Готовые билеты
.pdf
Вопрос 43.
Рассм. задачу нахождения экстремума функц-ла (1) с закрепл. концами (2) при наличии голономной связи :
(6) Ф( , , ) = 0. Теоремой функц-ла с неголономной связью воспользоваться нельзя, т.к. Ф' ≡0 и Ф' ≡0.
Из-за наличия голономной связи (6) краевые усл-я (2) становится зависимым, т.е. числа 1, 2, 1, 2 не могут быть какими угодно, а должны удовл. усл. Ф( , 1, 2) = 0, Ф( , 1, 2) = 0 т.е. только одно число из каждой пары 1, 2 и 1, 2 выбираются свободно.
Теор. Пусть пара ( ), ( ) реализует экстремум функционала (1) с голономной связью (6) и краевыми условиями (2) (которые тоже удовлетворяют этой связи), причем :
1)( ), ( ) 2([ , ])
2), Ф непр. со своими частными произв. до 2-го порядка вкл.
3)Ф' ≠0 (или Ф' ≠0)
то непр. ф-ия λ( ): ( ), |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
' |
, |
' |
) |
+ λ( )Ф( , , ) |
с |
|||
( ) – реш. КЗ Эйлера для функц-ла [ , ] = ∫ |
, , , |
|
||||||||||||||||
|
' |
' |
|
|
' |
' |
' |
|
' |
( |
( |
|
|
|
|
) |
|
|
доп. усл. (6), т.е. |
{ |
+ λФ |
− |
|
|
= 0 |
+ λФ − |
|
= 0 ( ) = 1 |
( ) = 1 Ф( , , ) = 0 |
Т.к. |
|
||||||
Ф( , 1, 2) = 0 Ф( , 1, 2) = 0 ( ) = 2 ( ) = 2 выпол. автоматически |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Без док-ва. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕРЫ |
|
|
Предположим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
: Ф( , , ) = 0 |
|
|
|
≤ ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
α : { = ( ) = ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 + |
( |
' |
) |
2 |
+ |
( |
' |
2 → ( ) = 1 |
( ) = 1 ( ) = 2 |
( ) = 2 Ф( , , ) = 0 |
{ [ , ] = ∫ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
Рассмотрим задачу о геодезической линии на верхней поверхности цилиндра
2 + 2 = 2
|
|
|
|
|
|
1 + |
' |
) |
2 |
|
+ |
' |
) |
2 → ( ) = 0 |
|
|
|
(− ) = ( ) = 0 (− ) = |
0 2 + 2 = 2, |
> 0 |
||||||||||||||||||||||||
{ [ , ] = ∫ |
' |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
− |
( |
|
' |
) |
2 |
( |
|
) |
2 |
( |
( |
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
− |
1 + |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= ∫ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
− λ( ) + − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
{− |
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
= |
0 2λ − |
|
|
|
' |
|
|
|
|
=)0 |
|
|
|
( ) = 0 (− ) = ( ) = 0 |
(− ) = 0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
' |
2 |
|
|
' |
) |
2 |
|
|
|
|
' 2 |
' |
) |
2 |
' |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
(2 1+(2) +( |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
1+' ( ) |
+( |
|
|
|
2 |
' |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
+ = |
|
|
|
|
1+( ')2+( ')2 |
= 1 = 1 |
1 + ( |
) |
+ |
( |
) |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Из уравнения поверхности = |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
− ; |
|
|
|
|
= |
|
|
|
2− 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
( ')2 = 12(1 + ( ')2 + ( ')2)= 12(1 + ( ')2 + |
2−2 2 |
); |
( ')2 = 12(( ')2 + |
2−2 2 |
); |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
( |
|
) |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( |
|
' |
) |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
' |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 − 1 |
= |
|
; |
= |
2 |
2 ; |
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
− |
|
|
π |
= 1 arcsin |
|
|
|
|
~ |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~− |
|
|
|
~ |
|
π |
|
|
|
|
|
||||||||||
Из граничных условий : { ( ) = 1 * |
2 |
+ 2 = 0 (− ) =− 1 |
* |
2 |
+ 2 |
= |
{ 2 = |
2 |
1 =− |
2 |
* |
π |
=− |
π |
||||||||||||||||||
= |
2 |
− |
π |
arcsin |
|
|
; { = |
2 |
− |
π |
arcsin |
|
|||||||
π |
arcsin |
|
|
= |
2 |
− |
; arcsin |
|
|
= |
π2 |
− |
|||||||
|
= |
|
2 |
− |
2 |
−геодезическая линия . Или: |
|
|
|
π
= ( |
π |
|
π |
)= cos |
π |
|
|
|
2 |
2 |
π |
, т.е. { = cos |
π |
|
π |
− винтовая линия |
2 |
− |
|
|
; |
= |
|
|
− = |
|
|
= |
|
Вопрос 44.
