Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Лекции / Metodichka_Grishina (1)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

6.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

F (x, y, z)ds S

	u	v
	F (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) r (u,v) r (u,v) dudv
D

(6)

ДОК. Поверхностный интеграл в (6) с учетом аддитивности и теоремы о среднем можно представить в виде:

F (x, y, z)ds

Fds

F (M )dS

F (M

)

dudv

(u ,v

) u v

где точка M dS

имеет координаты

F (M ) ru

(u ,v ) rv

r (u

, v ), u , u

, v

В силу непрерывности F

и гладкости поверхности S имеем:

F (M

) r (u

, v ) r (u

, v

) u v

F (M

) r (u

, v

) r (u

, v

) u v

o(1)

В правой части равенства находится интегральная сумма для интеграла (6) и

существование ее предела обеспечивается условиями теоремы.

Если поверхность S

задается явно (2), то поверхностный интеграл вычисляется по

формуле:

F (x, y, z)ds

F (x, y, f (x, y))

1 f x (x, y) 2

f y (x, y) 2 dxdy

(6)*

Пример 2. Вычислить интеграл

ds , где S

- граница тела

z 1 .

РЕШЕНИЕ. Коническая поверхность
S1 : z				x2 y 2 , x, y D x2 y2 1 ,
x		y		ds 2 x		y		dxdy =	2
x	2	y	2	ds 2 x	2	y	2	dxdy =	2 d
	2		2		2		2
S				D					0
1

	1 z
			x
1
	r	3	dr =
		3

0

z
			2
		y
	2	.
2		.
2

Поверхность круга

S2 : z 1, (x, y) D ,

1 zx

z y 1,

dxdy

x2 y 2 ds = (1

Тогда

2) .

П.3 Поверхностные интегралы второго рода.

Рассмотрим непрерывную функцию R(x, y, z)

заданную в окрестности гладкой,

двусторонней, ориентированной внешней нормалью поверхности S с уравнением

z f (x, y) . Разбиение D П области Dxy

порождает разбиение поверхности на части

S , проекция которых на плоскость xoy совпадает с П . Части поверхности S

ориентированы так, что направление обхода их границы согласовано с внешней нормалью поверхности, т.е. обход по границе S происходит в положительном направлении (против

часовой стрелки). Площадь П при этом также ориентирована: она берется со знаком ,

если обход П	, соответствующий обходу S		, происходит по отношению нормали

плоскости xoy в положительном направлении. В противном случае, площадь приобретает знак минус (правило ориентации S ).

С учетом правила ориентации строится интегральная сумма S (R, S ) R(M ) s(П ) .

Ее предел при

, если он существует, обозначается через Rdxdy и называется

поверхностным интегралом в направлении оси oz , соответствующим выбранной

ориентации поверхности S		. Аналогично строятся поверхностные интегралы в

направлении других осей

Q(x, y, z)dxdz,	P(x, y, z)dydz
S	S

и их сумма

Pdydz Qdxdz

Rdxdy

. Последний называют поверхностным интегралом второго рода

без указания направления проекции.

Вычисление интеграла		P(x, y, z)dxdy
Вычисление интеграла		P(x, y, z)dxdy
	S

для поверхности

(x, y), (x, y) Dxy

ориентированной внешней нормалью, происходит сведением его к двойному интегралу по формуле

R(x, y, z)dxdy R(x, y, z(x, y))dxdy (7)

S Dxy

и R(x, y, z)dxdy R(x, y, z(x, y))dxdy , если поверхность ориентирована внутренней

S Dxy

нормалью.

Пример 3 Вычислить интеграл x2 y2 zdxdy , где

ориентированная внешней нормалью. Решение.

нижняя часть сферы

x	2	y	2	z	2

R	2

По формуле (7) и z R2 x2 y2 , получим

x			y			R		x			y						2					sin					R			R			r		dr		R		R		r		dr
																	2										R										R
		2		2			2			2			2	dxdy cos							2				2	d r			5			2		2			r	5		2		2
		2		2			2			2			2								2				2				5			2		2				5		2		2
D																		0									0									4	0
D																		0									0										0
xy
																			R; 0 tdt rdr
Замена переменной t																R2 r2			R; 0 tdt rdr														приведет к интегралу
			R			(R		t		)		dt				R		7		2R			7	R		7		2 R			7
		t			2	(R	2	t	2	)	2	dt
					2		2		2		2
	4		0												4		7				5				3				105

Поверхностный интеграл R(x, y, z)dxdy второго рода можно свести к поверхностному

интегралу первого рода по формуле:

