Сандаков Решение ОДУ

yoo (t) = c1et +c2e−t cost +c3e−t sint ,

или, возвращаясь к переменному х, получим

Решение. Это − неоднородное уравнение Эйлера. Сначала найдем общее решение однородного уравнения

x2 y′′+ 4xy′−4y = 0 .

Сделав замену переменной х = еt, для вновь полученного уравнения с постоянными коэффициентами, получаем согласно (4.2) характеристическое уравнение λ(λ – 1) + 4λ – 4 = 0 или

Чтобы решить неоднородное уравнение (4.5), сначала по характеристическому уравнению (4.6) составляем левую часть дифференциального уравнения, а правую часть получаем из правой части (4.5) заменой х = et. В результате получим

Воспользовавшись принципом суперпозиции (утверждение 2.2), будем учн искать в виде учн = у1 + у2, где у1 – частное решение уравнения

Так как λ = 1 является корнем характеристического уравнения, то у1 ищем в виде y1 = t(at +b)et . Подставляя эту функцию в (4.8), нахо-

дим a =107 , b = − 257 . Следовательно,

21

Так как λ = i не является корнем характеристического уравнения, то

или, возвращаясь к переменной х, получим общее решение уравне-

ния (4.5):

Задачи для самостоятельного решения

1.x2 y′′−2xy′+ 4y = 2cos(lnx)+ln2 x .

2.x2 y′′+3xy′+ y = 3lnx x + 2x2 .

3.x2 y′′+ 2xy′−6y =3x2 + 2lnx3 x .

4.x2 y′′−4xy′+6y = x2 lnx + 2x2 .

5.x2 y′′− xy′+ 2y = xsin(lnx)+ xlnx .

6.x2 y′′−3xy′+3y = 2xlnx + x3

7.x2 y′′+ xy′+ 4y =sin(2lnx)+3x2 .

8.x2 y′′+ xy′− y = lnxx + x lnx .

9.x2 y′′+5xy′+8y = cos(2lnx2 x) + 2x2 .

22

10.x2 y′′−3xy′+ 4y = x2 lnx + 1x .

11.x2 y′′−5xy′+13y = x3 lnx +3x3 sin(2lnx).

18.x2 y′′+3xy′−3y = x lnx − x23 .

19.x2 y′′+7xy′+10y = sin(lnx3 x) +3x .

20.2x2 y′′+7xy′+ 2y = lnxx − x32 .

21.x2 y′′+ xy′−4y = x2 + 12 lnx .

x

22.2x2 y′′+5xy′−2y = x lnx − x22 .

23

5. Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение п-го порядка

где а1(х), а2(х), ..., ап(х), f (х), заданные на <a, b>, –∞ ≤ а < b ≤ +∞ –

вещественные непрерывные функции. Известно, что уравнение (5.1) имеет бесконечно много решений (см [2]).

Задача нахождения среди множества всех возможных решений уравнения (5.1) решения, удовлетворяющего следующей системе начальных условий:

где х0 <a, b> – заданная точка, y00 , y10 ,..., yn0−1 – заданные вещественные числа, называется задачей Коши.

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши (5.1)–(5.2).

Теорема 5.1. Пусть ak(x) и f (x) (k = 1, 2, ..., п) принадлежат C(<a, b>). Тогда при любых начальных условиях y00 , y10 ,..., yn0−1 за-

дача Коши (5.1)–(5.2) имеет единственное вещественное решение у(х), определенное на всем промежутке <a, b> [2].

Для того чтобы из всех решений уравнения (5.1) выделить то, которое удовлетворяет начальным условиям (5.2) (условиям Коши), надо в общее решение уравнения (5.1), которое зависит от п произвольных постоянных с1, с2, ..., сп, подставить начальные условия (5.2). В результате получим систему п уравнений с п неизвестными. Из этой системы однозначно определяются неизвестные с1, с2, ..., сп, а следовательно, и решение задачи Коши (5.1)–(5.2).

24

значения в общее решение (5.5), получим решение задачи Коши

(5.3)–(5.4):

25

откуда находим с1 = −0,016, с2 = 0,816. Подставляя эти значения в общее решение (5.8), получим решение задачи Коши (5.6)–(5.7):

18.уIV + 4у″ + 4у = хcos2х, y(0) = y′(0) = 0, у″(0) = y′″(0) = 1.

19.у″ – 9у = хе3х, y(0) = 0, y′(0) = 1.

23.уIV + 2у′″ – 4у″ = 2хе–х, y(0) = y′(0) = 0, y″(0) = y′″(0) = 1.

24.уIV + 2у″ + у = х sinх, y(0) = y′(0) = 1, y″(0) = y′″(0) = 0.

