Лекции / Metodichka_Grishina (1)
.pdfФ-03- Лекция 1. Двойной интеграл. П.1 Измеримые множества на плоскости. Мера множества.
ОПР. Областью G на плоскости назовем открытое, связное множество, т.е.
1) вместе с каждой точкой |
P G |
области принадлежит и внутренность |
|||
|
|||||
некоторого круга |
U |
|
(P) M R2 |
: (M , P) |
|
|
|
|
с центром в точке P ; |
2) для любых двух точек P
: ; R |
|
2 |
, для которой |
|
и
Q области G ( ) P, (
существует
) Q |
(t) |
, |
|
непрерывная кривая G, t ;
ОПР. Границей области
G
называют множество точек
G
плоскости, для
которых любой круг
0 U
(T )
с центром в точке
T
G
содержит точки
M G
и точки |
M G |
. |
|
ОПР. Множество G G G называется замкнутой областью (замыкание G ).
ОПР. Многосвязная область – конечное объединение односвязных областей. ОПР. Область G ограничена, если существует круг на плоскости,
содержащий G . |
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРИМЕРЫ областей. |
(x, y) R |
|
: a x b, c y d |
|
|||||
1. Прямоугольник |
|
a,b |
2 |
- замкнутая |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
П |
c,d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
область, параметр прямоугольника |
d(П) |
- длина его диагонали. |
|||||||
|
|
||||||||
2. Ступенчатая область G - объединение конечного числа прямоугольников |
|||||||||
П |
|
пересекающихся только по границе. |
|
||||||
, |
|
|
Ступенчатая область G |
вписана в G , еслиG G , и описана около G , |
если G G |
|
Параметром d( ) ступенчатой области называют число d( ) = max d (П ) .
Он характеризует малость диагоналей прямоугольников, составляющих G .
Объединением двух ступенчатых областей G 1 и G 2 назовем ступенчатую область G ,
для которой 1) |
G |
|
G |
|
|
G |
|
|
( как множества на плоскости) 2) набор |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
прямоугольников |
П |
|
|
, составляющих G , удовлетворяет условиям : |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
для любых прямоугольников |
|
|
П |
|
|
, |
|
1 |
|
и |
П |
|
|
, |
|
2 |
|
2 |
существуют наборы |
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
и |
|
2 прямоугольников из |
|
|
, для которых |
П |
1 |
П |
и |
П |
2 |
П |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Очевидно,
d( ) d( 1 )
и |
d |
|
( )
d( |
2 |
) |
|
|
.
3. Криволинейная трапеция |
K |
a,b |
( f , g, x) |
x, y : a x b, g(x) y f (x) , где |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
функции |
f (x), g(x) |
- непрерывные функции на отрезке |
a;b |
. Границей |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
области являются: прямые |
x a |
и |
x b |
, а также графики функций |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
f (x), g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Такую область будем называть стандартной по оси ОХ. |
Стандартной областью по оси ОУ будем называть криволинейную трапецию
K |
с,d |
|
( , , y)
x, y : c y d, ( y) x ( y) .
4. Область с кусочно-гладкой границей – объединение конечного числа стандартных областей по осям ОХ и ОУ, пересекающихся только по
участкам прямолинейных границ, а функции f (x), g(x) , ( y), ( y) – дифференцируемые на соответствующих отрезках.
ОПР. Верхней мерой области G называют число |
(G) inf S G |
|
, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
G |
|
|
|
|
G |
, |
S G |
|
- сумма площадей |
|||||
- ступенчатые области, описанные около |
|
|
|
|
|
||||||||||
прямоугольников, составляющих |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ОПР. Нижней мерой области G называют число |
|
(G) sup S G |
|
, где |
G |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ступенчатые области, вписанные в G , |
S G |
|
= |
S ( П |
) - сумма площадей |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямоугольников, составляющих
G
.
Числа (G) и (G) существуют для любых ограниченных областей плоскости.
ОПР. Область |
G |
на плоскости называется измеримой, если |
||
|
||||
|
|
|
|
(G) = (G) = (G) . |
|
|
|
Число (G) называется мерой (площадью) области G . В рассмотренных примерах:
1. |
( П |
c,d |
)= |
(b a) (d c) |
. |
|
a,b |
||||||
|
|
G
на
3. |
|
|
(
b Ka,b ( f , g, x)) ( f a
(x)
g(x))dx
,
(
d Kс,d ( , , y)) ( ( y) ( y))dy
c
Верхняя и нижняя меры этих областей совпадают с верхним и нижним интегралами подынтегральных функций и их равенство равносильно интегрируемости этих функций.
