m N , n m SN S

, Sn Sm

Существует число p p N такое, что для любого m p

содержит

частичная сумма Sm

первые N членов ряда (1) и поэтому

Sm S N содержит сумму членов ряда (3) с номерами

большими N, что по выбору числа N означает S

S 3

.Тогда

S S 3

S S 1 S 1

S 3

т.е. суммы рядов (1) и (3) совпадают.

Для условно сходящегося ряда справедлива

Теорема 3. (Риман) (без доказательства)

, существует

Если ряд an (1) сходится условно, то для любого числа

n 1

перестановка членов ряда (1), при которой он сходится и имеет сумму . П.2. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда.

Опр. Пусть

a	n

числовая последовательность. Ряд


( 1)	n 1	an
( 1)		an
n 1

(4) называется

знакочередующимся.

Теорема 4. (признак Лейбница)

Если последовательность an , an 0 монотонно убывающая и lim an 0 , то ряд (4)

n 1 n

сходится. Док.

S2k 1 a1 (a2 a3 ) (a4 a5 ) ... (a2k a2k 1) a1 , поскольку каждая из скобок неотрицательная. Тогда все частичные суммы ряда (4) с нечетными номерами ограничены. Ограниченными являются также и частичные суммы с четными номерами, поскольку S2k S2k 1 a2k 1 S2k 1 a1 . Кроме того, последовательность S2k монотонно

возрастающая:

S2k (a1 a2 ) (a3 a4 ) ... (a2k 1 a2k ) S2k 2 , k N

На основании теоремы Вейерштрасса последовательность S2k				имеет предел S	. Тогда тот
же предел имеют и частичные суммы с нечетными номерами, поскольку S2k 1					S2k a2k 1

Для знакочередующихся рядов остаток ряда ( 1)	k	ak 1	также является
Для знакочередующихся рядов остаток ряда ( 1)		ak 1	также является
k m

знакочередующимся рядом с суммой Rm

, поэтому Rm

am 1

. Последнее неравенство

называется оценкой остатка знакочередующегося ряда: отбрасывание из ряда всех слагаемых с номерами большими m приводят к ошибке вычисления суммы ряда меньшей модуля первого отброшенного члена.

				( 1)		n
Пример 2. При каких x сходится ряд				( 1)		?
Пример 2. При каких x сходится ряд				n	x	?
					x
			n 1
			n 1
При x 0 последовательность	1		монотонно стремится к нулю и ряд сходится по
При x 0 последовательность	n	x	монотонно стремится к нулю и ряд сходится по
		x

признаку Лейбница. При x 1	сходимость абсолютная.

Замечание. Требование монотонности в признаке Лейбница существенно.

					( 1)	n 1
					( 1)
Действительно, ряд					n
				n 1	n
n :	1	1	0	, а для нечетных
n :	n	n	0	, а для нечетных
	n	n

монотонности.

П.3. Преобразования АБЕЛЯ

1 n 1 n

знакочередующийся, поскольку для четных
знакочередующийся, поскольку для четных

	1	0	, но расходящийся, поскольку нет
	n	0	, но расходящийся, поскольку нет
	n

Рассмотрим преобразование конечной суммы

m ak bk

, которое связывают с именем Абеля.

k 1

Для любых чисел ak

и bk , k 1, 2,..m справедливо представление:

m 1

ak bk

am Bm ak Bk ,

k 1

ak 1 ak

b1 b2

... bk

где ak

ДОК. (индукцией по числу m )

При m=2 формула справедлива: a1b1

a2b2 a2

(b1 b2 ) (a2

a1 )b1

Предположим, что формула верна для m и докажем ее справедливость m+1:

m 1

a b

m 1 m 1

m m

m 1 m 1

k 1

Bk + am 1 am Bm = am 1Bm 1

Bk .

- ak

k 1

Теорема 5. (Признак АБЕЛЯ).