	R(x, y, z)dxdy		R(x, y, z) cos ds , где cos			1		(8)



S		S			1	z 2	z 2
						x	y
(для поверхности ориентированной внешней нормалью, cos 0 )
Действительно, для разбиения D				П	и соответствующего разбиения поверхности

S S

имеем

	x		y
	1 z	2	z	2	dxdy
	1 z		z		dxdy
П

(П ) cos

, где

cos

направляющий косинус

нормали к поверхности в некоторой промежуточной точке

для интеграла)

Интегральная сумма для интеграла второго рода:

(R, S

)

R(M

) (П )

R(M

) cos S

(R cos

, S

)

S (теорема о среднем

o(1)

представляется в виде интегральной суммы для интеграла первого рода для функции

R cos плюс (по непрерывности) бесконечно малая при d 0	. Предельный переход
завершает доказательство формулы (8).

Для интеграла

Pdyddz Qdxdz Rdxdy

формула (8) примет вид:

	Pdydz Qdxdz Rdxdy (Pcos Q cos R cos )ds
S	S

(8)*

Для поверхности, заданной параметрическим уравнением (1), поверхностный интеграл сводится к двумерному интегралу по области Duv :

	Pdydz Qdxdz Rdxdy (P A Q B R C)dudv
S	D
	uv

(7)*

где A, B,C определяются формулами (3), а Вычисление объема стандартной областиVDf

P , g

P(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) и т.д.

через поверхностный интеграл.

Мы хотим установить формулу вычисления объема области

f ,g	(x; y, z) R	3	: (x, y) D, g(x, y) z f (x, y) с использованием интеграла по
VD	(x; y, z) R
поверхности:
			V f ,g	zdxdy ,	(9)
			D

где S S1 S2 S3 поверхность ограничивающая область, ориентированная внешней нормалью.

Объем стандартной областиVDf , g вычисляется через двойной интеграл

VD	( f (x, y) g(x, y))dxdy zdxdy zdxdy . С другой стороны zdxdy 0
f ,g
	D	S	2	S	S	3
			2	1		3
поскольку S3		цилиндрическая поверхность с направляющей D и образующей,

параллельной оси oz , проектируется в D , имеющей меру ноль.

Приведем еще одну формулу, связывающую объем области, ограниченной поверхностью S , ориентированной внешней нормалью, вычисляемый через поверхностный интеграл первого рода:

V1 x cos y cos z cos ds 3 S

ЗАМЕЧАНИЕ. Если поверхность S задается явно уравнением

(10)

(x, y) , x,

y D

выбрана верхняя ее сторона en		1
выбрана верхняя ее сторона en		1 f	f
		2	2
		x	y
Pdydz Qdxdz Rdxdy = R(x, y, f (x, y)) f x
S	D

		;1 , то
f x ; f y

P(x, y, f (x, y)) f y Q(x, y, f (x, y)) dxdy .

Интеграл по нижней стороне поверхности отличается знаком.

ПРИМЕР

Вычислить интеграл

xdydz

ydzdx

zdxdy

, где

- внешняя сторона сферы

x	2	y	2	z	2
	2		2		2

РЕШЕНИЕ.

a	2	.

Внешняя нормаль

	S
e	(M )
n

	1	x,
	a	x,
	a

, функция

F(x,

y, z)

= x.

y.z

скалярное произведение

P(x, y.z)cos Q(x, y, z)cos R(x, y, z)cos

= a . Тогда

xdydz S

ydzdx

zdxdy

= a		ds
= a		ds
	S

= 4 a	3

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1.Поверхность в пространстве, способы ее задания. Площадь поверхности и способ ее вычисления.

2.Поверхность вращения и вычисление ее площади.

3. Поверхностный интеграл первого рода, его свойства. Формула вычисления интеграла. 4. Ориентированная поверхность. Поверхностный интеграл второго рода.

Формула вычисления интеграла.

Лекция 9. Основные формулы векторного анализа

Полем F (x, y, z) P(x, y, z);Q(x, y, z); R(x, y, z)

называют векторнозначную функцию,

заданную в некоторой области G R

. Предполагаем, что функции P,Q и R

имеют непрерывные

частные производные.

Векторные линии

Векторной линией поля F называют кривую в R

которой вектор

, в каждой точке M (x; y; z)

F (x, y, z) является направляющим вектором прямой касательной к кривой в точке M .

Векторная линия, проходящая через точку M

0 (x0 ; y0 ; z0 )

, является решением системы

дифференциальных уравнений

(2)

Q (3)

(1)

с начальными условиями: y(x0 ) y0 , z(x0 ) z0

или x(t0 ) x0 , y(t0 ) y0 , z(t0 ) z0 .

