Лекции / VTA_Lektsia_13
.pdfФ-03-Лекция 13. Функциональные последовательности и ряды. П.1 Функциональные последовательности.
ОПР. Областью определения D функциональной последовательности множество значений x R , для которых определены все функции fn (x) , ОПР. Областью сходимости Dсх функциональной последовательности f
f n (x) называется n 1,2,... n (x) называется
множество значений x Dсх , для которых существует lim |
f n (x) f (x) (поточечная |
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
сходимость), т.е. |
|
|
|
|
|
|
0, x D |
сх |
N N (x, ) : n N f |
n |
(x) f (x) |
(1) |
|
|
|
|
|
|||
ОПР. Функциональная последовательность f n (x) сходится к функции f (x) на |
D Dсх |
равномерно, обозначение fn0 N
D (x)
N (
f )
(x) , : n
если
N , x D |
f |
(x) f (x) |
|
n |
|
(2)
Отличие сходимости от равномерной сходимости проявляется в том, что в первом случае число N зависит от точки x и может неограниченно расти при изменении x, а во втором - N выбирается единым для всех x D .
Необходимый и достаточный признак равномерной сходимости последовательности
|
D |
|
|
f |
(x) f (x) 0 |
N N ( ) : n N sup f |
(x) f (x) |
n |
|
n |
|
|
|
x D |
|
(3)
Пример 1. Последовательность f n (x) |
1 |
|
|
сходится к f (x) |
0 |
на множестве Dсх |
R / 0 |
||||||||||||||||||||||||||||
nx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0, x D N |
|
1 |
|
|
1 |
1: n N n |
|
1 |
|
f |
|
(x) f (x) |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
сх |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Эта сходимость равномерная на любом множестве вида |
D |
|
; a |
|
|
|
a; |
, a 0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 N |
1 |
|
: x |
D, n N n |
1 |
|
|
1 |
f (x) |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
nx |
|
|
|
|
|
n x |
|
na |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 2. Последовательность |
f n (x) x |
n |
на множестве D |
1;1 сходится к функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
0, x 1;1 |
неравномерно, поскольку sup f n (x) f (x) |
|
sup |
x |
n |
|
f (x) |
1 для |
|||||||||||||||||||||||||||
f (x) |
1, x |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ( 1;1) |
|
|
|
|
|
|
.
любого n . |
|
|
|
Пример 3. Последовательность |
f |
n |
(x) |
|
|
||
множестве D 0; , но неравномерно, |
|||
sup f n (x) f (x) 1. |
|
|
|
x D |
|
|
|
|
|
|
|
n sin(nx), |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, x |
||
|
|||
|
|
|
|
|
|
поскольку
x |
|
0; |
||||
|
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
lim |
|
f |
n |
( |
||
n |
|
|
||||
|
|
|
n
x)
сходится к
f (x) |
x 1/ n |
2 |
|
||
|
|
f
(x) 0
1 и
на
Пример 4. Последовательность f |
n |
(x) |
x |
2 |
на отрезке |
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
0;1 сходится к функции |
|||
|
|
1 |
n x |
|
|
|
|
f (x) 0 не только поточечно, но и равномерно.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 n |
2 |
x |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
Действительно, f |
|
|
|
|
|
0 x |
|
В точке x |
0;1 функция |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
(x) |
(1 n |
2 |
x |
2 |
) |
2 |
n |
n |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f |
|
(x) |
x |
|
|
достигает максимальное значение на отрезке 0;1 , равное |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||
n |
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 n |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
, x 0;1 . |
|
|
Тогда sup |
fn (x) f (x) |
max |
1 n |
2 |
x |
2 |
|
2n |
|
для n N |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x 0;1 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0;1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КРИТЕРИЙ КОШИ равномерной сходимости.
Последовательность функций f n (x) сходится на множестве D равномерно в том и только в том случае, если
0 N N : n N и m n sup f m (x) f n (x) x D
Свойства равномерно сходящихся последовательностей. 1. О возможности предельного перехода по x .
