Готовые билеты

Вопрос 36.

(1)

ТСЕ решения ЗК для ур-ия 1-го порядка, разреш. отн. производной. Док-во существования решения

' = ( , ), ( , ) опр. в ,

0, 0

: П =

− 0 ≤ ,

− 0 ≤ , (2) 0 = 0 −начальные условия

ЗК. Найти инт. кривую ур-ия (1),

(прох. через)

{|0, 0

(≡|

найти|

решение| } (1), удовлетворяющее( )

н.у. (2))

'

(

0

)

(

{|

)

0

|

}

(

0

)

=

реш. ур-я (1), удовл. НУ (2) и это реш. ед. на

= ,

=

−

≤

Т. ( , ), ( , ) (П) > 0: в

(Док-во{ :

Поэтапное}

доказательство)

существования решения

|

'

,

*

1 − 2

|

|

1)

≥0: , 1 , , 2 П , 1

)

−

, 2

)|

= (теор.

о конечных. прир.) = |

(

)(

| ≤ sup |

удовлетворяет условию( ) ( Липшица) |в(П

(

|

)|

|

## . ( ) −реш. ЗК (1), (2)

0

)

( ) −

0

'( )≡ ( , ( )) ∫ '(ξ) ξ

≡ ∫ (ξ, (ξ)) ξ

≡ ∫ (ξ, (ξ)) ξ ( ) ≡

0 + ∫ (ξ, (ξ)) ξ

. ( ) −реш. (4)

0

0

(

0

0

)

0

0

( )≡ 0 + ∫ (ξ, (ξ)) ξ

'( )≡ ( , ( )),

= 0 + ∫ (ξ, (ξ)) ξ = 0 ( ) - реш.

ЗК (1), (2)##

0

|

(

|

0

|

|

|

3)

(Построение функц. посл.)

……

|

|

{

}

|

| |

− 0 ≤ = ,

, т.е.{ − 0 ≤ − 0 ≤

|

2( ) − 0

|

= |∫ ξ, 1

ξ| ≤ |∫ sup | ( , ξ)| ξ |

=

|| 0

(

)

||

|| 0

||

0( ) ≡ 0 1( ) = 0

+ ∫

ξ, 0(ξ) ξ 2( ) = 0

+ ∫ ξ,

+1

0

||

||

0

0

(

)

0

(

|

( ) −

|

=

(

)

≤…≤ *

|

−

|

≤ ##

|| 0

||

∫ ξ,

ξ

|##

|

≤

|

( ) − 0

|

≤ , т.е.

(

)

П

− 0

, ( )

|

|

1( ) − 0

|

|

ξ, 0

)

|

≤ sup | ( , )|

|

=

= |∫

ξ|

* |∫ ξ|

|| 0 (

||

|| 0

||

∞

)

{

}

)

## Очевидно

=1(

сх.

~сх. функц. ряда

=1(

( ) = 0

+ ∑

( ) − −1( )

( )

∑

( ) − −1( )

=1(

)

;

|

|

|

|

т. к. ( ) = 0 + ∑ ( ) − −1( )

1( ) − 0( ) ≤ − 0

(| 2( ) − 1( )|= ||||∫0

(ξ, 1(ξ)) ξ − ∫0

()ξ, 0(ξ)) ξ|||| ≤ ∫0| (ξ, 1(ξ))− (ξ, 0(ξ))| ξ ≤ (3) ≤ ||||∫0| 1(ξ) − 0| ξ|||| ≤ ||||∫20

|

|

|

|

)|

|

|

3( ) − 2( )

= |∫

ξ, 2(ξ)

ξ − ∫

ξ, 1(ξ)

ξ| ≤ ∫

ξ, 2(ξ)

− ξ, 1(ξ)

ξ ≤ (3) ≤ |∫

2(ξ) − 1(ξ)

ξ|

≤

2!

|

|| 0

(

)

− 0 0

(

)

||

0|

(

)

(

|| 0|

|

||

……

( ) − −1( ) ≤ −1

|

! |

|

−1

− 0

−1

−1

|

||

|

|

( ) − 0( )

= | ∑

( ) − −1( )

|

≤ ∑

( ) − −1( )

≤ ∑

!

≤ ∑

!

∑

!

|

|| =1|

|

|||

=1|

|

=1

|

=1

=1

|

сх. по Даламб.

=1|

( ) − −1( )

=1|

( ) − −1( )

сх. абс. и равн. на

|

− 0

≤

∑

мажор. сх. числ. рядом ∑

по Вейер. ( ) = 0 + ( ), ( ) − сумма ряда ( ) ( ), ( ) непр. при

|

− 0

|

≤

в случае равн. сх.

Замеч. | (() − 0|≤ в силу теоремы о предельном)

переходе в неравенствах

##

, ( )

( , ( )) | , ( )

− ( , ( )) |

= 0 −кр. сх. функц.посл.

)

(

)

##

(

)

(≤ (3)≤)

|

( ) − ( )

|

= * 0

(

− ( , ( )) |

0≤| ( , ( ))− ( , ( )) |

= 0 | , ( )

= 0 , ( ) ( ,

)

)

0 (

= 0

0 (

ξ =равн. сх.

