Готовые билеты

|

'

'

( −1)

( −1)

|

Тогда 1,… ( ) = | 1( )

… ( ) 1( )

… ( ) ...

1

( ) ...

( ) |

наз. определителем Вронского

|

|

''

'

''

'

− 2 2

|

'

'

|

(7) | 1

=− 1 1

− 2 1 2

=− 1 2

1 2( ) = | 1

2 1

2

|

|

|

'

'

|

|

'

| '

'

'

'

|

|

''

'' |

|

2

'

|

'

|

2

( ) = | 1

2

1 2

| + | 1

2 1

2 | = | 1

− 1 1

− 2 1

− 1 2

− 2 2

| = | 1

− 1 1

− 1 2

| =− 1| 1

|

|

|

|

|

|

|

|

|

( )

( )

, т.е. получаем ОДУ

=− ( ) ( ),

( )

=− 1( ) ,

( ) = exp − ∫ 1(τ) τ

При = 0 получим 0 = ( ) = ( 0) exp

0

− ∫ 1(τ) τ

на < , >,)

либо ( )≡0.

Сл. 1( ) ... ( ) −реш.

(ЛОДУ)

ВП (1) (с непр. коэфф. на < ,0

>) либо ( )≠0(

1) 1( )1...( ) ...( ) −( ЛЗ) −нареш<. ЛОДУ, >ВП (1) с непр. коэфф. на( < , > и)в нек. 0 < , >

1,…

= 0

Док-во: Пусть α1 1( ) + … + α ( )≡0. Дифф. ( − 1) раз

( ) = 0

'

'

( −1)

( −1)

: (8) { α1 1( ) + …

+ α ( ) = 0 ... α1 1

( ) + … + α

= 0 ∆ =

0

)

= 0 нетрив. реш.:

α1* ... α* . Рассм. ( ) = α1* 1( ) + … + α* ( ) − реш. ЗК для (1) с

(

1*

1

( ) + …

*

( )≡0

на < , >

нетрив. НУ. Эта ЗК также имеет трив. реш. ( )≡0 на

< , > α

+ α

'

'

( −1)

( −1)

( ) = 0

α1 1( ) + … + α ( )≡0 { α1 1( ) + … + α ( ) = 0 ...

α1 1

( ) + … + α

< , >

эта СЛАУ обладает нетрив. реш. 1,… ( )≡0 на

< , >

порядка с непр. на < , > коэфф. 1,… ( )≠0

на < , >

Док-во: . 1( ), … ( ) − ФСР 1,… ( )≠0

.Пусть теперь 1,… ( )≠0 на

< , >. Рассм.

( −1)

( −1)

( )

( )

( ) |

|

'

'

'

( −1)

( )

( )

| 1( ), … ( )

1( ), … ( )

... 1

( ), …

1

( ), …

| = 0.

|

|

через изв. ф-ии ( ( ), …

( ) и их произв. до n порядка вкл. опр. и непр. на < , >

1

= 0 - искомое ур-ие, примем 1( ), … ( ) его ФСР.

+1( )

−1)

1 +1( )

( ) +

+ …

+

( )

( )

4)

и φ, ψ −вещ. ф-ии, ( ) = φ( ) + ψ( ) – компл. реш. ур-ия ( ) +

( ) =

1,

∑ ( ) ( − ) = 0

( )

= φ( ) − ψ( ) – реш., φ( ) = ( ),

ψ( ) = ( )- реш.

=1

(1) ( ) +

∑ ( ) ( − ) = ( ),

( ), ( ) (< , >)

=

1,

=1

Пусть

... 0 0 0 1

... 0 ...

0 −

... 0 − −1 ... 0 ... ... ... ...

... 1 − 1

)

, ↓ = (0 0

)

= 0 1 0

Получили(

неодн. СЛОДУ

↓

= о.о

↓

справедл

для (2) справедливо о.н

+ ч.н ↓ т. к. решение (2) явл. решением (1) для(1)

. Покажем, что о.н ↓

= о.о

↓

+ ч.н

↓

справедливо для (2).

'о.н ↓

= 'о.о ↓

+ 'ч.н ↓

= о.о ↓

~

+ ↓

(

о.о ↓

+ ч.н ↓

~)

(

о.н

↓

)

+ ↓ .

+ ч.н ↓

=

+ ↓ =

Покажем, что реш. СЛОДУ (1) входит в (3). ( ) ↓

− произв. реш. (1). Рассм. ( ) ↓

− ч.н ↓ . Покажем,

что эта разность удовл. (2).

