Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Лекции / Metodichka_Grishina (1)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

6.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Например, «лист Мебиуса» классический пример односторонней поверхности.

Поверхность называется двухсторонней, если обход нормали по любому замкнутому контуру не меняет ее направления. В дальнейшем, если не оговорено обратное, будем полагать, что поверхность имеет две стороны. Сторона поверхности, одна из двух, определяется выбором знакав выражении направляющих косинусов нормали. Эти знаки одни и те же для всех точек поверхности. Иногда для нормалей поверхностей, ограничивающих тела в пространстве, употребляются слова «внешняя нормаль», «внутренняя нормаль» в зависимости от того указывает ли нормаль направление внутрь тела или наоборот. Для поверхности заданной уравнением (2) внешняя нормаль составляет острый угол с осью oz .

Говорят, что направление обхода замкнутого контура на выбранной стороне поверхности согласовано с выбором нормали положительно, если движение по контуру воспринимается из конца нормали как вращение против часовой стрелки. В противоположном случае говорят об отрицательном направлении обхода контура.

Площадь поверхности.

Рассмотрим разбиение D	области Du ,v				h	со стороной h , затем каждый квадрат
			на квадраты П
	h	h,1		h,2	:
разобьем на два треугольника П		T		T

Координаты вершин треугольниковT h,1 иT h,2			равны:

R (u ;v ), P(u ; v h), Q(u h,v ) , K (u h;v h) . Каждому из этой пары треугольников
соответствует треугольники в пространстве с вершинами на поверхности S
R(r (R )), P(r (P )), Q(r (Q	)) и K (r (K	)), P(r (P )),Q(r (Q )) соответственно.

Поверхность, являющаяся объединением по треугольников R P Q и K P Q , назовем триангулирующей поверхностью, соответствующей разбиению D , . Поверхность S назовем

регулярной, если между треугольниками R P Q	и R P Q можно установить биективное

отображение (ортогональная проекция на плоскость xoy ), при этом существует число M 0				, для
которого площадь SR P Q	Mh	2	, . Условие регулярности равносильно тому, что углы

между плоскостями треугольников

R P Q

и плоскостью xoy удовлетворяют неравенству

		, т.е. нормаль к поверхности не перпендикулярна оси oz . Поверхность, задаваемая
	2

уравнением (2), регулярная.
Сумму площадей треугольников, составляющих триангулирующую поверхность обозначим
S (r , Du ,v )		. Для регулярной поверхности все слагаемые S (r , Du ,v ) бесконечно малые величины

при h 0 .

Опр. Площадью поверхности S , заданной уравнением (1)

называют число (если оно существует)

над измеримой областью

Du ,v

s	D	lim S		(r , D	)
	D	d	0	u ,v

Теорема 1 (формула для вычисления площади поверхности)

Если гладкая, без особых точек, регулярная поверхность S задана уравнениями областью Du ,v , то площадь поверхности существует и вычисляется по формуле:

(1) с измеримой

sD	A	2	B	2	C	2	dudv
D
u ,v

(4)

Здесь функции A(u, v), B(u, v), C(u, v) определяются формулами (3).

Вычисление площади треугольника

P Q

R P

r u

; v h r (u

, v

) h,

; v h

, v ) r (u

С учетом гладкости поверхности

R P

o (1)) h , а

R Q

(rv

(u , v )

R P

R Q

(r (u

, v

) o(1)) (r (u , v ) o(1))

RPQ

Аналогичная формула справедлива для парного треугольника K P Q

(r (u		, v	) o (1))
u

r (u		, v	) r (u		,
u			v

h v

. Тогда

) o(h	2	)

r (u

, v

) r (u

, v

) o(h

)

KPQ

Тогда

S (r , Du ,v ) ru (u , v ) rv (u , v ) o(1) h2 ru (u , v ) rv (u , v ) u v o(1)

A2 (u , v ) B2 (u , v ) C 2 (u , v ) u v o(1)

В правой части равенства содержится интегральная сумма для (4) и ее предел по условию существует. Предел выражения слева тогда также существует и равен площади поверхности.