(4)
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1. Пусть fn (x) f (x) |
и lim fn |
(x) an |
. Тогда lim an |
A, lim |
f (x) A |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
||
Док. Заметим, что x a |
предполагает, |
что x D , поэтому a |
предельная точка для D . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть xk |
|
|
, xk |
D : lim xk |
a - произвольная последовательность (предел по Гейне). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из условия |
|
lim |
f |
n |
(x) a |
|
|
0 N |
: k N |
|
|
f |
n |
(x ) a |
n |
|
/ 3 (*) |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x a |
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда из (4) |
0 N |
2 |
N |
2 |
( ) : m, n N |
2 |
|
|
f |
n |
(x |
) f |
m |
(x |
|
) |
|
|
/ 3, k |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Переходя в последнем неравенстве к пределу по k , получим |
a |
m |
a |
|
/ 3 |
. Последнее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
означает фундаментальность последовательности |
a |
n |
и существование у нее предела |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A lim a и неравенства |
|
A a |
n |
|
/ 3, n N |
3 |
(**) |
. Предельный переход в том же |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неравенстве по
m
, приведет к неравенству
f |
n |
(x |
) f (x |
) / 3, k |
|
k |
k |
|
(***)
.
Объединяя неравенства (*), (**), (***) для
n, k max(N ; N |
; N |
) |
|
1 |
2 |
3 |
|
получим
f (x ) A f (x ) f |
n |
(x ) f |
n |
(x ) a |
n |
a |
n |
A |
. |
|||
k |
k |
k |
|
k |
|
3 |
3 |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Последнее означает, что lim |
f (x) A . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Об ограниченности предельной функции.
Теорема 2. Если последовательность ограниченных на множестве D функций f n (x)
равномерно сходится на D к функции f (x) , то функция f (x) |
ограничена на D. |
ДОК. Из ограниченности |
fn (x) следует, что существуют константы Cn , для которых |
f n (x) Cn x D . Из условия равномерной сходимости f n (x) следует, что
для 1 |
N : x D, n N |
f |
n |
(x) f (x) 1 |
. |
|
|
|
Тогда f (x) f N (x) f (x) f N (x) CN 1, для всех x D . 3. О непрерывности предельной функции.
Теорема 3. Если последовательность непрерывных на множестве D функций f n (x) равномерно сходится на D к функции f (x) , то функция f (x) также непрерывна на D.
ДОК. Пусть x0 - произвольная точка множества D . Из равномерной сходимости следует, |
|
|||
что 0 N N : n N |
и x D f (x) f n (x) |
, в частности, |
f N (x0 ) f (x0 ) |
|
|
3 |
|
|
3 |
Из непрерывности функции |
f N (x) в точке x0 следует, что |
|
|
|
: x D : x x0 |
f N (x) f N (x0 ) |
|
. Тогда |
x D : |
x x |
|
|
|||||
3 |
0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) f (x0 ) f (x) f N (x) |
f N (x) f N (x0 ) |
f N |
(x0 ) f (x0 ) |
|
|
|
|
|
. |
|||
3 |
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
Упражнение. На каком множестве последовательность функций f n |
(x) |
|
1 |
сходится |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
равномерно?
4. Интегрирование равномерно сходящихся последовательностей Теорема 4. (О интегрировании функциональной последовательности)
Пусть f n (x) последовательность непрерывных на a;b функций равномерно сходится к функции f (x) . Тогда для любого x0 a;b функциональная последовательность
x |
|
|
x |
|
|
n (x) |
f n (t)dt |
равномерно сходится к функции (x) |
f (t)dt . |
||
|
|||||
|
|
x |
|
||
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
ДОК.
Из равномерной сходимости
0 N N |
|
: n N |
|
|
и
x a;b |
||
|
x |
f n (t) |
|
||
x |
|
|
|
0 |
|
|
f n |
(x) f (x) |
|
|
|
||||
b a |
||||
|
|
|
f (t) dt |
|
x x |
|
|
b a |
0 |
|||
|
|
|||
|
|
|
. Тогда n (x) (x)
|
для всех x a;b |
|
x f n (t) f (t) dt |
|
|
x0 |
|
. |
|
|
4. возможность дифференцировать равномерно сходящиеся последовательности. Теорема 5. (О дифференцировании последовательности функций)
Пусть f n (x) последовательность непрерывно дифференцируемых на a;b причем последовательность из производных f n (x) равномерно сходится на a,b к функции F(x) и существует x0 a;b , для которого числовая
последовательность f n (x0 ) сходится, причем lim f n (x0 ) A .