## ( ) = 0 + ∫

ξ, −1(ξ)

ξ (из (5)) ( ) = ( )

+ ∫

ξ, −1(ξ)

(

ξ, (ξ)

)

0

(

)

0

= 0 + ∫

ξ, −1(ξ)

) ξ = ∫ (ξ, (ξ)) ξ + 0.

(4)~ ЗК (1), (2) ( ) – реш. ЗК ##

доказано, что реш. ЗК . Док-во конструктивное. Указан метод

Вопрос 37.

( , ) опр. в ,

ТСЕ. Доказательство единственности.

= 0 −начальные условия

(1)

' = ( , ),

0, 0 : П =

− 0

≤ ,

− 0 ≤ , (2) 0

ЗК. Найти инт. кривую ур-ия (1),

(прох. через)

{|0, 0

(≡|

найти|

решение| }

(1), удовлетворяющее( )

н.у. (2))

'

(

0

)

(

{|

)

0

|

}

0

> 0: в

реш. ур-я (1), удовл. НУ (2) и это реш. ед. на

Т. ( , ),

( , ) (П)

=

−

≤

=

,

= sup | ( , )|

)

Лемма( ). (Лемма Гронуолла)

0

(−0)

(

{

}

0

,

( , = ≥0)

( ) непр. и U(x)≥0 на

[

+ ], ( )≤ + ∫ (ξ) ξ ( )≤

Док-во:

( ) ( 0−х) непр., неотр. на [ 0, 0 +

0

0,0+ ( ). Пусть ( ) =

]

1 ,

[ 0, 0 + ]

( ) =

[

−0

),

1

)

= 1

)

1−0

1

]

1

ξ−0

(

)

1

1

)

В ξ−0

) ξ =

( ) = ( )

(

(

)≤ + ∫ (ξ) ξ

= + ∫ (ξ) (

) ξ≤ + ∫

(

0≤ − 1

(

(

−0

0

)

#

0

0 (

0≤ 1 ≤ 0≤ ( )≤ ( )≤

(

Докажем(теперь)

единственность( )

решения ЗК на [ 0, 0 + ](слева доказывается аналогично)

Док-во: пусть оба ( )

и ( ) −реш. ЗК на [ 0, 0 + ]

|

( ) − ( )

|

−

непр., неотр. на [ 0, 0 + ] и

|

|

|

(

)

(

)

|

(

)

(

)|

=

|| 0

0

||

0|

ξ, (ξ)

ξ, (ξ)

ξ ≤усл. Л в П≤

( ) − ( )

|∫

ξ, (ξ)

ξ − ∫

ξ, (ξ) ξ|

≤ ∫

−

0|

|

ξ

≤ ∫

( ) − ( )

| ( ) − ( )|удовл. усл. л. Гронуолла с

( ) ≡ ( ) на [ 0, 0 + ] #

{ = 0 =

(

0, 0

+

0≤ ( ) − ( )

≤0 * = 0

)

| '

(Усл. Липшица.

)

[

|

]

)

|

(

)|

|

|

'

(

*

|

(

, 1

) (

, 2

(

−

, 2

|

,

)(

1 − 2

)|

|

≥0:

,

П

, 1

= (теор. о конечных. прир.) = |

| ≤

sup | ( ,

Норма в ([ , ]): ( ) ([ , ])

|| || = | ( )| ,

+

'( )

В 1([ , ])

|| || =

| ( )| ,

'( )

или || || = | ( )|

+ … +

( )( )

В ([ , ])

|| || =

{| ( )| ,

| ( )( |)}

или || || = | ( )|

+

| '( )|

|

Эл-ты рассм. ЛНП – ф{ -ии =|

( ) | } наз. их кривыми, а иногда|

точками|

ЛП| .

||

<

ε.

Опр. ε −окр. кривой 0( )

ε 0( )

наз. сов-ть всех кривых ( ) : 0( ) − ( )

Если рассм. || |​| , то окр. наз. сильной( (

, а))если это || |​| 1,

||

|​| 2 и т.д. окр. наз||. слабой.

Опр. [ ] наз. непр. на кривой 0( ), если ε > 0 δ(ε) >

0 : ( ) δ( 0( )) | [ ] − [ 0]|< ε (непр. тоже

ненул. вариация δ (||δ ||). Всевозм.

~

~

ε

~

α : |α| <

||δ ||

( ) = 0( ) + αδ ε( 0) (|| − ||= ||αδ || = |α| * ||δ || < ε) [ ( )]≡ [ 0 + αδ ]≥ [ 0].

, , '

)

(2) ,

( , , ) −опр. ф-ия 3-х пер. (усл. на эту ф-ию уточним позже)

[у] = ∫

(

концами.

Опр. Задача нахождения экстремума функц-ла (2) на множ-ве непр. дифф. ф-ий, удовл.

усл-ю (1), наз. простейшей задачей вариационного исчисления или задачей с закрепл.

Необх. усл. экстремума дифф. функц-ла – равенство нулю его вариации.