Формуле (4) может быть предана иная форма:

A	2	B	2

где E xu 2 yu 2 zu 2 ,

Тогда

C2 xuv

F xu xv

y	z	x			x	E
y	z	x			x	E
			u		v
u	u		y		y
y	z		y		y
y	z		u		v	F
v	v		z		z
			z		z
			u		v
y y z z				,	G x 2
u	v	u	v			v

	F	,
	G	,
	G

yv 2 zv 2 .

sD		E G F	2	dudv	(4)*
			2

	D
	u ,v

Если поверхность S

задается явно уравнением (2) и Dx, y

измеримый компакт,

регулярная и

E 1 f 2 , G 1 f 2

f f

EG F 2

1 f

1 f 2

f f

Тогда

f y

dxdy

(4)**

1 fx

u ,v

Пример 1. Вычислить площадь шарового сегмента сферы радиуса R и высотой h .

то поверхность

1 f	f
2	2
x	y

РЕШЕНИЕ.

S : x2 y2 z2 R2 , R h z R

Перепишем уравнение поверхности

в параметрической форме, используя

	x R cos cos ,

	сферические координаты y R cos sin ,
		z R sin
		z R sin

	arcsin	R h
		R

0 2

r R cos sin ; R cos cos ;0 , r Rsin cos ; Rsin sin ; Rcos ,

r	r

R	2	cos	2	cos ; R	2	cos	2	sin ; R	2	sin

cos

r r

R	2	cos

/ 2

Тогда Sсег R

cos d d R

cos d 2 R

sin

arcsin

R h

	R h	2 Rh .
sin arcsin

	R

Упражнение. Площадь поверхности вращения.

Предположим, что криволинейная трапеция Gaf,b (x; y) R2 : a x b, 0 y f (x)

вращается вокруг оси ox . Требуется найти формулу для вычисления площади боковой поверхности тела вращения. Уравнение поверхности вращения

	y	2
		2
В качестве Dxy	выбираем Dxy

Применим формулу (4)**:

z	2	f	2	(x) z	f	2	(x) y	2


	(x, y) R2 : a x b, f (x) y

(x)

f (x) f (x)

(x)(1 f

(x))

, z

1 z

(x) y

Тогда площадь поверхности вращения

f (x)

(x)

( x)

S 2

dxdy

f (x)

1 f

(x)dx

(x) y

f ( x)

y f ( x)

2 f (x) 1

(x)dx arcsin

f (x)

(x)dx

f (x)

y f ( x)

Пример 2.

Решение.

	L
		2
y		h
		h
2 L		L
		2

Найти площадь поверхности прямого кругового конуса с высотой h

2 L

1 f

(x)

S 2

2 Lr

и образующей

2	x	2	x h


	2
			x 0

Ф-03- лекция 5. Тройной интеграл. П.1 Измеримые множества в пространстве.

«Кирпичиком» для построения измеримых множеств в пространстве R										3	является
											является
параллелепипед Пabc x, y, z : xi x xi			a, y j				y y j b, zk z zk c с вершиной в
точке xi , y j , zk , его параметр d (Пabc )			a	2	b	2	c	2	- диагональ параллелепипеда.
точке xi , y j , zk , его параметр d (Пabc )			a		b		c		- диагональ параллелепипеда.
ОПР. Телом G в пространстве называют открытую, односвязную и ограниченную область
в R	3	. Замкнутая область – это G G G , где G - совокупность граничных точек.
в R
ОПР. Ступенчатым телом G называют объединение параллелепипедов П , возможно
пересекающихся по границе, G = П . Ступенчатое тело G вписано в G , если

П		G, , и описано, если G G	. Параметром d (G ) ступенчатого тела называют
число d (G ) = max d (П ) .