n
Тогда последовательность f n (x) равномерно сходится на a,b к функции
функций,
f (x) A |
|
x |
F (t)dt |
и поэтому f |
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
(x) F(x) . |
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДОК. Воспользуемся теоремой 4: последовательность |
x f n (t)dt f n |
(x) f n (x0 ) |
равномерно сходится к функции xx F (t)dt . Тогда последовательность f n (x) равномерно |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
сходится к A |
|
x |
F (t)dt . |
|||||||
|
||||||||||
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
5. Достаточные условия равномерной сходимости последовательности |
||||||||||
Теорема 6 (Дини) (без доказательства) |
||||||||||
Функциональная последовательность fn (x) , x a;b удовлетворяет условиям: |
||||||||||
А) |
f |
n |
(x) C |
|
a;b |
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
Б) x a;b |
числовая последовательность fn (x) монотонная; |
|||||||||
В) предельная функция f (x) lim fn (x) C a;b . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
a;b |
|
|
|
|
|||
Тогда fn (x) |
f (x) |
П.2 Функциональные ряды.
|
|
ОПР. Функциональный ряд an (x) |
|
n 1 |
|
сходится последовательность |
Sk (x) |
(1) сходится на множестве D , если на этом множестве
k an (x) его частичных сумм, т.е. существует
n 1
функция S(x) , определенная на D , для которой lim Sk (x) S (x |
|
|
k |
|
|
ОПР. Функциональный ряд an (x) сходится на множестве D |
|
n 1 |
|
последовательность Sk (x) сходится к |
S(x) равномерно на D . |
)
.
равномерно, если
Справедлив КРИТЕРИЙ КОШИ равномерной сходимости функционального ряда: Ряд (1) сходится на D равномерно в том и только в том случае, если
0 N N |
: n, m N, m n и x D |
|
a |
n |
(x) a |
n 1 |
(x) ... a |
m |
(x) |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 5. Исследовать на равномерную сходимость ряд |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ряд знакочередующийся, поэтому его остаток |
|
(x) |
|
|
|
|
|
оценивается |
||||||||||||||||||||||||||||
m |
|
x |
2 |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m |
(x) |
|
|
2 |
1 |
|
1 |
, x ; и, по определению, ряд сходится равномерно для |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
m |
1 |
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
всех x . Ряд сходится условно для всех x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 6. Найти область сходимости функционального ряда |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x |
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Для каждого x члены ряда положительные, применим радикальный признак Коши:
n a |
(x) |
|
x |
2 |
|
1 |
n |
2 |
|
|
|
x |
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1
сходится, при
x |
2 |
1 |
|
|
расходится. При
x |
2 |
1 |
|
|
ряд расходится
по невыполнению необходимого признака, т.е. |
D |
|
|
1;1 |
|||||
сх |
|
|
|||||||
любом отрезке |
a;b |
|
|
|
1;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов 1. О возможности предельного перехода
. Сходимость равномерная на
|
|
D |
Теорема 7. Если функциональный ряд an (x) |
||
|
n 1 |
|
|
|
|
1) числовой ряд an |
сходится и имеет сумму A ; |
|
n 1 |
|
|
2) lim f (x) A
x a
f
(x)
и n lim an (x) x a
an
, то
Док. см. теорему 1 для равномерно сходящейся последовательности частичных сумм ряда. Таким образом, для равномерно сходящихся рядов знак предела и суммы могут быть переставлены:
|
|
|
|
lim an |
(x) lim an (x) |
||
x a |
n 1 |
n 1 |
x a |
|
|
2. существование мажорирующего ряда
Теорема 8. (Достаточный признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если для функционального ряда fn (x), x D найдется сходящийся числовой ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an , an |
0 , для которого |
f |
n |
(x) |
a |
n |
, |
x D, n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 (мажорирующий ряд). Тогда ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fn (x) сходится равномерно на D . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Док. 0 N : m, n N |
fm 1 (x) fm 2 (x) ... fn (x) fk (x) |
ak |
|
, x D |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k m 1 |
|
|
k m 1 |
|
|
|
|
|
|||||
т.е. ряд сходится равномерно на множестве D по признаку Коши. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