Измеримость областей из примеров 2) и 4) следует из того, что они составлены из конечного числа областей 1) и 3).
СВОЙСТВА МЕРЫ.
1. |
(G) 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Если области |
G |
|
G |
|
|
G |
|
G |
|
(G ) (G ) |
. |
|
|
||||||||
|
1 и |
|
2 измеримы и |
1 |
2 , то |
1 |
2 |
|
|
||||||||||||
3. Если G измеримая область, то |
( G) 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ДОК. |
0 |
, |
|
: |
области |
G |
, |
G |
|
- вписанная и описанная такие, что |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G G |
/ G |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
и 0 ( G) ( G) ( G |
/ G ) , т.е. ( G) ( G) 0 |
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
4. Если области G1 и G2 измеримые и пересекаются только по границе, то
(G1 G2 ) (G1 ) (G2 ) .
5. Если области |
G |
|
|
G |
измеримы, то измеримы |
G G |
, |
G G |
и |
|||||||||
1 |
и 2 |
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|||||||||||
|
(G G ) (G ) (G ) (G G ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
П.2 Понятие двойного интеграла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть функция |
f (x, y) |
определена в измеримой области |
G |
на плоскости и |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
G |
|
|
|
|
|
|
G |
или описанная около нее. В каждом |
||||||||||
- ступенчатая область, вписанная в |
|
|||||||||||||||||
прямоугольнике |
П |
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
G |
. |
|||
|
|
выбирается произвольная точка |
|
|
|
|||||||||||||
ОПР. Интегральной суммой функции |
f (x, y) |
в области |
G |
, называют |
||||||||||||||
|
|
|
|
выражение
SG ( f , ) f (M ) (П ) ,
зависящее от выбранной ступенчатой области G и набора точек M ОПР. Интегралом Римана функции f (x, y) по области G , называют
|
П |
|
число
.
G
f
(x,
y)dxdy
=
lim d ( ) 0
S |
G |
( f , ) |
|
|
0 |
|
: G |
, (G ) (G) , d |
|
, M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
S f ( , M ) f (x, y)dxdy |
|
|
|
|
||||
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
Если интеграл существует, то функция |
f (x, y) называется интегрируемой по |
|||||||
Риману в области G . |
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 1. Вычислить, исходя из определения, интеграл
xydxdy
П0,1
0,1
.
РЕШЕНИЕ.
Разобьем прямоугольник
П |
0,1 |
n |
|
П |
|
||
|
|
|
|
|
0,1 |
i, j 1 |
i, j |
|
|
|
на прямоугольник
П(x, y) : i 1 x i ,
i, j
n n
j 1 |
|
|
n |
||
|
y
j n
,
i
1,2,...n
,
j 1,2,...n
Функция |
f ( |
|
разбиения на
x, y) xy |
П |
0,1 |
|
0,1 |
|||
интегрируема на |
|
прямоугольники и выбора точек
и интеграл не зависит от
M |
|
П |
|
. В качестве точек |
возьмем
M |
|
( |
i |
; |
j |
) |
|
i, j |
n |
n |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
. Тогда интегральная сумма
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
i j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S f (П, ) |
|
|
|
|
|
(Пi, j ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
i 1 |
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n n |
i j 1 |
|
1 |
|
n |
n |
1 |
|
n(n 1) |
n |
(n 1) |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i j |
|
|
|
|
i |
|
|
. |
|||||
n |
2 |
n |
2 |
|
|
n |
4 |
n |
4 |
2 |
4n |
2 |
||||||||||||
i 1 j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
j 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
Параметр разбиения равен d ( ) |
|
2 |
|
и стремится к нулю с ростом n . |
n |
|
|||
|
|
|
xydxdy
П0,1
0,1
= lim
d ( ) 0
S |
G |
( f |
|
|
, )
=
|
(n 1) |
2 |
|
lim |
|
||
4n |
2 |
|
|
n |
|
||
|
|
1 4
.