ОПР. Нижней мерой тела G называется число (G) sup (G ) , где верхняя грань берется

по всем ступенчатым телам, вписанным в G . Верхняя мера тела G называется число
					G - ступенчатые тела, описанные около G . Числа (G) и	(G)
	(G) inf (G ) , где


существуют для любого G .
ОПР. Тело G				измеримо в пространстве, если (G) = (G) = (G) .
Число			(G) называется мерой тела G или его объемом.
ПРИМЕРЫ измеримых областей.
1. Пabc			(x, y, z) R3		: x0 x x0 a, y0 y y0 b, z0 z z0 c - параллелепипед со
сторонами a,b, c и вершиной (x0 , y0 , z0 ) , Пabc abc
2. TD			D a;b x, y, z : x, y D, z a;b - прямой цилиндр, образующая которого
		a,b

перпендикулярна плоскости ХОУ, с основанием D и высотой b a , где (D) - площадь

области D .
ПОЯСНЕНИЕ. Если D П		ступенчатая область, вписанная в D , то объединение

				a,b
параллелепипедов П a;b является ступенчатым телом, вписанным в TD
Его объем при d (D ) 0	стремится к величине (T		a,b	) (b a) (D) .
Его объем при d (D ) 0	стремится к величине (T			) (b a) (D) .
		D

3. VDf ,g x, y, z : x, y D, g(x, y) z f (x, y) - стандартная область по оси ОZ,

где

g(x, y), f (x, y) кусочно-гладкие функции в измеримой области D

на плоскости R2 .

(VDf ,g )		f (x, y g(x, y))dxdy .
(VDf ,g )		f (x, y g(x, y))dxdy .
	D
ПОЯСНЕНИЕ. Если D П ступенчатая область, вписанная в D и

			m ( f ) min f (M ) , M ( f ) max f (M ) .
				M П	M П

Тогда объединение параллелепипедов П M (g);m ( f ) представляет ступенчатое тело,
		f ,g		, а объединение параллелепипедов П m (g);M ( f ) - ступенчатое
вписанное вVD
тело, описанное околоV f ,g . Предел объемов каждого из них при d (D ) 0						равен
				D
				(VDf ,g ) f (x, y g(x, y))dxdy .
					D
4. Тело Gc с измеримыми сечениями.					Рассматриваются тела G , у которых сечения

плоскостями перпендикулярными координатным осям, например, плоскостями с уравнением z p , измеримы на плоскости ХОУ, т.е. для любого p a,b область

D		x, y	R	2	: x, y, p
				2
	p
переменной			p на отрезке

a;b

измерима и ее

. Множество G

мера

p	x,

y, z :

непрерывная функцияx, y Dp , z p назовем

сечением тела G плоскостью z p . Тогда тело

и (G )

)dp ее объем.

p a,b

ПОЯСНЕНИЕ. Если a 0 , 1,..., k , k 1,... n

разбиение отрезка

a;b

с параметром

разбиения d . Разбиение пересечения D

на прямоугольники D

= П

k 1

порождает разбиение тела G на параллелепипеды

П k ; k 1 . Объем ступенчатого тела,

		n	) ) k 1 k , где o(1)
построенного из них равен ( (D			) ) k 1 k , где o(1)	при
			k
		л 0
	b
стремится к (G)		(Dp )dp при уменьшении параметра разбиения.
стремится к (G)		(Dp )dp при уменьшении параметра разбиения.
	a

d (D )

В частности, цилиндр 2) тело с измеримыми сечениями и (Dp ) (D)																															-	постоянная на
отрезке a,b функция.
ПРИМЕР 1. Найти объем тела ограниченного поверхностями:
										z x y ,				z xy , x y 1,							x 0		,	y 0 .
РЕШЕНИЕ. Рассмотрим сечения плоскостями y p 0;1 .Тогда область																																Dp (трапеция) на
плоскости					XOZ			имеет границы						z x p ,				z px , x 1 p ,							x 0			и ее мера (площадь)
				1 p								x p				px	2			1
				1 p								x p				px				1
														2							1 p(1 p)							- непрерывная функция
(Dp )					x p px dx													1 p							2	p	2
																		1 p							2		2
													2			2		0		2
				0									2			2				2
				0																		1	1	1 p(1 p)							dp
																							1
на отрезке [0;1]. Тогда объем тела															G	равен:			(G)									2	p	2
																												2		2
																						2
																						2	0
																							0
	1	1										7
	1											7
			1 p		p	2	p		3	dp .
						2			3
	2	0									24
		0
П.2 Тройной интеграл.
Пусть G - измеримое тело и													G = П соответствующее разбиение G на

параллелепипеды. В каждом параллелепипеде																				П выберем произвольную точку P П .
ОПР. Интегральной суммой функции f (x, y, z)																				по области G						называют выражение:
												S f (G ) f (P ) (П ) .

