Лекции / Metodichka_Grishina (1)

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

(x( k 1 ) x( k ))

( y( k 1 ) y( k ))

(z( k 1 ) z( k ))

(x( k 1 ) x( k ))

( y( k 1 ) y( k ))

(z( k 1 ) z( k ))

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

6.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

ЗАМЕЧАНИЕ.

Иногда в сферической замене вместо угла	используют угол		, 0; ,
		2

образуемый вектором OQ с положительным направлением оси OZ. В этом случае

соответствующая замена переменных задается формулами:

с якобианом J (r, , ) r2 sin .


	x r cos sin ,

	y r sin sin ,
		z r cos
		z r cos

Пример 6. (Цилиндрическая замена)

Положение точки Q в пространстве можно характеризовать

тремя числами

u r,

и w

называемыми цилиндрическими координатами точки

. Здесь

r - длина вектора

OQ		на плоскости ХОУ,

направлением оси ОХ,

r 0 ,0;2


- угол, который образует вектор OQ		с положительным

, и h - проекция вектора OQ	на ось OZ, h R .

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами осуществляется по

	x r cos ,
формулам
	y r sin ,
		z h

УПРАЖНЕНИЕ. Вычислить якобиан цилиндрической замены переменных. Ответ: J (r, ,h) r .

Прообразом прямого кругового цилиндра x, y, z : x	2	y	2	R	2	, 0	z H при

отображении цилиндрическойr, ,h : 0 r R, 0 2 , 0

замены является параллелепипед

h H .

ТЕОРЕМА 3. (О замене переменной в тройном интеграле)

Пусть функция F(x, y, z) непрерывна на замкнутой, ограниченной и измеримой области Gx, y,z . На замкнутой, ограниченной и измеримой области Gu,v,w задано отображение

x x(u,v, w),

y y(u,v, w), G

, осуществляющее биекцию области Gu,v,w на x, y,z , причем функции

z z(u,v, w)

x x(u,v, w) , y y(u,v, w) , z z(u,v, w) непрерывно дифференцируемые в точках области Gu ,v,w .Тогда имеет место формула:

F (x, y, z)dxdydz Gx , y , z

F (x(u,v, w), y(u,v, w), z(u,v, w)) J (u,v, w) dudvdw.

Gu ,v ,w

ДОК. (Без доказательства) Пример 7. Вычислить интеграл

x2 G

y	2	dxdydz

, где область

, ограничена

поверхностями x2 y2 2z , z 2

РЕШЕНИЕ. Сделаем цилиндрическую замену. Для этого подставим формулы перехода в

уравнения границы области r			2	2h	, h 2 .		Прообразом области G является область

	r, , h : 0 2 , 0 h 2, 0 r								. Тогда по формуле замены:
Gr , ,h								2h
	2	2	2h			2				16
x2 y 2 dxdydz = d dh			r 3dr			2 h2 dh					.

G	0	0	0			0	3

Приложение тройного интеграла 1. Масса тела

m(G) масса тела – аддитивная функция множества. Ее производная по множеству

(x, y, z) lim	m(U	(M ))	, гдеU (M ) шар радиуса

	U	(M )
0	U	(M )

называется плотностью распределения массы. Тогда
		m(G) (x, y, z)dxdydz
			G

с центром в точке M (x, y, z) ,

Статические моменты относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам

M xy z dxdydz,	M xz y dxdydz,	M yz x dxdydz
G	G	G

Центр тяжести тела определяется по формулам:

m(G)