ТЕОРЕМА 1. (необходимое условие интегрируемости)
Если функция интегрируема на G , то функция ограничена на G . ДОК. Если функция интегрируема, то все ее интегральные суммы
ограничены. Если бы функция оказалась неограниченной, то она была бы
|
|
|
|
|
|
П |
G |
|
|
|
|
неограниченной на некотором прямоугольнике |
|
и существует |
|
||||||||
последовательность точек |
M |
|
|
П |
G , для которых |
f (M |
|
) n |
. |
||
|
n |
, M |
|
n |
|||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
Тогда последовательность интегральных сумм, у которых не меняются точки
M
для
, а
M |
|
|
M |
n |
|
|
|
|
неограниченная, поскольку одно из слагаемых в
сумме f (M n ) (П ) n (П )
растет к
с ростом
n
, а другие неизменны.
Колебанием функции
f
(x,
f
y)
(
называют величину:
) |
sup f (M |
1 ) f (M |
2 ) . |
|
( M1 ,M 2 ) |
|
|
Здесь через
(M |
, M |
) |
1 |
2 |
|
f (M ) |
обозначено значение функции |
f (x, y) |
в точке |
||
|
|
||||
- расстояние между точками M1 |
и M2 |
на плоскости. |
M (x,
y)
,
Замечание. Если функция |
f (x, y) |
непрерывна на замкнутом, ограниченном |
|
множестве, то она равномерно непрерывна на этом множестве и функция
|
f |
( ) |
переменной |
|
непрерывна в нуле. |
|
|
|
Лемма. Пусть G П - прямоугольник с параметром d(П) и
G
П |
|
|
|
|
- его разбиение на прямоугольники, пересекающиеся только по
границе. Функция f (x, y) непрерывна на |
П . Тогда для любых точек |
||||||||||
и |
M |
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справедлива оценка: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
f (M |
|
) (П |
|
) f (M ) (П) |
( ) (П) |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДОК. f (M ) (П ) f (M ) (П ) |
f (M ) f (M (П , ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (M ) f (M ) (П ) |
f ( ) (П ) f ( ) (П) . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M П
ТЕОРЕМА 2 (достаточные условия интегрируемости)
Всякая непрерывная функция на замкнутом, ограниченном и измеримом множестве G интегрируема на G .
ДОК. Покажем, что последовательность интегральных сумм удовлетворяет
критерию Коши, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
: G |
1 |
, G |
|
2 |
: |
|
|
|
G |
1 |
|
|
|
(G) |
, |
|
|
|
G |
|
2 |
|
|
(G) |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d ( ) , d ( |
2 |
) , M |
|
, M |
|
|
|
|
S |
f |
( |
|
, M |
|
) S |
f |
|
( |
2 |
, M |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
G |
|||||||||||||||
Пусть |
. |
|
Рассмотрим объединение |
|
|
|
|
|
|
ступенчатых областей |
|
|
1 |
и |
|
|
2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П G |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
- |
набор прямоугольников из |
|
таких, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 для |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
П G |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
||||||||||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
- набор прямоугольников из |
таких, что |
|
|
для |
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Из измеримости области |
G |
следует, что мера объединения таких |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямоугольников мала, т.е. существует , для которого |
|
~ |
П |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4L |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
для любых |
|
|
|
|
и |
|
|
, для которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
4L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
d ( |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
G |
1 |
|
|
|
(G) |
|
|
, |
|
|
|
G |
2 |
|
|
(G) |
|
|
|
|
|
|
|
|
d( ) |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь |
L |
0 |
- константа, ограничивающая значения функции |
|
|
f (x, y) |
в |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
области |
|
G |
. Кроме того, из условия равномерной непрерывности функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x, y) на G |
|
полагаем, что число |
столь малое, что |
|
|
( ) |
|
|
|
|
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f |
8 (G) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(П |
1 |
) 2 (G) |
, |
|
|
(П |
2 |
) 2 (G) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
S |
f |
|
( , M |
|
) S |
f |
|
( |
, M |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (M ) (П ) f (M 1 ) (П 1 ) f (M ) (П ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Поскольку каждый прямоугольник |
П |
1 |
является объединением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
прямоугольников |
|
для |
|
\ |
, к нему применимо утверждение леммы: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
S |
|
(G, ) S |
|
|
(G, |
) |
|
( ) |
|
|
|
(П |
|
|
|
) L |
|
(П |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f |
f |
|
f |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(2) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогичное неравенство справедливо для области G |
2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
f |
(G, ) S |
f |
(G, |
2 |
) |
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объединяя неравенства (2) и (3), приходим
S |
( |
, M |
|
) S |
( |
, M |
|
|
) S |
( |
, M |
|
) S |
( , M |
) S |
( , M |
) S |
( |
, M |
|
|
f |
1 |
|
f |
2 |
|
2 |
f |
1 |
|
f |
|
f |
|
f |
2 |
|
2 |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
S f ( 1, M ) S f ( , M ) + S f |
( , M ) S f |
( 2 , M 2 ) |
|
|
|
. |
2 |
2 |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
Поскольку последовательность интегральных сумм фундаментальная, она сходится.