25.у′″ + 6у″ + 9у′ = хе–3х, y(0) = y′(0) = 2, y″(0) = 0.

26

6. Однородные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами есть система вида

y1′ = a11 y1 + a12 y2 +... + a1n yn ;y2′ = a21 y1 + a22 y2 +... + a2n yn ;

...;

yn′ = an1 y1 + an2 y2 +...+ ann yn ,

где aij – заданные вещественные числа (i, j = 1, 2, ..., п). Эту систему можно записать в матричном виде:

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 6.1. Для того чтобы вектор-функция y(x) = heλx

была нетривиальным решением системы (6.1), необходимо и достаточно, чтобы число λ было собственным значением матрицы А, а

h – отвечающим ему собственным вектором ( Ah = λh ).

Из этого утверждения и известной теоремы курса линейной алгебры [3] следует теорема.

Теорема 6.1. Вектор-функция y(x) = heλx тогда и только тогда

является нетривиальным решением системы (6.1), когда λ является корнем характеристического уравнения

27

а вектор h – ненулевым решением системы линейных алгебраических уравнений

Определение 6.1. Любые п линейно независимых решений системы (6.1) называются фундаментальной системой решений (ФСР) системы (6.1).

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 6.2 (об общем решении однородной системы линейных дифференциальных уравнений). Пусть y1 (x),

y2 (x), ..., yn (x) – фундаментальная система решений системы (6.1). Тогда общее решение системы (6.1) имеет вид

yоо = c1 y1 (x)+c2 y2 (x)+...+cn yn (x),

где с1, с2, ..., сп – произвольные постоянные.

Метод Эйлера построения фундаментальной системы реше-

ний. Рассмотрим сначала три частных случая, а потом − общий случай.

Случай 1. Пусть матрица А имеет п различных вещественных значений λ1, λ2, ..., λп. Обозначим через h1,h2 ,...,hn отвечающие им

решений системы (6.1) на интервале (–∞; +∞).

Случай 2. Пусть матрица А имеет п различных вещественных значений λ1, λ2, ..., λп, среди которых есть комплексные. Так как матрица А – вещественная, то, как известно, комплексное число

λ= α+iβ является корнем ее характеристического уравнения тогда

итолько тогда, когда комплексно-сопряженное число λ = α−iβ является корнем этого же характеристического уравнения, причем

кратности корней λ и λ совпадают.

Предположим, что среди п различных корней характеристического уравнения det(A −λE) = 0 есть 2s комплексных:

λ1,λ2 ,...,λs ,λ1,λ2 ,...,λs (1≤ s ≤[n /2])

и п – 2s вещественных: λ2s+1,...,λn . Тогда вектор-функции

28

y1(x) = h1eλ1x , y2 (x) = h2eλ2 x ,..., ys (x) = hseλs x , ys+1(x) = h1eλ1x ,

ys+2 (x) = h2eλ2x ,..., y2s (x) = hseλs x , y2s+1(x) = h2s+1eλ2s+1x ,..., yn (x) = hneλnx

образуют фундаментальную систему решений (комплексную) системы (6.1), где h1, h2 ,..., hs – вектор-столбцы, комплексносопряженные к собственным вектор-столбцам h1,h2 ,...,hs , отвеча-

образуют вещественную фундаментальную систему решений си-

стемы (6.1).

Случай 3. Пусть λ1, λ2, ..., λр (р < n) – собственные значения матрицы А, причем их алгебраические кратности ki равны геомет-

рическим mi, i = 1, 2, ..., p, а h1,i ,...,hmi ,i – тi линейно независимых

Справедлива следующая теорема.

Теорема 6.2. Пусть λт – корень характеристического уравнения det (A −λE) = 0 кратности rm (т = 1, 2, ..., 2р + q). Тогда каждому

29

корню λт соответствует rm линейно независимых решений системы

(6.1) вида

где вектор-столбцы γ0 , γ1,..., γrm −1 – вещественные, если λт – веще-

ственное число, и комплексные, если λт – комплексное число. Причем общее число найденных таким образом решений, отвечающих собственным значениям λk (k = 1, 2, ..., 2p+q) равно п, и эти решения образуют фундаментальную систему решений системы

(6.1).

Для практического нахождения вектор-столбцов γ0 , γ1,..., γrm −1

в (6.4) поступают следующим образом.

Подставив искомое решение (6.4) в уравнение (6.1) и приравняв коэффициенты при xk eλm x в левой и правой частях, получают со-

целесообразно руководствоваться следующим правилом. Сначала

Это уравнение имеет хотя бы одно ненулевое решение, так как λт – собственное значение матрицы А. Находят максимальное число линейно независимых вещественных (или комплексных) решений уравнения (6.6). Если их число меньше rm, то разыскивают максимальное число линейно независимых вещественных (или ком-

30