Пример 8

x	2	y	2	z
	2		2

Найти массу и координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностью

2	2az	с плотностью (x, y, z) k /	x	2	y	2	z	2

Решение. Перейдем к сферическим координатам в интеграле

m	kdxdydz
	x	2	y	2	z	2
G

Уравнение поверхности:

r 2a sin ,	0;		, 0; 2 ,	k
r 2a sin ,	0;		, 0; 2 ,	r
		2		r

	2		/2			2asin						k		/2	r	2	2a sin		/2					2
	2		/2			2asin								/2		2			/2					2
m(G) d				d				r	2	cos			dr 2 k cos d						2		2	d sin		4a k
m(G) d				d				r		cos		r	dr 2 k cos d		2				4a k sin			d sin		3
	0		0			0						r		0	2		0		0					3
	0		0			0								0			0		0
Вычисление момента M xy :
M		zdxdydz k						2 d / 2 cos sin d						2a sin r2dr	16 a3k			/ 2 cos sin4		d			16 a3k
M		zdxdydz k						2 d / 2 cos sin d						2a sin r2dr			3	/ 2 cos sin4		d			15
xy																	3						15
xy
	G							0		0				0				0
Тогда z			M xy		4a		,	x		y	0
Тогда z							,	x		y	0
	ц		m			5		ц		ц
			m			5

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1.Измеримые множества в R3 . Мера множества. Примеры измеримых множеств.

2.Понятие тройного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции. Достаточное условие интегрируемости функции. Свойства тройного интеграла.

3.Повторное интегрирование. Вычисление тройного интеграла через повторные по стандартным областям.

4.Замена переменной в пространстве, якобиан преобразования. Формула замены переменной в тройном интеграле.

5.Сферическая и цилиндрическая замены переменных. Вычисление якобианов преобразований. Формулы вычисления тройных интегралов в сферической и

цилиндрической системе координат.

Лекция 6. Несобственные кратные интегралы Несобственные двойные интегралы

1. Несобственные интегралы от ограниченных функций на неограниченных областях.

Пусть G неограниченная область на плоскости.

Говорят, что последовательность ограниченных областей Gm исчерпываетG , если

1) G G, m ;	2)	G G		, m ; 3) a G m : a G , m m
m		m	m 1	a	m	a

Будем предполагать, что функция f (x, y) интегрируемая на каждой из областей Gm .

Опр. Несобственный интеграл f (x, y)dxdy называется сходящимся, если он является пределом

последовательности собственных интегралов

f (x, y)dxdy lim	f (x, y)dxdy
m
G	G
	m

и не зависит от выбора последовательности исчерпывающих множеств

Если предел существует для какой – то, выбранной особым способом, последовательности исчерпывающих множеств Gm , а для других последовательностей предел может не существовать,

то говорят о сходимости интеграла в смысле «главного значения».

Замечание. В качестве m может использоваться и непрерывный параметр. Например,

G R	2	плоскость, то ее можно «исчерпывать» кругамиU R	(0)	или прямоугольниками

если

Пb,b

a,a

Пример 1. Вычислить одномерный несобственный интеграл Гаусса

	( x a)		2

	2	2
I (a, ) e			dx

Решение. Сделаем линейную замену переменной u x a dx du . Тогда

	u2	u2		v2		u2 v2
I (a, ) e	2 du и I 2 (a, ) e		du e		dv 2 du e
I (a, ) e	2 du и I 2 (a, ) e	2	du e	2	dv 2 du e	2 dv

Переходим в повторном интеграле к полярной системе координат:

		2	v	2			2		r	2				r	2
		u	v				2		r					r
2	du e		2		dv	2	d re		2		dr 2	2	e	2		2	2
	du e				dv		d re				dr 2		e			2


							0	0								r 0
																r 0

Тогда

I (a, )

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла:

0 Gm K : m, n K f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy

Для функций f (x, y) 0

интегрируемых на каждом DG ,k

существование несобственного

интеграла обеспечивает условие sup			f (x, y)dxdy .
интеграла обеспечивает условие sup			f (x, y)dxdy .
	k	D
		D
		G ,k
Опр. Если сходится интеграл	f (x, y) dxdy , то интеграл f (x, y)dxdy			называется абсолютно

сходящимся.