ОПР. Тройным интегралом Римана функции

f (x, y, z)

по области

называют число:

f (x, y, z)dxdydz

lim d ( ) 0

S	f

)

Если функция имеет тройной интеграл, то она называется интегрируемой по Риману в области G .

ТЕОРЕМА 1. (необходимое условие интегрируемости)

Если функция f (x, y, z) интегрируема в измеримой области G , то она ограничена в G .

ДОК. (аналогично соответствующей теореме для двойного интеграла) ТЕОРЕМА 2. (достаточное условие интегрируемости)

Всякая кусочно-непрерывная на измеримом множестве G функция интегрируема по Риману.

ДОК. (аналогично соответствующей теореме для двойного интеграла)

СВОЙСТВА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА. (аналогичны свойствам двойного интеграла).

1. линейность:		f g)dxdydz		fdxdydz		gdxdydz
1. линейность:		f g)dxdydz		fdxdydz		gdxdydz
	G		G		G

2. аддитивность по множеству G G1 G2 , где

пересекающиеся по границе. Тогда		fdxdydz

G1 и G2 - измеримые множества,

		fdxdydz		fdxdydz .

G	G	G
	1	2

теорема о среднем. Если c , yc , zc G , для которой

f (x, y, z) непрерывна на G

	f (x
f (x, y, z)dxdydz	f (x	,
	c
G

, то существует точка

yc , zc ) (G) .

4. Оценка отклонения интеграла от интегральной суммы:

f (x, y, z)dxdydz S f (G ) f ( ) (G) ,

где G - любое разбиение G на параллелепипеды с параметром

колебания f (x, y, z) : f	( )	sup		f (M1 ) f (M	2 )
		( M	,M	)
		1	2

, а

	f

( )

- функция

Для непрерывной функции f (x, y, z)

на

колебание

	f

( )

бесконечно малая функция в

точке

5. Если

(

x, y, z) =

1, x, y, z G
	x, y, z G
0,

- характеристическая функция области

, то

(G)

(x, G

z)dxdydz

П.3 Повторные интегралы.

Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойных и одномерных интегралов, т.е. к повторному интегрированию. Для областей, рассмотренных выше, эта процедура следующая (рассматриваются функции F(x, y, z) кусочно-непрерывные в G ).

1. Для G = Пabc :

F (x, y, z)dxdydz

x	a		y	b		z	c
0			0			0
		dx			dy	F (x, y, z)dz

(1)

G	x	y	0	z	0
	0
Внутренний одномерный интеграл берется по переменной z на отрезке z0 ; z0 c , при
фиксированных (x, y) и поэтому является непрерывной функцией двух переменных x, y .

Интегрирование этой функции по переменной y на отрезке y0 ; y0 b при фиксированном

x задает функцию переменной x , которая интегрируется на отрезке x0 ; x0 a

Док.

x a

y b

z c

x a

y b

x a

y j 1

dy F (x, y, z)dz

dx F (x, y, zk )dy

k 1

j 1 y

n,m

p xi 1

n,m, p

zk y j F (x, y j , zk )dx

F (xi , y j , zk ) xi y j zk

k , j 1

i 1 xi

k , j ,i 1

для некоторых точек xi , y j

, zk , xi xi ; xi 1 , y j y j ; y j 1 , zk zk ; zk 1 . Последнее

представляет интегральную сумму тройного интеграла и ее предел равен с одной стороны тройному интегралу, а с другой повторному.

Порядок интегрирования по прямоугольнику может быть изменен.

