Лекции / Metodichka_Grishina (1)

Ф-03-Лекция 3 Приложение двойного интеграла

Геометрические приложения

П.1 Вычисление площади области

Если область G измерима, то ее площадь (мера) равна

SG 1 dxdy

G

Действительно, интегральная сумма для функции

f (x, y) 1

,

соответствующая разбиению

G

, равна сумме площадей прямоугольников,

составляющих

G

d( ) 0

совпадают: один равен

. Тогда их пределы при

x r cos

Полярная замена

приводит к записи уравнения кривой в

y r sin

полярной системе:

r

4

2ar

3

cos

3

r 2a cos

3

,

;

2

2

/ 2

2a cos3

/ 2

a2

/ 2

S

dxdy

d

rdr 2a2

cos6 d

(1 cos 2 )3 d

G

4

G

/ 2

0

/ 2

/ 2

a

2

5 a

2

(1 cos )3 d

8

8

П.2 Вычисление объемов цилиндрических тел

Тело C G, f , g x, y, z R3

: (x, y) G, g(x, y) z f (x, y)

назовем цилиндрическим с основанием G

, ограниченного цилиндрической

поверхностью с направляющей

G

и образующей перпендикулярной

плоскости

xoy

, а также двумя поверхностями с уравнениями

z g(x, y)

и

z f (x, y)

.

Если область G

измерима, а функции z g(x, y) и z f (x, y) непрерывны

на

G

, то объем цилиндрического тела C равен

VC f (x, y) g(x, y) dxdy

G

G

G

Действительно, рассмотрим ступенчатую область

, вписанную в

. Из

ограниченности функций

f (x, y)

и

g(x, y)

следует существование константы

VC G, f ,0

f (x, y)dxdy . Аналогично,VC G,g ,0 g(x, y)dxdy

G

G

Тогда

VC VC G, f ,0

VC G,g ,0 f (x, y)dxdy g(x, y)dxdy

G

G

x 0, y 0, z 0

, цилиндрической поверхностью

x

2

y

2

R

2

и

поверхностью гиперболического параболоида

z xy

(в первом октанте)

Решение

/ 2

R

R

4

/ 2

R

4

/ 2

R

4

V

d r

3

sin cos dr

sin d sin

sin

2

4

8

0

8

0

0

0

П. 3. Механические приложения

Масса неоднородной пластины

Дана плоская неоднородная пластина G

с поверхностно распределенной

m

плотностью массы

(x, y) 0

. Здесь

(x, y) lim

U

(x, y)

, где

(x, y)

0

U

( x, y) П

inf

(x, y)

П

m G

sup ( x, y)

П

( x, y) П

M x G y (x, y)dxdy,

M y G x (x, y)dxdy

G

G

G

Центр тяжести пластины

y (x, y)dxdy

x (x, y)dxdy

x

G

, y

G

G

mG

G

mG

G

G

( y y

) (x, y)dxdy 0

(x

x

) (x, y)dxdy 0

G

G

и

xG mG y (x, y)dxdy ,

yG mG x (x, y)dxdy

G

G

Пример 3. Найти статистические моменты Mx и M y

однородной пластины в

G f

x b, 0 y

форме криволинейной трапеции

(x, y) : a

f (x)

a,b

Решение

b

f ( x)

1

b

По условию (x, y) 1, тогда M x

ydxdy dx

ydy

f 2 (x)dx

Gaf,b

a

0

2 a

b

f ( x)

b

M y

xdxdy xdx

dy xf (x)dx

G

f

a

0

a

a ,b

/ 2

1

kab

/ 2

kab

G

3

m

k

xydxdy k

d

ab

sin cos d

sin d sin

4

8

G

0

0

0

Вычислим статические моменты Mx

и M y :

/ 2

1

2

b

3 / 2

2

b

3

M x

k xy

dxdy ka

b

3

d

4

sin

2

cos d

ka

sin

2

d sin

ka

2

2

G

0

0

5

0

15

/ 2

1

3

2 / 2

3

2

M y

k x

2

3

2

d

4

2

ka b

2

ka b

ydxdy ka b

sin cos

d

5

cos

d cos

15

G

0

0

0

J

x

(G)

y2 (x, y)dxdy

J

y

(G)

x2

(x, y)dxdy

G

G

2sin cos K

xy

Здесь число

K

xy

(G)

xy (x, y)dxdy

называется центробежным моментом

G

Пример 6. Плоская пластина G с распределенной на ней массой с

плотностью

(x, y)

расположена в пространстве и вращается вокруг оси

oy

с

угловой скоростью (рис). Найти величину возникающей при этом

центробежной силы и ее момент относительно оси

oz

вращении центробежную силу F

2 x m . После суммирования по ,

получим

2

2

x

inf

(x, y) (П )

F

x

sup

(x, y) (П )

( x, y ) П

( x, y ) П

ОПР. Гладкая поверхность S

в пространстве R

3

задается параметрическими уравнениями

x x(u,v),

переменных (u,v) или в координатной форме y y(u,v), (1)

z z(u,v)

с заданными функциями

x(u,v),

y(u,v), z(u,v), имеющие непрерывные частные производные

Вектор n (x, y, z) A; B;C называется нормалью к поверхности S в точке (x; y; z) на

поверхности. Ее длина и направляющие косинусы вычисляются по формулам:

n

2

B

2

C

2

, cos

A

; cos

B

; cos

C

A

B

C

B

C

B

C

A

A

A

2

2

2

2

2

2

2

2

2