Теорема 1. Если

	f
G

(x,

y) dxdy

сходится, то сходится интеграл

(x,

y)dxdy

. Если интеграл

	f (x, y)dxdy расходится, то расходится интеграл	f (x, y) dxdy .
G	G
Док. Заметим, что область G можно разбить на две области			G	(x, y) G :
Док. Заметим, что область G можно разбить на две области
G					2	:
G	(x, y) G : f (x, y) 0 пересекающиеся по границе (x, y) R					:

Тогда функцию f (x, y) можно представить в виде разности функций

f (x, y) 0 и f (x, y) 0 .

f (x, y) f (x, y) f (x, y) , где

f (x, y), (x, y) G

f (x, y)

0, (x, y)

f (x, y)

0, (x, y) G

Очевидны неравенства:

0 f

(x, y)

f (x, y)

0 f

(x, y)

f (x, y)

(x, y) G ,

поэтому из существования интеграла		f (x, y) dxdy следует сходимость интегралов

f		(x, y)dxdy

G

Если интеграл

и f		G
и f		(x, y)dxdy , а значит и f (x, y)dxdy .

G		G
f (x, y)dxdy расходится, то расходится хотя бы один из интегралов

(x,

	G
	y)dxdy или
	y)dxdy или

(x,

y)dxdy

. Пусть расходящимся является

(x,

y)dxdy

. Тогда из

неравенства	0
неравенства

G(x, y)

(x,

следует, что расходится

	f
G

G (x, y) dxdy .

Пусть область

расположена в полу полосе

Пc, a,b

Рассмотрим кусочно-непрерывную функцию

	f (x, y), (x, y) G
f (x, y)	0, (x, y) П	c,	\ G
		a,b

Если ограничиться условием f (x, y) 0 и прямоугольником				П	c,d	, то справедлива формула
				П	a,b
					a,b
сведения интеграла по прямоугольнику к повторному интегралу
		b	d
		f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy
П	c ,d	a	c
П	a ,b	a	c
	a ,b

Если предположить, что повторный интеграл ограничен, то из его монотонности по d будет

следовать сходимость повторного интеграла dx f (x, y)dy . Тогда левая часть равенства также

a c

имеет предел при d , равный

(x,

y)dxdy

. Поэтому справедлива формула вычисления

двойного несобственного интеграла через повторные:

				b
			f (x, y)dxdy		dx		f (x, y)dy		(1)
			f (x, y)dxdy		dx		f (x, y)dy		(1)
		G		a		c

Если функция F (x)		f (x, y)dy, x a;b			интегрируемая на отрезке					a;b
										a;b

	c
ограничены на этом отрезке некоторой константой M								: F(x) M
		d
		f (x, y)dxdy F (x) M
		c

, то ее значения

и сходимость повторного и двойного интеграла, а также справедливость формулы (1) обеспечена.

Формула (1) сохраняет смысл, если функция F(x) интегрируема на	a;b	в несобственном смысле,
		в несобственном смысле,
например, является неограниченной на конце отрезка.

Формула (1) сохраняет смысл и при b в случае, когда G Пac,, при условии сходимости повторного интеграла.

Наконец, если отбросить условие f (x) 0, то для сходимости повторного интеграла в формуле (1)

можно потребовать сходимость интеграла

b
dx
a	c

f (x, y)

. Тогда, аналогично случаю f (x) 0 ,

можно доказать справедливость формулы (1) для функций f (x, y),

f (x, y) , а из соотношения

f (x, y) f

(x, y) f

(x, y) - ее выполнение для f (x, y) .

Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл

dxdy

, p 0, q 0

x y 1

Решение

Соображения четности функции по каждой переменной приводят к тому, что если интеграл сходится, то

dxdy

x y 1

Кривая x p yq

y x p/q разбивает G на две неограниченные области

G , x p yq

(x, y)

, G

(x, y) G , x p yq

Ограничим G

условиями y a, x b

q/ p

, превратив ее в ограниченную область Ga .