Если 1 (x; y; z) c1

, а 2 (x; y; z) c2 - интеграл для

первый интеграл уравнения

уравнения

с произвольными c1 и c2 , то при выполнении условий теоремы существования

и единственности через каждую точку M0 (x0

; y0

; z0 ) проходит единственная векторная линия с

(x; y; z) (x

, y

, z

)

уравнением

(x; y; z)

, y

, z

)

Пример 1 Найти векторную линию поля

y; x;b

, проходящую через точку M0 (1;0;0) .

Запишем дифференциальное уравнение векторной линии в форме (1):

xdx ydy 0 x2 y2 c

0 , т.е. винтовая линия лежит на поверхности

y x b

цилиндра с радиусом

. Параметризуем окружность: x

c cos t, y

c sin t и решаем

уравнение:

c1 cos t dt

dz bdt z bt c2

c1 cos t

Тогда векторная линия имеет параметрическое уравнение:

x		c	cos t
		1
	y	c	sin t
	y	c	sin t
		1
	z bt c
	z bt c
			2

, которое с учетом начальных условий примет вид

x cos t

y sin t

z bt

(винтовая линия).

Пример 2 Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника тока.

Полагаем, что проводник направлен по оси oz , ток I

I k , точка M (x;

расстоянии от оси провода и	r x; y; z радиус вектор точки M (x;
Тогда вектор напряженности H	магнитного поля задается равенством:

y; z) y; z)

находится на

I , r

0 I

xj ok

Уравнение векторных линий:

xdx ydy 0 x

0, z c2 ,

т.е. векторные линии являются окружностями, лежащими в параллельных плоскостях.

Поток векторного поля

Потоком

векторного поля F

через ориентированную поверхность S

называют поверхностный

интеграл первого типа от проекции поля F на нормаль к поверхности:

где

n
e

П		(F, ne )ds	(1)

единичный вектор нормали.

Если поверхность замкнутая, то нормаль выбирается внешней. Если ne cos ; cos ; cos , то поток П представляется интегралом

П (P cos Q cos R cos )ds Pdydz Qdxdz Rdxdy
S		S

(1)*

Свойство потока.

1.		(F, ne )ds		(F, ne )ds
1.		(F, ne )ds		(F, ne )ds
	S		S

2.линейность

(F1 F2 , ne )ds (F1, ne )ds (F2 , ne )ds

S		S		S

3. аддитивность по поверхности. Если S S1 S2 , то

(F, ne )ds (F, ne )ds (F, ne )ds

S	S	S
	1		2


Пример 2 Вычислить поток векторного поля F	x; y; z
Пример 2 Вычислить поток векторного поля F	x; y; z	через
основания R и высотой h .

Поверхность цилиндра является объединением поверхностей:

боковая поверхность цилиндра с внешней нормалью

;

; 0

(F, n

)

Rds 2 R

нижнее основание

0; 0; 1

(F, n

) z 0 П

верхнее основание

0; 0;1

(F, n

)

z h

hds hR

поверхность цилиндра с радиусом

2	h

Складываем потоки: П П1 П2 П3 2 hR	2	hR	2

Методы вычисления потока поля через поверхность
1. Метод проекции (сведение к двойному интегралу)

Пусть поверхность S

задается явно уравнением z f (x,

3 hR	2

y) и проектируется на область

Dxy

	grad z f (x, y)
координатной плоскости xoy . Тогда нормаль ne	grad z f (x, y)	fxi		f y j k
					. Знак
	grad z f (x, y)

			fx 2	f y 2 1
выбирается в случае, когда выбранная нормаль составляет острый угол с осью oz и минус – в
противном случае. Тогда

, ne

П F, ne ds

dxdy ,

cos

Dxy

где

f 2

1 и вместо z

следует подставлять f (x, y) .

cos

Пример 3. Найти поток векторного поля F 0; y

; z через часть поверхности параболоида

z x

ограниченной плоскостью z 2 и ориентированной внешней нормалью.

Решение

2 y

;

4 y

F, n

4 y

F, n

2 y

z 2 y

cos

8 2

Тогда П

2 y

dxdy

r(2r

sin

)dr

sin

d 2

2. Метод проектирования на все три координатные плоскости.