Пусть 1) ряд

сходится 2) последовательность b

монотонна и ограничена. Тогда

n 1

ряд an bn

(5) сходится.

n 1

ДОК. Воспользуемся преобразованием Абеля для оценки отрезка ряда (5):

m 1

ak bk

bm an

an 1

... am

bk 1

bk an an 1

... ak

(@)

k n

Для любого 0 N : n N , m n an an 1

... am

и bm bn

Здесь константа B 0

ограничивает значения модулей членов последовательности bn :

B для все n . Пусть последовательность b монотонно растет:

bk 1

0 (в противном случае (bk 1

bk ) 0 ). Тогда второе слагаемое оценивается

m 1

(bk 1

bk )(an

an 1

... ak )

(bk 1

bk ) an

an 1

... ak

k n

m 1

bk 1 bk

(bm bn ) .

Первое слагаемое оценивается:

bm (an

an 1 ... am )

bm an

an 1 ... am

Тогда

ak bk

для всех n N, m n и для ряда(5) выполняется критерий

k n

Коши, что завершает доказательство теоремы.

( 1)n n n

Пример 3.

Исследовать ряд

на сходимость.

ln n

n 2

Применим признак Абеля:

( 1)

ln n

Ряд

сходится по признаку Лейбница, последовательность bn

n e

ln n

n 1

( 1)

n n

монотонная и ограниченная. Ряд

сходится. Абсолютной сходимости нет,

ln n

поскольку

, а ряд

расходится.

ln n

n 2

Теорема 6. (Признак Дирихле)

Пусть

1) частичные суммы Sm an

ограничены;

n 1

2) последовательность bn монотонно стремится к нулю.

Тогда ряд

an bn

сходится.

n 1

ДОК. Воспользуемся преобразованием Абеля (@).

Тогда

0 N : n N , m n b

, b

2 A

где

– константа, ограничивающая значения отрезков ряда

n 1

... a

A, n, k

Первое слагаемое в (@) оценивается:

b (a

... a

) b

... a

A .

n 1

2 A

Второе слагаемое, с учетом знакопостоянства bk 1 bk

0 для всех k ,

(монотонность bn ), (или (bk 1 bk ) 0 ) оценивается:

m 1

(bk 1

bk )(an

an 1

... ak )

(bk 1

bk ) an

an 1

... ak

k n

	m 1
	m 1
A bk 1 bk A(bm bn ) .
	k n												2
	k n
			m


Тогда			ak bk			2		2			для всех n N, m n										и для ряда выполняется критерий Коши,
			k n			2		2
что завершает доказательство теоремы.
													sin n
Пример 4. Исследовать ряд													sin n		на сходимость.
Пример 4. Исследовать ряд														n	на сходимость.
											n 1			n
					1																								m
an	sin n, bn				1	0			. Докажем ограниченность частичных сумм ряда sin n :
an	sin n, bn					0			. Докажем ограниченность частичных сумм ряда sin n :
					n																								n 1
																													n 1
										sin	1	sin1 sin					1	sin 2 ... sin				1	sin m
										sin	2	sin1 sin					2	sin 2 ... sin				2	sin m
sin1 sin 2 ... sin m											2						2					2
sin1 sin 2 ... sin m																			1
																		sin	1
																		sin	2
																			2
	cos	1	cos	3	cos		3		cos		5	...		cos		2m 1				cos	2m 1			cos	1	cos		2m 1
	cos	2	cos	2	cos		2		cos		2	...		cos				2		cos	2			cos	2	cos			2
		2		2			2				2							2			2				2				2
													1														1
										2sin			1													2sin	1
										2sin			2													2sin	2
													2														2

Тогда справедлива оценка sin1 sin 2 ...

	sin n
Дирихле ряд	sin n	сходится. Докажем,
Дирихле ряд	n	сходится. Докажем,
n 1	n		sin		n	1 cos 2n
	sin n		sin	2	n	1 cos 2n
				2
Действительно,	n			n		2 n
	n			n		2 n

sin m

для всех m

.Тогда по признаку

sin

что сходимость ряда условная.

sin n

cos 2n

n 1

			cos 2n
Сходимость ряда			cos 2n	доказывается аналогично, обобщенный гармонический ряд
Сходимость ряда			n	доказывается аналогично, обобщенный гармонический ряд
		n 1	n
	1			m		n
	1	расходится, поэтому частичные суммы			sin	n	неограниченные и абсолютной

	n					n
n 1	n			n 1		n

сходимости ряда нет П.4. Общая схема исследования числового ряда.