ЗАМЕЧАНИЕ. Интегрируемость функции сохранится, если |
f (x, y) |
кусочно- |
|
непрерывна на |
G |
, т.е. существует конечное число измеримых областей |
G |
j , |
|
|
|
||||
G G j , пересекающихся только по границе, на которых функция |
f (x, y) |
||||
j |
|
|
|
|
|
)
непрерывна во внутренних точках и непрерывно продолжена на границу |
G |
j |
|
ЗАМЕЧАНИЕ. В определении двойного интеграла могут быть использованы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
разбиения области G на области Gi |
|
|
|
||||||||||||
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
) 0 |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
lim max d (G |
||||||
G G |
, |
G |
(G |
) |
, |
||||||||||
|
|||||||||||||||
i 1 |
i |
|
i |
|
n |
i |
i |
|
|||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
n |
вместо прямоугольников |
, поскольку в силу измеримости |
Gi |
|||||||
приблизить прямоугольниками. |
|
|
|
|
|
||||
СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА. |
|
|
|
|
|
||||
1.Свойство линейности: |
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|||
|
|
f (x, y) |
g(x, y) dxdy |
|
f (x, y)dxdy |
|
|
g( |
|
G |
|
|
|
|
G |
|
G |
|
|
их можно
x, y)dxdy .
ДОК. Следует из линейности интегральных сумм и свойств пределов.
2. Если f (x, y) 0 |
интегрируемая функция на G , то |
f (x, y)dxdy 0 |
. |
||||
|
|
||||||
|
G |
|
G |
|
|
|
|
Если в точке P |
функция непрерывна и f (P) 0 |
, то |
f (x, y)dxdy 0 |
||||
|
|||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
G |
|
|
.
ДОК.
Неотрицательность интеграла следует из не отрицательности любой интегральной суммы. Из положительности функции в точке P следует, что
существует круг
U (P)
с центром в точке P, внутри которого функция положительна
и |
f (x, y)dxdy |
|
f (x, y)dxdy 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
G |
|
|
|
|
|
U ( P) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Если |
f (x, y) |
непрерывна в области |
G |
, |
M max f ( p) |
, |
m min f ( p) |
, то |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p G |
|
p G |
|
справедлива оценка |
m (G) |
|
|
|
|
|
|
M (G) . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (x, y)dxdy |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДОК. Каждая интегральная сумма удовлетворяет неравенству |
|
||||||||||||||||||||
m (G) S |
f |
(G, ) M (G) |
и неравенство для интеграла получается |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
предельным переходом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. (теорема о среднем для интеграла) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Если f (x, y) непрерывна в области |
G |
(компакте), то существует точка c G |
|||||||||||||||||||
для которой |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
f (x, y)dxdy |
f (c) (G) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДОК. Область значений непрерывной функции |
E |
f |
m; M |
|
. По свойству 3 |
||||||||||||||||
|
|
|
,
1 |
|
|
f (x, y)dxdy |
m, M , т.е. найдется c G , для которой |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
(G) |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
f (x, y)dxdy f (c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(G) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. (аддитивность по множеству) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если |
G |
и |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2 два измеримых множества не пересекаются (или пересекаются |
||||||||||||
только по границе), |
f (x, y) |
определена и измерима на |
G и G |
, то |
||||||||||
|
|
1 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy . |
||||||||
|
|
|
|
|
G G |
2 |
|
|
G |
G |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
ДОК. Каждой ступенчатой области |
G |
( |
|||||
|
|
1 |
1 |
||||
слагаемые в интегральной сумме |
S |
f |
(G |
||||
|
|
|
1 |
||||
интегралам по областям |
G |
G |
|
|
|
|
|
1 и |
2 |
|
|
|
|
|
) |
и |
G |
( |
|
|
|
2 |
|
|
G |
, ) |
|||
|
|
2 |
|
|
2
,
) соответствует свои предел которых соответствует
П.3 Повторные интегралы. |
|
ОПР. Для кусочно-непрерывной функции |
f (x, y) |
d |
b |
существуют интегралы I (x) f (x, y)dy |
и I ( y) |
c |
a |
непрерывными функциями на отрезках a;b и c;d
П c,d
на прямоугольнике a,b
f(x, y)dx , являющиеся
соответственно. Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существуют интегралы |
I (x)dx |