Пусть поверхность S задается неявно уравнением g(x, y, z) 0

, причем она однозначно

проектируется на области Dxy , Dxz , Dyz

координатных осей. Пусть единичная нормаль

ne cos ; cos

	ds cos dydz

	ds cos dxdz
		ds cos dydz
		ds cos dydz

; cos gradg(x, y, z) ориентирует поверхность и знак в выражениях gradg(x, y, z)

определяется таким же, как знак соответствующего косинуса.

Тогда поток по поверхности определяется по формуле:

P(x( y, z), y, z)dydz Q(x, y(x, z), z)dxdz

R(x, y, z(x,

y))dydz

Пример 4. Найти поток векторного поля

xy; yz; xz

через внешнюю сторону сферы

1, заключенной в первом октанте.

Решение

Вычисление нормали:

n grad (x

2x; 2 y; 2z n

x; y; z cos x 0, cos y 0, cos z 0

Тогда П xydydz yzdxdz xzdxdy 3 xydydz , поскольку все интегралы одинаковые.

Dyz Dxz Dxy Dyz

	/2		1		1 r		dr
3 xydydz 3			sin d r	2	1 r	2	dr
				2		2
D	yz	0	0

1
	r 2	1 r 2 dr
3	r 2	1 r 2 dr
0

Замена переменной: r sin t, t										0;
Замена переменной: r sin t, t										0;	2


/ 2						3	/ 2					3	/ 2		3
П 3	sin	2	t cos	2	tdt	3	sin	2	2tdt			3		(1 cos 4t)dt	3
		2		2				2
						4						8			16
0						4	0					8	0		16
0							0						0

3. Метод введения криволинейных координат на поверхности.

Иногда введение координат на поверхности позволяет найти нормаль, проекцию поля на нормаль и вычислить поток векторного поля через поверхность.

Пример 5 Рассмотрим поверхность S

прямого кругового цилиндра x2 y2

R2 , ограниченного

сверху и снизу поверхностями z	f1 (x, y),	z	f2 (x, y),	f1 (x, y) f	2 (x, y), x	2	y	2	R	2	.


Найти формулу для вычисления потока поля F				P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) через
поверхность S

Введем координаты

0; 2 , z f (R cos , R sin ); f

(R cos , R sin ) , x R cos , y R sin

cos ;sin ; 0

Тогда внешняя единичная нормаль e

, ds Rd dz

(F, n ) P(R cos , R sin , z) cos Q

R cos , R sin , z

sin

( R cos ,Rsin )

F, n

ds R

(P(R cos , R sin , z) cos Q

R cos , R sin , z

sin )dz

( R cos ,Rsin )

Например, F

x; y; z , f1

0, f2 H

Тогда П R d (R cos2 R sin2 )dz 2 R2 H .

4.Формула Грина

Пусть задано кусочно-гладкое поле F P(x, y);Q(x, y) , определенное в области D c кусочно-

гладкой границей С , ориентированной положительным направлением обхода. Тогда справедлива формула:

P(x; y)dx Q(x; y)dy С

Доказательство.

P(x, y)dx P(x, y)dx P(x, y)dx

C C1 C2

	Q		P	(2)
			dxdy	(2)
D		x	y

b P(x, g(x)dx a P(x, f (x))dx

a b

b		b	b	f ( x)			P
P(x, g(x)dx P(x, f (x))dx dx						P(x, y)dy		dxdy
P(x, g(x)dx P(x, f (x))dx dx					y	P(x, y)dy	y	dxdy
a		a	a	g ( x)	y	D	y
a		a	a	g ( x)		D
Аналогично,
Q(x, y)dy Q dxdy
C	D	y
C	D

Объединяя два криволинейных интеграла, получим формулу (2).

Пример. Вычислить криволинейный интеграл второго типа

xy x y dx (xy x

C – окружность x

ax , ориентированная в положительном направлении.

Решение

P xy x y

x 1, Q xy x y

y 1

y x

xy x y dx (xy x y)dy ( y x)dxdy

/ 2

a cos

sin cos d

r2dr

/ 2

cos3 ( sin cos )d

cos4 d

/ 2

a3 3

1 cos 2

/ 2

y)dy

, где

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
17.05.2024567.13 Кб0F-03-Lektsia_1.pdf
#
17.05.20246.66 Mб0Metodichka_Grishina (1).pdf
#
17.05.2024353.18 Кб0VTA_lektsia_11.pdf
#
17.05.2024232.02 Кб0VTA_lektsia_12.pdf
#
17.05.2024382.65 Кб0VTA_Lektsia_13.pdf
#
17.05.2024302.83 Кб0VTA_lektsia_14.pdf
#
17.05.2024576.23 Кб0VTA_lektsia_2.pdf