1.Проверяют выполнение необходимого признака сходимости. Если он не выполнен, исследование закончено - ряд расходится.

2.Выясняют, является ли данный ряд знакоопределенным? (все члены положительные или отрицательные). Если да, то подбирают подходящий достаточный признак (сравнения с известным рядом, Даламбера, радикальный или интегральный Коши, Раабе и др.).

3.Если ряд знаконеопределен, то рассматривают ряд из модулей его членов и подбирают подходящий достаточный признак абсолютной сходимости. Если ряд из модулей сходится, то исследование заканчивается – ряд сходится абсолютно.

4.Если ряд из модулей расходится, то ряд исследуется на условную сходимость. Если он знакочередующийся, то применяют признак Лейбница, если произвольный, то признак Абеля или Дирихле.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1.Понятие абсолютной и условной сходимости. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Пример достаточного признака абсолютной сходимости.

2.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

3.Знаконеопределенные ряды. Преобразование Абеля. Признак Абеля сходимости ряда.

4. Признак Дирихле сходимости числового ряда. Примеры.

Ф-03-Лекция 13. Функциональные последовательности и ряды. П.1 Функциональные последовательности.

ОПР. Областью определения D функциональной последовательности множество значений x R , для которых определены все функции fn (x) , ОПР. Областью сходимости Dсх функциональной последовательности f

f n (x) называется n 1,2,... n (x) называется

множество значений x Dсх , для которых существует lim				f n (x) f (x) (поточечная
		n
сходимость), т.е.
0, x D	сх	N N (x, ) : n N f	n	(x) f (x)	(1)
	сх		n		(1)
ОПР. Функциональная последовательность f n (x) сходится к функции f (x) на						D Dсх

равномерно, обозначение fn0 N

D (x)

N (

f )

(x) , : n

если

N , x D	f	(x) f (x)
	n

(2)

Отличие сходимости от равномерной сходимости проявляется в том, что в первом случае число N зависит от точки x и может неограниченно расти при изменении x, а во втором - N выбирается единым для всех x D .

Необходимый и достаточный признак равномерной сходимости последовательности

	D
f	(x) f (x) 0	N N ( ) : n N sup f	(x) f (x)
n		n
		x D

(3)

Пример 1. Последовательность f n (x)

сходится к f (x)

на множестве Dсх

R / 0

Действительно,

0, x D N

1: n N n

(x) f (x)

сх

n x

Эта сходимость равномерная на любом множестве вида

; a

, a 0

Действительно,

0 N

: x

D, n N n

f (x)

n x

Пример 2. Последовательность

f n (x) x

на множестве D

1;1 сходится к функции

0, x 1;1

неравномерно, поскольку sup f n (x) f (x)

sup

f (x)

1 для

f (x)

1, x

x D

x ( 1;1)

любого n .
Пример 3. Последовательность	f	n	(x)
Пример 3. Последовательность		n
множестве D 0; , но неравномерно,
sup f n (x) f (x) 1.
x D


	n sin(nx),


		0, x
		0, x

поскольку

x			0;
x			0;


	;
n	;


lim		f	n	(
n			n
n

сходится к

f (x)	x 1/ n	2

(x) 0

1 и

на

Пример 4. Последовательность f	n	(x)	x	2	на отрезке
			2
						0;1 сходится к функции
		1	n x

f (x) 0 не только поточечно, но и равномерно.

(1 n

)

Действительно, f

0 x

В точке x

0;1 функция

(x)

(1 n

)

(x)

достигает максимальное значение на отрезке 0;1 , равное

1 n

, x 0;1 .