и |
I ( y)dy |
, которые называются повторными |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
c,d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
интегралами функции |
|
на прямоугольнике |
a,b . Их равенство двойному |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интегралу функции |
|
f (x, y) |
на Пac,,bd устанавливает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ТЕОРЕМА 3. Пусть функция |
|
f (x, y) |
непрерывна на прямоугольнике |
П |
|
c,d |
. Тогда |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a,b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y)dx |
dy |
|
(4) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
f (x, y)dxdy |
|
|
f (x, y)dy |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ДОК. Разобьем отрезок |
c; d |
точками |
c y |
, y ,...y |
|
|
d |
на отрезки |
y |
j |
; y |
j 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
длины |
|
j |
y |
j 1 |
y |
j |
и к каждому такому отрезку применим теорему о среднем |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для интеграла, т.е. существуют точки |
y |
|
|
y |
|
; y |
|
|
|
|
, для которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
j |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
y j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
n |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
||||||
b |
d |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||
dx f (x, y)dy |
|
|
|
f (x, y)dy |
|
|
|
|
y j f (x, y j )dx y j |
|
f (x, y j |
)dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 0 |
|
i 0 |
|
i |
|
|
|
|
||||||||
a |
c |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Применим к каждому из отрезков |
x ; x |
|
1 |
|
|
теорему о среднем для интеграла, т.е. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
существуют точки xi |
|
xi ; xi 1 такие, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
n |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
i |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y |
|
)dx |
|
|
|
|
|
f (x , y |
|
|
) x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
i 0 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее представляет собой интегральную сумму для двойного интеграла
f (x, y)dxdy , существование которого обеспечивается условиями теоремы.
П
Разбиение |
П |
|
|
близость |
|
f |
|
||
|
i, j |
|
n
i (xi
,m |
y |
, y |
|
|
П |
j 1 |
|
||
j |
|
с достаточно малым |
||
|
|
|||
|
xi ,xi 1 |
|||
, j |
|
|
|
|
bd
,y j ) xi y j dx f (x, y)dy
ac
( ) |
|
|
обеспечит как угодно малую |
||
к интегралу. |
|
f (x, y)dxdy |
|
||
|
П |
|
Поскольку каждый из интегралов является числом, последнее возможно только при их равенстве.
Аналогично доказывается равенство
d |
b |
|
dy f (x; y)dx f (x, y)dxdy |
||
c |
a |
П |
Замечание. Теорема остается верной, если условие непрерывности функции f (x, y) на прямоугольнике заменить на условие ее кусочнонепрерывности,
т.е. предположить существование у функции разрывов первого рода на прямых x a1, x a2 ,..., x ak или прямых y b1 , y b2 ,..., y bp .
Функция
f (x, y)
непрерывна в каждом прямоугольнике
П |
c |
j |
,c |
j 1 |
|
|
|||
|
a |
,a |
1 |
|
|
i |
|
i |
и к нему
применима доказанная формула
|
|
|
|
|
|
|
a |
c j 1 |
k |
a |
|
p |
c j 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
||||
f (x, y)dxdy |
|
f (x, y)dxdy dx |
f (x, y)dy |
|
|
|
f (x, y)dy dx |
|||||||||
П |
|
i, j |
j , |
j 1 |
i, j |
a |
c |
|
i 1 |
a |
|
j 1 |
c |
|
|
|
|
|
|
c |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пa |
,,a |
i 1 |
|
i |
|
j |
|
i |
|
|
j |
||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
a |
d |
|
|
b |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx f (x, y)dy |
dx f (x, y)dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
i 1 |
a |
c |
|
|
a |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2 Свести двойной
интеграл
f (x, y)dxdy G
к повторному двумя способами, если
G
- область, ограниченная кривыми Решение
y 3x |
2 |
|
и |
y |
|
6 3x
.
1 |
|
6 3x |
|
|
|
|
|
|
|||
Первый вариант: |
dx |
|
|
f (x, y)dy |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
y /3 |
|
12 |
|
(6 y)/3 |
|
||
Второй вариант: |
dy |
|
|
|
f (x, y)dx |
|
dy |
|
|
f (x, y)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
y /3 |
|
3 |
|
|
y/3 |
|
Пример 3. Вычислить с помощью повторного интегрирования
РЕШЕНИЕ.
xydxdy
П0,1
0,1
.