Лекции / VTA_lektsia_9

заданную в некоторой области G R

3

. Предполагаем, что функции P,Q и R

имеют непрерывные

частные производные.

Векторные линии

3

которой вектор

Векторной линией поля F называют кривую в R , в каждой точке M (x; y; z)

F (x, y, z) является направляющим вектором прямой касательной к кривой в точке M .

dx

P

dy

Q

dt

dx

dy

dz

dx

R

(2)

dy

Q (3)

(1)

P

Q

R

dz

R

dt

P

dz

dx

R

dt

с начальными условиями: y(x0 ) y0 , z(x0 ) z0

или x(t0 ) x0 , y(t0 ) y0 , z(t0 ) z0 .

Если 1 (x; y; z) c1

первый интеграл уравнения

dx

dy

, а 2 (x; y; z) c2

- интеграл для

P

Q

уравнения

dy

dz

с произвольными c

и c

, то при выполнении условий теоремы существования

2

Q

R

1

и единственности через каждую точку M0 (x0

; y0

; z0 ) проходит единственная векторная линия с

(x; y; z) (x

, y

, z

0

)

уравнением

1

1

0

0

.

(x; y; z)

(x

, y

, z

)

2

2

0

0

0

0

Пример 1 Найти векторную линию поля F

y; x;b

, проходящую через точку M

(1;0;0) .

dx

dy

dz

xdx ydy 0 x

2

y

2

c1

0 , т.е. винтовая линия лежит на поверхности

y

x

b

цилиндра с радиусом

c1

. Параметризуем окружность: x

c1 cos t, y

c1 sin t и решаем

уравнение:

dy

dz

c

cos t dt

dz

dz bdt z bt c

1

x

b

c

cos t

b

2

1

1

1

i

j

k

1

H

I , r

0

0 I

yi

xj ok

2

2

2

y

x

z

Уравнение векторных линий:

dx

dy

dz

xdx ydy 0 x

2

y

2

c1

0, z c2 ,

y

x

0

т.е. векторные линии являются окружностями, лежащими в параллельных плоскостях.

Поток векторного поля

Потоком

П

векторного поля F

через ориентированную поверхность S

называют поверхностный

1.

(F, ne )ds

(F, ne )ds

S

S

S

S

S

S

S

S

1

2

grad z f (x, y)

координатной плоскости xoy . Тогда нормаль ne

fxi

f y j k

. Знак

grad z f (x, y)

fx 2

f y 2 1

выбирается в случае, когда выбранная нормаль составляет острый угол с осью oz и минус – в

противном случае. Тогда

F

, ne

П F, ne ds

dxdy ,

cos

S

Dxy

1

где

f 2

f 2

1 и вместо z

следует подставлять f (x, y) .

cos

x

y

Пример 3. Найти поток векторного поля F 0; y

2

; z через часть поверхности параболоида

z x

2

y

2

ограниченной плоскостью z 2 и ориентированной внешней нормалью.

Решение

2x

2 y

1

2 y

3

z

e

;

;

,

e

,

n

4x

2

4 y

2

1

4x

2

4 y

2

1

4x

2

4 y

2

1

F, n

4x

2

4 y

2

1

F, n

F, n

3

3

2

2

e

e

2 y

z 2 y

x

y

cos

cos

2

2

2

8 2

Тогда П

2 y

3

x

2

y

2

dxdy

d

r(2r

3

sin

3

r

2

)dr

sin

3

1

d 2

5

D

0

0

0

xy

2. Метод проектирования на все три координатные плоскости.

Пусть поверхность S задается неявно уравнением g(x, y, z) 0

, причем она однозначно

проектируется на области Dxy , Dxz , Dyz

координатных осей. Пусть единичная нормаль

D

yz

D

D

xz

xy

Пример 4. Найти поток векторного поля

F

xy; yz; xz

через внешнюю сторону сферы

x

2

y

2

z

2

1, заключенной в первом октанте.

Решение

Вычисление нормали:

n grad (x

2

y

2

z

2

1)

2x; 2 y; 2z n

x; y; z cos x 0, cos y 0, cos z 0

e

Пример 5 Рассмотрим поверхность S

прямого кругового цилиндра x2 y2

R2 , ограниченного

сверху и снизу поверхностями z

f1 (x, y),

z

f2 (x, y),

f1 (x, y) f

2 (x, y), x

2

y

2

R

2

.

Найти формулу для вычисления потока поля F

P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) через

поверхность S

Введем координаты

0; 2 , z f (R cos , R sin ); f

2

(R cos , R sin ) , x R cos , y R sin

1

n

cos ;sin ; 0

,

Тогда внешняя единичная нормаль e

, ds Rd dz

e

и

(F, n ) P(R cos , R sin , z) cos Q

R cos , R sin , z

sin

e

2

f2

( R cos ,Rsin )

П

F, n

ds R

d

(P(R cos , R sin , z) cos Q

R cos , R sin , z

sin )dz

S

0

f

( R cos ,Rsin )

1

Например, F

x; y; z , f1

0, f2 H

2

H

Тогда П R d (R cos2 R sin2 )dz 2 R2 H .

b

b

b

f ( x)

P

P(x, g(x)dx P(x, f (x))dx dx

P(x, y)dy

dxdy

y

y

a

a

a

g ( x)

D

Аналогично,

Q(x, y)dy Q dxdy

C

D

x