Тогда sup

fn (x) f (x)

max

1 n

для n N

x 0;1

КРИТЕРИЙ КОШИ равномерной сходимости.

Последовательность функций f n (x) сходится на множестве D равномерно в том и только в том случае, если

0 N N : n N и m n sup f m (x) f n (x) x D

Свойства равномерно сходящихся последовательностей. 1. О возможности предельного перехода по x .

(4)

Теорема 1. Пусть fn (x) f (x)

и lim fn

(x) an

. Тогда lim an

A, lim

f (x) A

x a

Док. Заметим, что x a

предполагает,

что x D , поэтому a

предельная точка для D .

Пусть xk

, xk

D : lim xk

a - произвольная последовательность (предел по Гейне).

Из условия

lim

(x) a

0 N

: k N

(x ) a

/ 3 (*)

x a

Тогда из (4)

0 N

( ) : m, n N

) f

)

/ 3, k

Переходя в последнем неравенстве к пределу по k , получим

/ 3

. Последнее

означает фундаментальность последовательности

и существование у нее предела

A lim a и неравенства

A a

/ 3, n N

(**)

. Предельный переход в том же

неравенстве по

, приведет к неравенству

f	n	(x	) f (x	) / 3, k
	n	k	k

(***)

Объединяя неравенства (*), (**), (***) для

n, k max(N ; N		; N	)
1	2	3

получим

f (x ) A f (x ) f

(x ) f

(x ) a

Последнее означает, что lim

f (x) A .

x a

2. Об ограниченности предельной функции.

Теорема 2. Если последовательность ограниченных на множестве D функций f n (x)

равномерно сходится на D к функции f (x) , то функция f (x)

ограничена на D.

ДОК. Из ограниченности

fn (x) следует, что существуют константы Cn , для которых

f n (x) Cn x D . Из условия равномерной сходимости f n (x) следует, что

для 1	N : x D, n N	f	n	(x) f (x) 1	.

Тогда f (x) f N (x) f (x) f N (x) CN 1, для всех x D . 3. О непрерывности предельной функции.

Теорема 3. Если последовательность непрерывных на множестве D функций f n (x) равномерно сходится на D к функции f (x) , то функция f (x) также непрерывна на D.

ДОК. Пусть x0 - произвольная точка множества D . Из равномерной сходимости следует,
что 0 N N : n N	и x D f (x) f n (x)	, в частности,	f N (x0 ) f (x0 )
	3			3
Из непрерывности функции	f N (x) в точке x0 следует, что

: x D : x x0

f N (x) f N (x0 )

. Тогда

x D :

x x

f (x) f (x0 ) f (x) f N (x)

f N (x) f N (x0 )

f N

(x0 ) f (x0 )

Упражнение. На каком множестве последовательность функций f n

(x)

сходится

1 x

равномерно?

4. Интегрирование равномерно сходящихся последовательностей Теорема 4. (О интегрировании функциональной последовательности)

Пусть f n (x) последовательность непрерывных на a;b функций равномерно сходится к функции f (x) . Тогда для любого x0 a;b функциональная последовательность

x			x
n (x)	f n (t)dt	равномерно сходится к функции (x)	x	f (t)dt .
n (x)	f n (t)dt	равномерно сходится к функции (x)		f (t)dt .
		x
x			0
x
0

ДОК.

Из равномерной сходимости

0 N N		: n N

x a;b
	x	f n (t)

x
	0

f n	(x) f (x)

		b a

f (t) dt		x x
f (t) dt	b a	x x	0
			0

. Тогда n (x) (x)

для всех x a;b

	x f n (t) f (t) dt
	x0
.

4. возможность дифференцировать равномерно сходящиеся последовательности. Теорема 5. (О дифференцировании последовательности функций)

Пусть f n (x) последовательность непрерывно дифференцируемых на a;b причем последовательность из производных f n (x) равномерно сходится на a,b к функции F(x) и существует x0 a;b , для которого числовая

последовательность f n (x0 ) сходится, причем lim f n (x0 ) A .