Вариационная задача с подвижным концом.
|
|
|
|
|
2 |
( |
, , ' |
) |
(1) при |
|
|
|
|
|
|
||||
Ставится задача нахождения экстремума функционала [ ] = ∫ |
|
||||||||
усл., что левый конец закреплен ( ) = (2) ,а правый подвижен, причем |
|||||||||
( |
) |
( |
2 |
) |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
= φ |
|
< 2≤ = φ( ) |
|
|
|
|
|
Теор. Если ( ) ([ , ]) реализует экстремум функц-ла (1) с закрепл. левым концом (2) и подвижным правым ( 2)= φ( 2)и выполн. усл. :
1)( , , ') непр. с элементами до 2-го порядка вкл.
2)φ( ) 1([ , ]), тогда
( ) – реш. ур-я Эйлера для функц-ла (1): ' − ' = 0, удовл. усл. (2), (3) и кроме того, на правом конце для него выполн. условие транверсальности: ( − ( ' − φ'( )) ' | = 2 = 0#б/д#
Замеч. Если закреплен правый конец ( ) = , а левый движ. по закону = ψ( ), т.е. ( 1)= ψ( 1), тогда на левом конце должно выполнятся условие трансверсальности : ( − ( ' − ψ'( )) ' | = 1 = 0
2 |
|
, , ' |
= ; |
|
1 |
) |
= ψ 1 |
) |
; |
2 |
) |
= φ( 2) |
[ ] = ∫ |
||||||||||||
1 |
( |
) |
|
( |
|
( |
|
( |
|
|||
на обоих концах должно выполн. усл.трансв.
( − ( ' − φ'( )) ' | = 2 = 0 ( − ( ' − ψ'( )) ' | = 1 = 0
Замеч. В случае своб. конца (правый закреплен ( ) = , левый своб. ( ) −любое )
условие трансверсальности приобретает вид ' | = = 0
Пример 1. Найти условие трансв. для функц-ла
1 |
' |
( |
' |
) |
2 (5) |
( , )≠0 |
[ ] = ∫ ( , ) |
1 + |
|||||
0 |
|
|
|
|
Решение. Левый конец экстремали закреплен в точке ( 0, 0), а правый конец ( 1, 1) может перемещаться
по кривой = ψ( ) |
+ |
|
ψ' − ' |
) |
' | = 1 |
= 0. |
1+ ' |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
' |
|
|
|
|
|
' 2( |
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
||||||||
= ( , ) |
' |
1 + ( ) |
|
, |
' |
' = |
( , ) |
|
|
' |
|
1+'( ')2 |
. Усл. трансв.: |
||||||||||||||
|
|
|
( |
|
' |
) |
2 |
( |
|
|
|
' |
) |
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
||||
( , ) |
|
1 + |
|
|
+ |
ψ |
|
− |
|
( , ) |
|
|
|
|
|
|
| |
= 1 |
= 0. Отсюда в силу условия ( , )≠0, получаем |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+( ) |
|
|
|
|||||
' '
ψ−' ' =− 1 (6). Геометрически условие(6) означает, что экстремали = ( ) должны пересекать кривую
1+ψ
= ψ( ), по которой скользит граничная точка ( 1, 1) по углом π4 .
Соотношение (6) можно представить так: положим, что касательная к экстремали в точке ( 1, 1) , лежащей на кривой = ψ( ), пересекает ось Ox под углом α, а
касательная к заданной кривой = ψ( ) −под углом β. Тогда α = ', β = ψ' и левая часть формулы (6) дает (β − α), но − 1 = (− π4 ), поэтому β − α =− π4 ,
откуда α = β + π4 , откуда α = β + π4 , что и требовалось показать.
Пример 2.Найти минимальное расстояние между параболой = 2 и прямой = − 5
2 |
( |
|
' |
) |
2 |
|
( |
|
) |
2 |
( |
) |
|
|
( |
|
' |
) |
' |
1 |
1 + ( |
|
|
→ |
1 |
|
= 2 |
− 5; |
, , |
|
= ( ) экстремали прямые линии вида |
||||||||
[ ] = ∫ |
|
|
|
|
|
|
= 1, 2 |
|
|
|
|
||||||||
= 1 + 2. Выбираем экстр. удов. гранич. условиям:( 1)= 21, ( 2)= 2 − 5 и условиям
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
2 |
|
|
' |
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
2 |
' |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
трансверсальности: |
(1 + ( |
) |
|
− |
( |
− |
2 ) |
(1+( ')2 |
= 1 |
= 0, |
(1 + ( |
) |
|
− ( |
− 1) |
(1+( ')2 |
|
= 2 |
= 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Поскольку = 1 + 2, то ' = 1 условие трансверсальности приобретает следующий вид : |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
{ |
( |
1 + (С1 |
2 − |
( |
С1 −( |
2 1 |
) |
|
( |
1+( 1 |
2 |
= 0 |
|
1 + ( 1 |
) |
2 )− |
1 − 1( |
1+( |
1 |
) |
2 |
= 0 |
|
|
) |
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
1 |
2) |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
( |
|
|
) |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
{1 + 1 + 2 1 − 1 1 = 0 1 + 1 + 1 − 1 |
1 = 0 {1 + 2 1 1 = 0 1 + 1 = 0 { 1 =− 1 = |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теперь используем( |
граничные) |
условия( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
{ |
1 |
|
= 1 1 + 2 = 12 |
2 |
) |
= 1 2 + 2 = 2 − 5 {− |
21 |
+ 2 = |
41 |
− 2 + 2 = 2 − 5 { 2 = |
43 |
2 2 = 2 + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
) 23/8 |
|
|
|
|
2 ( |
|
|
|
|
|
23/8 |
|
|
( |
23 |
1 |
) |
|
|
10 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
∫ |
1 + (− 1) |
= |
|
2 |1/2 |
|
= 2 |
|
8 |
|
− 2 |
|
|
= |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Комплексозначные решения ОСЛОДУ с действительными коэффициентами. |
|
Если ' ↓ |
= ( ) |
↓ имеет комплексозначные коэффициенты, все свойства решений, матрицы |
решений и |
ОВ сохраняются.