'

~

)

~

~

~

'

~'

+ ↓

↓ − ч.н ↓

= ↓ − ч.н ↓ = ↓ + ↓ − ч.н ↓

= ↓ − ч.н ↓ = ↓ − ч.н ↓

(1)

~↓)

, …, φ

( )

( ) ↓

−~к.-нибудь(1)

(

(2)

~

(

(. Пусть~ φ ~( )

ФСР ОСЛОДУ~ ( )

1

... :

↓ − ч.н

↓

= 1φ

↓

+ … + φ

↓ реш. ↓

СЛОДУ (1) м.б. представлено в виде

~

~

(1)

↓

~

( )

~

~

↓ = 1φ

+ … + φ

↓ + ч.н ↓ при нек. знач. 1 ...

→

→

φ1( ) ... φ ( )

−

φ1( ) ... φ ( ) −произв. ФСР ОЛОДУ о.о = 1φ1( ) + … + φ ( ) = φ( )

↓ , где φ( ) =

(

→ )

−столбец произв. пост.

(

)

строка эл. ФСР, ↓ = 1 ...

... ( )

Будем искать ч.н в виде ( ) = φ( ) ( ) ↓ , где ( ) =

(

1( )

)

−столбец неизв. ф-ий

'

→'

→

'

( )

↓

→

'

( )

↓

'

→'

( ) = φ ( ) ( ) ↓ + φ( )

, наложим усл.: φ( )

= 0

( ) = φ ( ) ( ) ↓ ,

→''

↓

→'

↓

→'

=

→''

и т.д.

''( ) = φ ( ) ( )

+ φ ( ) '( )

, наложим усл.: φ ( ) '( ) ↓

0 ''( ) = φ ( ) ( ) ↓

→( )

На каждом шаге полагаем, что φ

( ) '( ) ↓

= 0, =

0, − 2.

→( −1)

(2)

→( )

→( −1)

( −1)( ) = φ

( ) ( ) ↓

( )( ) = φ ( ) ( ) ↓ + φ

( ) '( ) ↓

→( )

→( −1)

→

→

→( )

→( −1)

→

φ

( ) + 1( )φ

( ) + … + ( )φ( ) = 0 (3) φ

=− 1( )φ

− … − ( )φ( ).

y – реш. неодн. ур-ия (1) (4) ( ) =− 1( ) ( −1) − …

− ( ) + ( ). Подставим (3) и (4) в (2):

(5) − 1( ) ( −1) − … − ( ) +

→( −1)

→

→( −1)

( ) = − 1( )φ

− … − ( )φ ( ) ↓

+ φ

( ) '( ) ↓

→( −1)

... φ(→

) ( )

↓ →(=(−2) после'

сокращения→( −1) в (5))'

→( −1)

= ( ) '( )

↓

удовлφ→ .

'случ( ) (. СЛАУ) ↓ =→' ( −1)'

: φ

( ) '( ) ↓

{φ( ) ( ) ↓

= 0 φ ( ) ( ) ↓

= 0 ... φ

( ) ( ) ↓

= 0 φ

( ) ( ) ↓

= ( ) В развернутой форме:

φ1( ) ... φ ( ) φ1' ( ) ... φ' ( ) ...

φ1( −1)( ) ... φ( −1)( ) 1' ( ) 2' ( ) ...

' ( ) =

(0 0 ...

( ) )

Φ( ) '( ) ↓

= ( )

(det Φ( )

= φ1...φ ( )≠0

< , > ! реш)(

. '( ) ↓

= Φ−1( ) )( )

↓ = ψ( ) ↓ . Проинт.:

~

~

~

( ) ↓ = Ψ( ) ↓ + ↓

(7)

(

1( )

... ( )

)

=

ψ1( ) + 1

... ψ ( ) +

~

~

~

→

↓

=

(φ1( ) ... φ ( )

~

= φ( ) ( )

)

ψ1( ) + 1)... ψ ( ) + = φ1( )ψ1( ) +

… + φ ( )ψ ( ) + 1φ1( ) + … +

~1

~

(

~1

~

= 0:)

ч.н.

1

1

Придадим

...

произв. знач.,н-(р, ноль

= … =

= φ

( )ψ

( ) + … + φ

( )ψ ( ) (7) м.б.

представлено в виде: = ч.н. + о.о.

~

~

это будет о.н.. Таким образом, (7) дает при всевозм. 1 ...

общее

Вопрос 31.

Однородные ЛОДУ ВП с постоянными коэффициентами

(1) ( ) + 1 ( −1) + … + −1 ' + = 0

на

1

... =

( )

( ) −ЛП ф-ий, с непр. производной до n-го порядка вкл. на . Пусть в этом ЛП действ. ЛО =

, т.е.

( )

◦

1

2

◦

◦

1

'

( )

( ) ( ) =

= ,

= ,

=

, …,

= … ( ) = ,

( ) = , … ( ) =

(λ) = λ + 1λ −1 + … + −1λ + , ЛО ( ) = + 1 −1 + … + −1 + ≡ (1)

(2) ( ) = 0

= λ ( λ )= ( )( λ )= + 1 −1 + … + −1 + ( λ )= λ λ

+ 1λ −1 λ + … + −1λ λ + λ =

– реш. (1) (или(2)) −1λ является(

корнем уравнения (λ) = 0)

Опр. (λ) = λ

+ 1λ

+ … + −1λ + наз. хар. многочленом ур-ия (1)( или (2)),

а ур-е (λ) = 0 −хар. ур-ем.