Замеч. Концы кривых закреплены для всех доп. вариаций выполняется, что δ ( ) − δ ( ) = 0

Замеч. δ

'

= (δ )

'

# δ

'

~'

−

'

=

~

)

'

'

#

=

−

= (δ )

Найдем вариацию (2) (в узком

смысле()

)

|​α=0 = (доп., что ( , , ) обл. непр. произв. до

δ [ ] =

α

[ + αδ ]​|α=0 =

α

∫

, + αδ , ' + αδ '

(

, + αδ , '

+ αδ '

)

δ +

'

(

, + αδ , '

+

αδ '

)

(

, , '

)

δ +

'

(

, , '

)

= ∫( '

δ ') ​|α=0 = ∫( '

δ ') = ∫(

.

(

Рассм. второе слаг.:

(

)

(

)

)

(

)

(

∫ '

, , '

δ ' = ∫ '

, , '

(δ )' = ∫ '

, , '

(δ ) = '

, , '

δ |​ − ∫ δ

'

, , '

=− ∫ δ

(

)

(

)

(

)

φ 0

Док-во:(от противного) т. 0 [ , ] : φ 0 ≠0. φ( ) непр. δ

0

: δ

0

φ( )≥

(2

)

.

( ) : ( ) > 0 при δ

(

0

)

,

( ) =

0 (при) δ

(

0

. Тогда

0+δ

φ 0

0+δ

)φ 0

∫ φ( ) ( ) =

∫

φ( ) ( ) ≥

(2

)

∫

( ) =

(2 )

> 0. Получили противор. (интеграл должен быть

0−δ

#

0−δ

равен нулю) φ( )≡0 на [ , ]

удовл. краевым условиям

3)

= ( , ) + ( , ) ' −линейная по ' ф-ия '

+ ' '

−

( , ) = 0 ' + ' ' − ' − ' ' = 0.

Конечное выражение: ' ( , ) − ' ( , ) = 0 – нек. связь между x и y, кот. может неявно задавать ( ), но

она чаще всего не удовл. краевым условиям.

)

( , ) + ( , ) '

Если ' ( , ) − ' ( , )≡0, то ∫

= ∫

= ∫ ( , ) + ( , ) = .

(

По любой кривой ( ) значение интеграла одно и то же, т.е. вариационная задача теряет смысл.

4)

= '

)

'

'

= 0,

'' * '' = 0 [ '' = 0 ''

= 0

Пусть =

( =

1,

) −корни уравнения

''

(

=

''

= 0

~

в любом случае экстремали прямые линии

= 0 [

[ = + = 1 + 2

5)

= , '

' = 0

первый интеграл ' , '

)

= С −это уже уравнение 1-го порядка

(

')

'

'

(

'

'

'

'

'

6)

= ,

)

'

у

−

= 0. Домножим обе части на

:

−

= 0 добавим и вычтем в левой

('

''

'

'

''

'

''

'

'

'

'

)

части

+

−

−

= 0

−

= 0 имеется первый интеграл

( , ')− ' ' ( , ')= . Тоже порядок понизился до первого(

.

Вопрос 41

Обобщение простейшей задачи вариационного исчисления.

М – мн-во ф-ий из ([ , ]), для к-ого выполн. след. усл.(краевые условия):

0, …., 0 − фикс.

(1) { ( ) = 0 '( ) = 1 ( −1)( ) = −1

( ) = 0 '( ) = 1 ( −1)( ) = −1

1)

2 ([ , ])

)

непр. со своими произв. до ( + 1) порядка2

включительно

2)

, , 1, …,

'

(

'

' 1

2

'

2

( ) – реш. краевой задачи Эйлера-Пуассона. −

+

+ … + (− 1)

= 0

( ) = 0 '( ) = 1 ( −1)( ) = −1

( ) = 0 '( ) = 1 ( −1)( ) = −1

Рассм. (3)

→

→ →'

→

1( ), …, ( ) ;

→'

1' ( ), …, ' ( ) ;

→

= [ 1 ... ]

]

= ∫

, ( ), ( ) , ( ) =

(

( ) =

]

[

)

[

→1( ), …,→ →( ) −непр→

. дифф. и с закрепл. концами, т.е. пост. краевые усл(.(4){ ( ) = )( ) = =

1,

или

{ ( ) = ( ) = . (

Рассм. задачу)

нахождения экстремума функц-ла (3) при наличии краевых условий (4)

Вопрос 42.

, , , ', '

)

Условный экстремум.

( ) = 2 ( ) = 2

(1) [ , ] = ∫

(2) | ( ) = 1 ( ) = 1

(

~

'

,

'

)

+ λ( )Ф

'

,

'

с дополнительными условиями (3), т.е.

[ , ] = ∫

, , ,

х, , ,

∂

∂(Ф

(

(

∂

∂Ф

)

(

∂

∂)Ф)

(

∂

∂Ф

)

{

∂

+ λ

∂

−

∂

+ λ

∂

= 0

∂

+ λ

∂

−

∂

+ λ

∂

= 0 | ( ) = 1 ( ) = 1

( ) = 2 ( ) = 2

Без док-ва.

'

(

)