Пример 2. Вычислить интеграл		dxdydz	3
		1 x y z	3

	G
x 0, y 0, z 0, x y z 1

Решение

, где область

ограничена плоскостями

Рассматривается функция
											1/ (1 x y z)3 , (x, y, z) G
						F (x, y, z)
						F (x, y, z)						0, (x, y, z) П1,1,1 \ G										.
												0, (x, y, z) П1,1,1 \ G

Тогда по формуле вычисления интеграла по параллелепипеду
			dxdydz			1	1		1							1	1 x	1 x y				dz
			dxdydz			dx dy F (x, y, z)dxdydz dx dy																dz
		1 x y z			3	dx dy F (x, y, z)dxdydz dx dy														1 x y			z			3
G		1 x y z				0	0		0							0	0	0		1 x y			z
	1	1	1 x			1				z 1 x y			1	1	1 x		1				1		1	1			1	(1 x)	1
		1	1 x											1	1 x									1
		dx												dx
		dx						2				dy		dx					2			dy							dx
	2	0	0	(1 x y z)					z 0				2	0	0		(1 x y)				4		2	0	1 x			4	2

1 ln 2 5

2 8

2. Если

T	a,b

D

, то

F (x, y, z)dxdydz G

b
dz F (x, y, z)dxdy
a	D

(2)

Внутренний двойной интеграл берется по области

D на плоскости ХОУ при

фиксированном z и является непрерывной функцией этой переменной, которая интегрируется на отрезке a;b .

Док.

F (x, y, z)dxdy

F (x, y, z)dxdy zk

F (x, y, zk )dxdy

k 1

Пусть D

- ступенчатая область,

вписанная в D . Тогда		F (x, y, zk
вписанная в D . Тогда		F (x, y, zk
	D

являющаяся объединением прямоугольников П , ,

)dxdy F (x , y , zk ) x y o(1)	и

b		n
dz F (x, y, z)dxdy F (x , y , zk ) x y zk o(1)
a	D	i 1

Второе слагаемое справа – интегральная сумма для тройного интеграла и ее предел равен самому интегралу с одной стороны, а с другой – повторному интегралу.

3. Если

G =

	V	f ,g
	V	D
		D

, то

F (x, y, z)dxdydz

f( x, y )

dxdy F (x, y, z)dz

(3)

G	D	g ( x, y )
Внутренний одномерный интеграл берется по переменной z			при фиксированных x, y

на отрезке g(x, y); f (x, y) и является непрерывной функцией этих переменных.

Последняя функция интегрируется по области D , и полученное число представляет тройной интеграл функции F(x, y, z) по области G .

Док. Пусть

F (x, y, z)

Тогда

	m min g(
		( x, y ) D
	F (x, y, z),
		0, z m, g
		0, z m, g

x, y), M max f (x, y) и ( x, y ) D

g(x, y) z f (x, y), (x, y) D (x, y) f (x, y), M , (x, y) G

f ( x, y )

k 1

dxdy

F (x, y, z)dz dxdy

F (x, y, z)dz

g ( x, y )

k 1

F (x, y, z

)dxdy

F (x

, y

, z

) x y

o(1)

k 1

F (x , y

, z

) x y

o(1)

F (x

, y

, z

) x y

o(1)

k ,

Первое слагаемое в правой части равенства – интегральная сумма тройного интеграла

F (x, y, z)dxdydz , который существует, а левая часть равенства – повторный интеграл. G

Предельный переход при d( ) 0

Пример 3. Вычислить интеграл

доказывает формулу (3).

zdxdydz , где область G ограничена поверхностью

		h	2
конуса z	2	h		(x	2	y	2	)
	2				2		2
		R	2
			2

Решение

и плоскостью z h .

	h
zdxdydz zdz dxdy
G	0	D
		z

, где

круг

				z	2	R		2
x	2	y	2	z		R
x		y

					h		2
					h

. Во внутреннем интеграле

вычисляется площадь круга, т.е. R2 z2 h2

и
и
	G

		z	4		z h	2	h	2
			4			2		2
zdxdydz R	2					R
zdxdydz R		4h		2		4
				2
					z 0
					z 0

4. Если

G	c

, то

F (x, y, z)dxdydz G

b
dp F (x, y, p)dxdy
a	D
	p

(4)

Внутренний двойной интеграл берется по сечению области G плоскостью z p , а внешний одномерный интеграл берется по отрезку значений параметра p , при которых эти сечения не пусты.