Теор. = λ − реш. ОСЛОДУ ВП (1) ((2)) λ −корень хар. ур-ия

Док-во: λ

= (λ) λ

λ

)

= 0 (λ) = 0

Способы

(построения)

ФСР (

(А) Построение ФСР ОЛОДУ ВП в случае, когда все корни характеристического многочлена различны.

λ1

λ

λ1 ... λ −разл. корни хар. многочлена n решений: φ1( ) =

, …, φ ( ) =

Покажем, что они образуют ФСР, т.е. являются ЛНЗ

Док-во:

|

λ1

λ

1

λ1

λ

1−1

λ1

−1

λ

|

λ1

λ |

1

1−1

−1 |

(λ1+…+λ )

φ1...φ

λ

……λ

λ

……λ

∆ λ

( ) = |

………

λ

……λ

……λ

| =

…

|1……… λ

| =

|

−1

−1

|

|

|

|

2

(2

∆ λ1 ... λ

|

1

… 1 λ1

−1|

……1 0

λ2 − λ1

= |1

λ2 …λ ... λ1

λ2

... λ

| = |1

1

... λ − λ1 0 λ2

− λ1

из(

каждой) строки|

, нач. с посл. вычитаем пред. строку, умнож|

.|на

|

|

|

−2

−2

λ1

= |(λ2 − λ1) …

(λ − λ1) λ2(λ2 − λ1)

…

λ (λ − λ1)

... λ2

(λ2

− λ1)…λ

(λ − λ1) | = (λ2

− λ1)…(λ − λ1)|1

|

− λ1)…(λ − λ1)(λ3 − λ2)(λ4 − λ2)…(λ − λ3)∆

λ3

... λ

)

=

|

|

по индукции= (λ2

∏ (λ − λ )

(

1≤ < ≤

Вопрос 32.

на

1 ... =

(1) ( ) + 1 ( −1) + … + −1 ' + = 0

( )

( ) −ЛП ф-ий, с непр. производной до n-го порядка вкл. на . Пусть в этом ЛП действ. ЛО =

, т.е.

( )

◦

1

2

◦

◦

1

'

( )

( ) ( ) =

= ,

= ,

=

, …,

= … ( ) = , ( ) = , … ( ) =

(λ) = λ + 1λ −1 + … + −1λ + , ЛО ( ) = + 1 −1 + … + −1 + ≡ (1)

(2) ( ) = 0

= λ ( λ )= ( )( λ )= + 1 −1 + … + −1 + ( λ )= λ λ

+ 1λ −1 λ

+ … + −1λ λ + λ =

– реш. (1) (или(2)) −1λ является(

корнем уравнения (λ) = 0)

Опр. (λ) = λ

+ 1λ

+ … + −1λ + наз. хар. многочленом ур-ия (1)( или (2)),

а ур-е (λ) = 0 −хар. ур-ем.

Теор. = λ − реш. ОСЛОДУ ВП (1) ((2)) λ −корень хар. ур-ия

Док-во: λ

= (λ) λ λ = 0 (λ) = 0

(Б)Построение( ) действительных( ) ФСР для ОСЛОДУ ВП с действительными коэффициентами в случае простых

корней характеристического уравнения при наличии комплексных

Пусть все корни хар. ур-ия разл., но имеются комплексные.

λ = α + β (α, β ) −корень хар. ур-ия

λ

= α − β −тоже корень, т.к. (λ) =

(λ)

= 0

Упорядочим: λ1, λ2, …, λ ,

= α1 − β1… λ +2 = α − β ... }всего + 2 = корней. КС

λ +1 = α1 + β1, … λ + = α + β ... λ + +1

ФСР:

~

~

~

φ +1+φ + +1

~

φ + +φ +2

~

φ +1−φ + +1

~

φ + −φ +2

φ1 = φ1, …, φ = φ ,

φ +1 =

, …, φ + =

, φ + +1 =

, …, φ +2 =

.

2

2

2

2

Тφ→φ~ = Тφ→φ~ =

= 1 * (

21

) * ( ) ≠0

~

λ1

~

λ

(

λ1, λ2, …, λ ,

φ −ЛНЗ базис, вещ., т.к. φ1 =

, …, φ =

−вещ.

~

α1+ β1

)

α1

~

α

)

φ +1 = φ +1 = (

=

β1 , …, φ + = φ + =

β ,

φ~ + +1 = φ +1 = (α1 β1 ), …

~φ +2 = φ +2 = α β

2−1

(λ2−λ1)

+ … +

−1

(λ −λ1)