. В ее подобласти, ограниченной полосами x0 x 1, 0 y

Обратимся к области Ga

функция

ограничена и имеет по этой области собственный интеграл. В подобласти

ограниченной полосой

1 x b, y y0 имеем оценку

p/q

1 q

Существование предела при a

( b ) обеспечивает неравенство

(1 q) 1 0

1(*).

Из неравенства (*) следует, что p 1. Последнее обеспечивает существование предела при

a ( b ) интеграла по прямоугольнику P (x; y) :1 x b, 0 y y0

dxdy

Аналогично устанавливается, что при тех же условиях сходится интеграл от функции f (x, y) по области G2 . Из признака сравнения следует достаточность условий (*) для сходимости исходного интеграла при тех же условиях на p и q .

Необходимость условий (*).

Из сходимости изначального интеграла по областям

G

1

G

2

следует, что сходятся на этих

областях интегралы от функций	1		и	1		соответственно. Сходимость последних возможна по
	2 y	q		2x	p

доказанному только при выполнении неравенства (*).

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение

	e	( x y )	dxdy
		( x y )
0 x y

Система исчерпывающих областей – сектор с углом 4

окружности радиуса

/ 4

( x y )

dxdy полярная замена

d re

r (sin cos )

/ 4

r (sin cos )

r (sin

sin cos

/ 4

R(sin cos )

R(sin

sin cos

(sin cos )

Подынтегральные функции имеют пределы (равномерные по

/ 4

lim e

( x y )

dxdy

sin cos

sin

/ 4

cos )
	dr

cos ) 1 d

) при R

1	ctg / 4	/ 4
2		0

2. Несобственные двойные интегралы от неограниченных функций на ограниченных областях.

Пусть функция f (x, y) непрерывна во всех точках области G кроме конечного числа точек

x x

(t)

, t

;

a , a ,..., a

G или кривых

, в окрестности которых функция

1 2

(t)

неограниченная. Исключая из G

эти точки или кривые вместе с их окрестностямиU

ai или

(t), y

(t)) , получим измеримую область G

, которую также называют исчерпывающей.

Предполагается, что функция f (x, y) интегрируемая наG для любого 0 .

Опр. Несобственным интегралом функции f (x, y) по области G называют число

f(x, y)dxdy lim

(x,

y)dxdy

если оно существует.

Если

f (x, y)

0 , то из ограниченности и

монотонности интеграла

f (x, y)dxdy G

по

следует

существование предела, а значит и несобственного интеграла.

Пример 3. При каких 0, 0, m 0 интегралы сходятся?

а)

dxdy

(x, y) R

: x 0, y

0, x

в)

dxdy

(x, y) R

: x 0, y

0, x

Решение

x r

2/ a

cos

2/ a

Обобщенная полярная замена:

имеет якобиан J

sin

cos

sin

dxdy

/ 2

1 2m

а)

sin

cos

Внутренний интеграл сходится, если

2m 1

m . Внешний интеграл сходится

на левом конце отрезка ( 0 ) при1

1 0

и на правом конце (

) при

В)

dxdy

сходится при

(самостоятельно)

Лекция 37. Криволинейные интегралы. П.1 Кривые в пространстве. Длина кривой.

ОПР. Кривая L в пространстве в векторной форме задается (параметрическим) r r(t), t a;b

уравнением

x x(t),
		x(t) , y(t) и z(t) .
или в скалярном виде y y(t), с заданными функциями
	z z(t)

Точки A r (a) и B r (b) называются началом и концом дуги кривой. Если A B , то кривая называется замкнутой.

Кривая не имеет самопересечений, если отображение r r(t), t a;b биективное. Кривая называется гладкой (кусочногладкой), если функции x(t) , y(t) , z(t) непрерывно дифференцируемые на отрезке a;b или кусочно-гладкой , если соответствующие функции имеют кусочно-непрерывные производные на отрезке a;b .