ДОК. Разобьем отрезок a;b на отрезки pk ; pk 1 длиной pk .По теореме о среднем для одномерного интеграла на отрезке pk ; pk 1 существует точки pk pk ; pk 1 , для которых

b	n
dp F (x, y, p)dxdy	F (x, y, pk )dxdy pk . Оценим двойной интеграл с помощью
a Dp	k 1 Dp
	k
интегральной суммы:
F (x, y, pk )dxdy F (x , y , pk ) x y o(1) ,
Dp
k

построенной по ступенчатой области Dk ( ) , являющейся объединением прямоугольников Пk , , Пk , x y . Тогда повторный интеграл можно представить в виде:

n
F (x, y, pk )dxdy pk	F (x , y , pk ) x y pk o(1)
k 1 Dp	k ,
k

Выражение справа при d( ) 0 имеет предел, равный тройному интегралу, а выражение слева равно повторному интегралу.

Пример 4. Вычислить интеграл x2 dxdydz , где область G

			G
z y2 ,	z 4 y 2 ,	z x ,	z 2x , z 1,	y 0 .

ограничена поверхностями:

РЕШЕНИЕ. Буква z наиболее часто встречается в уравнениях границы, поэтому сечения следует проводить перпендикулярно оси OZ плоскостями z p . Сечением являются

прямоугольники Dp					, границы которого имеют уравнения:
x	p	,	x p ,	y	p	,	y	p , p 0;1 .
	2				2

Тогда

x	2	dxdydz

1
dp x		2	dxdy
dp x			dxdy
0	D
	p

1	p			p
dp x		2	dx	dy
dp x			dx	dy
0	p / 2			p /	2

1	7	1

3	8
		0

p	7	dp
	2

		7
		108
		108

П.3 Замена переменной в тройном интеграле.

ОПР. Заменой переменной в пространстве называют биективное отображение

Gu,v,w

G
f
	x, y,z

области

G	u ,v,w

R	3

на область

G	x, y,z

в R

, при котором каждая точка

		x x(u,v, w),
Q(u,v, w) Gu ,v,w переходит в точку
		P(x, y, z) Gx, y,z , причем y y(u,v, w),
			z z(u,v, w)


Отображение задается непрерывно дифференцируемыми функциями
x x(u,v, w) ,	y y(u,v, w) , z z(u,v, w)

	x	x	x
	u	v	w
Определитель J (u,v, w)				0	называется якобианом отображения f .
Определитель J (u,v, w)	yu	yv	yw	0	называется якобианом отображения f .
	z	z	z
	u	v	w

Пример 5 (сферическая замена переменных)

Положение точки Q в пространстве можно характеризовать тремя числами u r , v w - сферическими координатами точки. Здесь r - расстояние точки Q до точки О - начала координат r 0 . Если Q проекция точки Q на плоскость ХОУ, то - угол, который образует вектор OQ с положительным направлением оси ОХ, 0;2 .

Наконец,
Наконец,	- угол, который образует вектор OQ с плоскостью ХОУ,		;
		2
		2		2

Связь между декартовыми и сферическими координатами осуществляется по формулам :

x r cos cos ,

r sin cos , . Например, прообразом шара: x

при отображении

z r sin

сферической замены является параллелепипед r, , : 0 r R, 0 2 ,

cos cos

r sin cos

r cos sin

Якобиан сферической замены J (r, , ) sin cos

r cos cos

r sin sin

sin

r cos

= r2 sin2 cos sin

cos

r2 cos3 cos

sin

r2 cos

cos

sin

cos

 2

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
17.05.2024567.13 Кб0F-03-Lektsia_1.pdf
#
10.01.2025233.11 Кб0Materialy_k_lektsii_Ryady_Furye.docx
#
10.01.2025169.96 Кб0Materialy_k_lektsii_Ryady_Furye_2.docx
#
17.05.20246.66 Mб5Metodichka_Grishina (1).pdf
#
17.05.2024353.18 Кб1VTA_lektsia_11.pdf
#
17.05.2024232.02 Кб1VTA_lektsia_12.pdf
#
17.05.2024382.65 Кб1VTA_Lektsia_13.pdf
#
17.05.2024302.83 Кб0VTA_lektsia_14.pdf
#
17.05.2024576.23 Кб0VTA_lektsia_2.pdf