В качестве мажорирующего ряда иногда удается взять ряд с общим членом n |
|
sup an (x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x D |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
если числовой ряд n |
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||
Пример 7. Исследовать на равномерную сходимость ряд |
x |
n! |
на отрезке |
|
; |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для любого x |
; |
an (x) |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится по |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
n! |
|
и мажорирующий ряд |
n! |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
признаку Даламбера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Сколько слагаемых ряда |
|
|
|
|
|
|
следует взять, чтобы вычислить его |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(2n 1)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
сумму с точностью |
0, 01 |
для всех |
x |
0; |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для любых |
x |
0; |
|
ряд мажорируется числовым рядом |
. Тогда остаток ряда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n |
1 (2n |
1)x |
|
n |
|
|
m 1 |
(1 |
|
|
|
|
|
|
m 0, 01 |
3 |
|
50 m 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n m 1 |
3 |
|
|
n m 1 |
3 |
|
|
|
3 |
|
1/ 3) |
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, указанную точность обеспечивают 4 слагаемые ряда. 3. непрерывность суммы ряда
Теорема 9. Если члены |
an (x) функционального ряда (1) непрерывные функции на D , ряд |
(1) равномерно сходится на D и имеет сумму S(x) , то S(x) - непрерывная на D функция. ДОК. Следует из теоремы 3 для функциональных последовательностей, поскольку
частичные суммы ряда Sk (x) |
непрерывны и равномерно сходятся к S(x) , которая в силу |
|||||||||||||||||||
этого непрерывна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
Пример 8. Исследовать на непрерывность функцию f (x) |
|
|
|
на области |
||||||||||||||||
|
x2 |
|
n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 1 |
|
|
|
||
сходимости ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1/ |
(1 x |
2 |
) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для x 0 f (x) x |
|
|
|
|
x |
|
|
. При x 0 |
f (0) |
0 |
|
|
|
|||||||
(1 |
x |
2 |
) |
n |
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Интегрирование равномерно сходящихся рядов. Теорема 10. (Об интегрировании функционального ряда)
,
Пусть ряд
an (x) n 1
(1) из непрерывных на
a,b
функций
a |
n |
(x) |
|
|
равномерно сходится на
отрезке
a,
b
.
Тогда для любого
x |
0 |
a;b |
|
|
функциональный ряд
n
n 1
(x)
, где
n (x) |
|
x |
an (t)dt , сходится равномерно на отрезке a,b . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДОК. Из равномерной сходимости ряда (1) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
N N : n N , m n, x a;b an (x) an 1 (x) ... am |
(x) |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
b a |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
n |
(x) |
n 1 |
(x) ... |
m |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
an |
(t) |
an 1 (t) ... am (t) |
|
dt |
|
|
x x0 |
|
|
для всех x a;b . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
b a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 9. Найти сумму ряда (n 1)(n 2)x |
n |
, x |
1,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ряд сходится абсолютно и равномерно на любом отрезке |
a, a |
|
, 0 a 1 |
, поскольку |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
имеется мажорирующий ряд для ряда, составленного из модулей: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
(n 1)(n |
2) x |
n |
(n 1)(n 2)a |
n |
. Мажорирующий ряд сходится, например, по признаку |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
(n 2)(n 3)a |
n 1 |
|
(n 3) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
Даламбера: |
n |
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
(n 1)(n 2)a |
n |
(n 1) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
|
|
|
Интегрируем почленно ряд на отрезке 0; x
x |
|
|
|
|
x |
|
(n 1)(n 2)t |
n |
dt (n 2)x |
n 1 |
, (n |
||
|
|
|||||
0 |
n 1 |
|
n 1 |
|
0 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
a 1 |
|
дважды: |
|
|
|
2)t |
n 1 |
dt x |
|
|
n 1 |
n 2
x |
3 |
|
|
1 x |
,
x 1;1
.