Пусть a 0 , 1,..., k , k 1,... n b - разбиение отрезка a;b и соответствующее ему разбиение кривой L точками M k r( k ) . Через L обозначим ломаную линию, составленную из отрезков M k ;M k 1 , k 1,2,...,n , а l - длину ломаной L , т.е.

n = (M k , M k 1 ) k 0

ОПР. Кривая

называется спрямляемой, если

supl

ОПР. Длиной дуги

кривой

называют число

lim l
d	0

, если оно существуют.

Если кривая имеет длину, то она спрямляема и наоборот. Действительно, если

последующее разбиение

, то l l ,т.е. длина ломаной монотонно растет при

измельчении разбиения и спремляемости (ограниченности) достаточно для существования предела. Обратно, существование предела обеспечивает ограниченность l , а значит и

спремляемость кривой. ТЕОРЕМА 1.

Если кривая L кусочно-гладкая, то она имеет длину, вычисляемую по формуле:

b	x (t)	y (t)	z (t)	dt
l	x (t)	y (t)	z (t)	dt
	2	2	2
a

(1)

ДОК. Докажем формулу (1) для гладкой кривой L . По теореме о среднем для производных

для каждого k

k , k 1

, для которых

существуют точки сk

,ck

(x (c ))

( y (c

))

(z (c

))

(x ( ))

( y ( ))

(z (

))

o(1)

k 0

(x ( k ))

( y ( k ))

(z ( k ))

o(1)

k 0

Первое слагаемое справа – интегральная сумма для интеграла (1) и ее предел при d( ) 0

с одной стороны равен интегралу b
с одной стороны равен интегралу b		x (t) 2 y (t) 2 z (t) 2 dt , а с другой – длине дуги
	a
AB .
	x x(t)
Замечание. Для кривой			на плоскости справедлива формула(1*):
y y(t), t a;b

b
l		2		2	dt
l	x (t)		y (t)		dt
a

(1*)

УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что если кривая L на плоскости задается графиком непрерывно дифференцируемой функции y f (x) на отрезке a;b , то длина кривой вычисляется по формуле:

(2)

1 f (x)

x t,

, t a;b

ДОК. Уравнение кривой можно записать в параметрической форме y f (t),

z 0

Тогда

1 f

и формула (1) переходит в (2).

x (t)

y (t)

z (t)

(t)

П.2 Криволинейные интегралы первого рода.

Пусть на плоскости или в пространстве задана гладкая кривая L , а в точках кривой и их окрестностях - непрерывная функция F(x, y, z) .

Кривую L

можно параметризовать длиной s s(M )

дуги AM

кривой, где M

произвольная точка дуги AB :

x x(M (s))

y y(M (s))

z z(M (s))

Разбиение отрезка

a;b

порождает разбиение дуги AB точками Mk , k 0,1, 2,..., n на дуги

M k M k 1

длины sk

s(Mk 1 ) s(Mk ) . На каждой дуге M k M k 1

выберем произвольную

точку

(x(c ), y(c ), z(c )), c

;

k 1 .

Рассмотрим сумму SF (L, ) F (r(ck )) sk .

k 0

ОПР. Криволинейным интегралом первого рода функции F(x, y, z)

называют число

	F (x(s), y(s), z(s))ds lim SF			(L, ) ,	(3)
		d	0
L
L

если предел существует. При этом выражение SF (L, ) называется суммой.

по длине кривой L

его интегральной

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
17.05.2024567.13 Кб0F-03-Lektsia_1.pdf
#
10.01.2025233.11 Кб0Materialy_k_lektsii_Ryady_Furye.docx
#
10.01.2025169.96 Кб0Materialy_k_lektsii_Ryady_Furye_2.docx
#
17.05.20246.66 Mб5Metodichka_Grishina (1).pdf
#
17.05.2024353.18 Кб1VTA_lektsia_11.pdf
#
17.05.2024232.02 Кб1VTA_lektsia_12.pdf
#
17.05.2024382.65 Кб1VTA_Lektsia_13.pdf
#
17.05.2024302.83 Кб0VTA_lektsia_14.pdf
#
17.05.2024576.23 Кб0VTA_lektsia_2.pdf