Тогда последовательность f n (x) равномерно сходится на a,b к функции

функций,

f (x) A		x	F (t)dt	и поэтому f

	x				(x) F(x) .
		0				x0
						x0
ДОК. Воспользуемся теоремой 4: последовательность						x f n (t)dt f n	(x) f n (x0 )

равномерно сходится к функции xx F (t)dt . Тогда последовательность f n (x) равномерно
								0
сходится к A							x	F (t)dt .

						x
						x
							0
5. Достаточные условия равномерной сходимости последовательности
Теорема 6 (Дини) (без доказательства)
Функциональная последовательность fn (x) , x a;b удовлетворяет условиям:
А)	f	n	(x) C		a;b			;
	f		(x) C		a;b
Б) x a;b					числовая последовательность fn (x) монотонная;
В) предельная функция f (x) lim fn (x) C a;b .
								n
			a;b
Тогда fn (x)				f (x)

П.2 Функциональные ряды.


ОПР. Функциональный ряд an (x)
n 1
сходится последовательность	Sk (x)

(1) сходится на множестве D , если на этом множестве

k an (x) его частичных сумм, т.е. существует

n 1

функция S(x) , определенная на D , для которой lim Sk (x) S (x
	k

ОПР. Функциональный ряд an (x) сходится на множестве D
n 1
последовательность Sk (x) сходится к	S(x) равномерно на D .

)

равномерно, если

Справедлив КРИТЕРИЙ КОШИ равномерной сходимости функционального ряда: Ряд (1) сходится на D равномерно в том и только в том случае, если

0 N N

: n, m N, m n и x D

(x) a

n 1

(x) ... a

(x)

( 1)

n 1

Пример 5. Исследовать на равномерную сходимость ряд

n 1

( 1)

n 1

Ряд знакочередующийся, поэтому его остаток

(x)

оценивается

n m 1

(x)

, x ; и, по определению, ряд сходится равномерно для

m 1

всех x . Ряд сходится условно для всех x .

Пример 6. Найти область сходимости функционального ряда

n 1

Для каждого x члены ряда положительные, применим радикальный признак Коши:

n a	(x)	x	2	1	n	2
n a	(x)	x			x
n
				n

сходится, при

x	2	1
	2

расходится. При

x	2	1
	2

ряд расходится

по невыполнению необходимого признака, т.е.			D	1;1
по невыполнению необходимого признака, т.е.			сх
любом отрезке	a;b	1;1
любом отрезке

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов 1. О возможности предельного перехода

. Сходимость равномерная на

		D
Теорема 7. Если функциональный ряд an (x)
	n 1

1) числовой ряд an	сходится и имеет сумму A ;
n 1

2) lim f (x) A

x a

(x)

и n lim an (x) x a

, то

Док. см. теорему 1 для равномерно сходящейся последовательности частичных сумм ряда. Таким образом, для равномерно сходящихся рядов знак предела и суммы могут быть переставлены:


lim an		(x) lim an (x)
x a	n 1	n 1	x a

2. существование мажорирующего ряда

Теорема 8. (Достаточный признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
17.05.2024567.13 Кб0F-03-Lektsia_1.pdf
#
10.01.2025233.11 Кб0Materialy_k_lektsii_Ryady_Furye.docx
#
10.01.2025169.96 Кб0Materialy_k_lektsii_Ryady_Furye_2.docx
#
17.05.20246.66 Mб5Metodichka_Grishina (1).pdf
#
17.05.2024353.18 Кб1VTA_lektsia_11.pdf
#
17.05.2024232.02 Кб1VTA_lektsia_12.pdf
#
17.05.2024382.65 Кб1VTA_Lektsia_13.pdf
#
17.05.2024302.83 Кб0VTA_lektsia_14.pdf
#
17.05.2024576.23 Кб0VTA_lektsia_2.pdf