Рассмотрим теперь систему с действительными коэффициентами. Она может обладать комплексозначными
решениями. |
|
|
|
|
= α( ) |
↓ |
+ β( ) |
↓ , где α( ) ↓ |
и β( ) ↓ |
|
− столбцы действительных функций является |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теор. Если φ( ) ↓ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
решениемм ОСЛОДУ с действительными коэффициентами ' |
↓ |
= ( ) ↓ . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
α( ) ↓ |
= φ( ) |
↓ |
|
|
и β( ) |
|
↓ = φ( ) ↓ |
|
также является решениями этой ОСЛОДУ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Док-во: φ'( ) |
↓ |
|
= α'( ) ↓ |
+ β`( ) |
↓ |
|
|
( )φ( ) ↓ |
|
= ( )α( ) |
↓ + ( )β( ) ↓ Приравнивая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
действительные и мнимые части α`( ) ↓ |
|
= ( )α( ) |
|
↓ |
|
|
и |
β`( ) ↓ |
= ( )β( ) ↓ . Более того, поскольку |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
φ( ) |
↓ |
= α( ) ↓ |
|
− β( ) |
↓ |
|
является ЛК решений, |
φ( ) |
↓ также является решением этой системы. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теор1.{(1) ' = ( , ) (2) 0 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все ТСЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Теор2.(ТСЕ решение ЗК уравнения( ) |
1-го порядка, не разрешенных относительно производной) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(3) |
, , ' |
) |
= 0 |
' |
( , , )опред в |
|
( |
0, 0, 0 |
) |
−некоторая точка |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Пусть ( , , ), ( ,' , ), |
|
|
( , , ) ( ) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
0, 0, 0 |
) |
= 0, |
|
|
( |
0, 0, 0 |
) |
|
|
' |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 : в |
0 |
! Решение уравнения (3) н.у. (2) при этом |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
≠0. Тогда |
> |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
дополнительно выполняется, что |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Теор3. ТСЕ решние ЗК для нормальной СОДУ( ) |
|
|
П = {| − 0|≤ , | − 0|≤ } Если |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(4) { 1' |
= 1 |
( |
, 1, … |
) |
... ' |
= |
( |
, 1, … |
) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
→ |
|
∂ |
→ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
, = 1, |
|
, , |
|
∂ |
|
, |
(П), то > |
0 : в |
|
0 |
|
|
! Решение нормальной СОДУ (4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяющее н.у. (5){ 1 |
0 |
= 1 ... |
|
0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Теор4. ТСЕ решения ЗК для нормальной( ) |
СЛОДУ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ … + ( ) + ( ) Если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(6) { 1' |
= 11( ) 1 |
+ … + 1 ( ) + 1( ) |
... ' |
= 1( ) 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, = 1, , ( ) (< , >), то 0 ( , ) и любого набора начальных условий (5) ! Решение ЗК (6) (5) на всем < , >
Теор5. ТСЕ решения ЗК для уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной
(7) ( ) = |
, , ', …, ( −1) |
|
, , 1, … −1 |
|
определена в G 0, 0, 10, …, 0−1 −внутренняя точка в G. |
|||||||||||||||
Если |
' |
(' 1 |
, …, |
' |
−1 |
|
|
) |
( |
|
|
|
|
|
0) |
! Решение уравнения( |
(7), удовлетворяющее) |
начальным |
||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
, |
, |
|
|
( ), то > 0 : в |
|
) |
||||||||||||||
условиям (8){ 0 |
= 0 |
' |
0 |
0 |
( −1)( |
|
0 |
|
|
|
||||||||||
|
= 1 ... |
|
|
|
0 |
) |
= −1 |
|
|
|||||||||||
Теор6. ТСЕ для (ЛОДУ) |
n-го(порядка) |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|||||||||||
(9) |
( ) + 1( ) ( −1) + … + −1( ) ' + ( ) = ( ) . Если = |
1, |
( ) (< , >), ( ) (< , >), |
|||||||||||||||||
то 0 ( , ) и любого набора начальных условий (8) ! Решение ЗК (9) (8) на всем < , >