Для получения суммы исходного ряда достаточно дважды продифференцировать полученный результат:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
x |
2 |
x 1 |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
x 1 |
|
(x 1) |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. дифференцирование равномерно сходящихся рядов |
|||||||||||
Теорема 11. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть для функционального ряда an (x) |
известно, что |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
1) функции an (x) |
непрерывно дифференцируемы на отрезке a,b ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
(x) из производных равномерно сходится на a,b и имеет сумму g(x) ; |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
2) ряд an |
|||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) существует точка x0 a;b , для которой числовой ряд an (x0 ) сходится и имеет |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
сумму А. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
равномерно сходится на a,b и имеет непрерывно дифференцируемую |
|||
Тогда ряд an (x) |
|||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) для x a;b . |
||
сумму f (x) , причем f (x) |
|||||||||||
ДОК. По условию 2) и теореме 6 последовательность частичных сумм |
|||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
k |
|
Sk |
(x) xx |
an (t)dt = an (x) an (x0 ) |
равномерно сходится к функции xx g(t)dt . |
||||||||
|
|
|
|
n 1 |
0 |
|
|
n 1 |
|
n 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из условия
f (x) A
3) следует, что ряд
|
x |
g(t)dt . Тогда f |
|
|
|||
x |
( |
||
|
0 |
|
|
an
n 1 x) g
(x) (x)
сходится равномерно на a,b
для x a;b .
и имеет сумму
6. Признаки равномерной сходимости знакопеременных функциональных рядов Теорема 12. Признак равномерной сходимости Дирихле.
|
|
Для функционального ряда an (x) bn (x), x D |
выполняются условия: |
n 1 |
|
А) x D последовательность an (x) монотонная; |
|
D |
|
Б) an (x) a(x) 0 ; |
|
|
|
В) Частичные суммы ряда bn (x) равномерно ограничены, т.е. существует константа |
|
n 1 |
|
k |
|
M 0 , для которой x D, k bn (x) M . |
|
n 1 |
|
|
|
Тогда функциональный ряд an (x) bn (x) равномерно сходится на D . |
|
n 1 |
|
Теорема 14. Признак равномерной сходимости Абеля |
|
|
|
Для функционального ряда an (x) bn (x), x D |
выполняются условия: |
n 1 |
|
А) x D последовательность an (x) монотонна;
Б) последовательность an (x) равномерно ограничена в совокупности, т.е.
M 0 : x D, n a |
|
(x) M |
; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В) ряд bn (x) |
сходится равномерно на D . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда функциональный ряд |
an (x) bn (x) |
равномерно сходится на D . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
Пример 10. Дзета-функция Римана |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сумма ряда |
(x), x 1; (*) называется дзета-функцией Римана. |
|||||||||||||||
n |
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x ; x |
|
1; |
ряд сходится равномерно, поскольку ряд |
||||||||
На любом отрезке 1 |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
1 |
(x), x x1; x2 |
|
мажорируется числовым сходящимся рядом |
. |
|||||||||||
x |
|
x1 |
||||||||||||||
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
Отсюда, по теореме, функция (x) непрерывна в каждой точке отрезка x1; x2 , а в силу произвольности отрезка x1; x2 заключаем, что (x) непрерывна в каждой точке полуоси
|
|
. |
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln n |
, x 1, (**) , |
|
Формальное дифференцирование ряда (*) приводит к ряду |
|
|
|||
n |
x |
||||
|
|
n 2 |
|
|
который равномерно не сходится на 0; , (его предел при x 1 0 |
приводит к |
|||
|
|
|
||
расходящемуся ряду |
ln n |
), но на любом отрезке x1; x2 |
1; сходимость (**) |
|
|
||||
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Аналогично, можно |
равномерная и , по теореме, его сумма равна (x), x 1; |
||||||||||
доказать, что функция (x) имеет бесконечное число производных и |
||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
k |
n |
|
|
|
|
(k ) |
(x) ( 1) |
k |
|
|
x |
, k 1, 2,..., x 1; |
|
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n 2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1.Сходимость функциональной последовательности, равномерная сходимость на множестве, критерий Коши равномерной сходимости. Теорема о равномерной сходимости последовательности ограниченных функций.
2.Теоремы о пределе равномерно сходящихся последовательностей и рядов.
3. Теорема о равномерной сходимости последовательности непрерывных функций. 4. Теорема о дифференцировании и интегрирования равномерно сходящихся последовательностей 5. Функциональные ряды, сходимость. Равномерная сходимость, критерий Коши
равномерной сходимости рядов. Достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
6.Теоремы об интегрировании и дифференцируемости равномерно сходящегося ряда.