Готовые билеты

Вопрос 18

Неоднородные СЛОДУ

(1) ' ↓

= ( ) ↓

+ ( ) ↓

непр. на < , > коэфф.

( ) = ( ( )) −

( ) ↓

=

1( )

... ( ) 0 −правые части

Рассм. соотв. ОСЛОДУ(

' ↓

= ()) ↓

(2)

Теор.

= о.о

↓

+ ч.н

↓

(3)

о.н ↓

− общ. реш. СЛОДУ (1), о.о ↓

− общ. реш. ОСЛОДУ(2), ч.н

↓ − ч. ре

о.н ↓

Док-во: Покажем, что о.н

↓

−(реш..

~

(

~)

(

)

+ ↓ .

'о.н ↓

= 'о.о ↓

+ 'ч.н ↓

= о.о ↓

о.о ↓

+ ч.н ↓

о.н ↓

+ ч.н ↓

+ ↓ =

+ ↓ =

Покажем, что реш. СЛОДУ (1) входит в (3). ( ) ↓

− произв. реш. (1). Рассм. ( ) ↓

− ч.н ↓ . Покажем,

что эта разность удовл. (2).

'

~

)

~

~

~

'

~'

+ ↓

↓ − ч.н ↓

= ↓ − ч.н ↓ = ↓ + ↓ − ч.н ↓

= ↓ − ч.н ↓ = ↓ − ч.н ↓

(1)

~↓)

, …, φ

( )

( ) ↓

−~к.-нибудь(1)

(

(2)

~

(

(. Пусть~ φ ~( )

ФСР ОСЛОДУ~ ( )

1

... :

↓ − ч.н

↓

= 1φ

↓

+ … + φ

↓ реш. ↓

СЛОДУ (1) м.б. представлено в виде

~

~

(1)

↓

~

( )

~

~

↓ = 1φ

+ … + φ

↓ + ч.н ↓ при нек. знач. 1 ...

Вопрос 19

+ ( )

Метод вариации произвольных постоянных.

(1) ' ↓ = ( ) ↓

↓

φ(1)( ) ↓ , …, φ( )( ) ↓ −ФСР ОСЛОДУ (1)

Ф( ) = φ(1)( ) ↓

, …, φ( )( ) ↓

−ФМР.

о.о ↓ = Ф( )(С ↓

, где С ↓ −столбец) произв. пост.

Пусть: (4) ( ) ↓

= Ф( )С( ) ↓

, где С( ) ↓ −столбец ф-ий, подлежащих опр.;

'( ) ↓ = Ф'( )С( ) ↓ + Ф( )С'( ) ↓

Ф'( )С( ) ↓

− ( )Ф( )С( )

Подставим (4) в (1) : Ф'( )С( ) ↓

↓

+

Ф( )С'( ) ↓ = ( )Ф( )С( ) ↓ + ( ) ↓

, Ф'( ) − ( )Ф( )

С( )

↓ = 0

т.к. ФМР явл. матричным реш. ОСЛОДУ (2) ' ↓

= ( ) ↓ , т.е.

Ф'(( ) = ( )Ф( )

)

= 0 ↓ Ф( )С'( ) ↓ = ( ) ↓

( ) ↓ − Ф( )С'( ) ↓

Ф( ) − ФМР det Ф( ) = ( )≠0 на < , > Ф−1( )

... ( ) = Ψ ( ) + ~

С('( ) ↓ = Ф−1( ) ( ) ↓

= (ψ1( )

... ψ ( ) )= ψ( ) ↓ проинт). { 1( ) = Ψ1( ) + ~1

При конкр. наборе констант, н-р, при 1

= … = = 0: ( ) ↓

= Ф( )Ψ( ) − нек. ч. реш.

~

~

= Ф( )С( )

~

~

= о.н ↓

1

... −произв. ( ) ↓

↓ = Ф( )(Ψ( ) + С ↓

)= Ф( )Ψ( ) + Ф( )С ↓

Вопрос 20.

ФСР ОСЛОДУ с постоянными коэффициентами.

=

= −

(1) { 1' ( ) = 11 1( ) + … + 1 ( )

... ' ( ) = 1 1( ) + … + ( )

< , >

постоянная матрица, т.е. =

λ

λ ↓

λ =

↓

λ

λ ≠0

↓

(

)

Пусть ( ) ↓

= ↓

λ ↓

λ

' = ↓

= λ ↓ .

Если нас интересует нетрив(. реш., то)

↓

д.б. нетрив. реш. ОСЛАУ

(2) ( −

λ( ) ↓)

= 0

↓ .

ОСЛАУ (2) имеет нетривиальные решения det ( − λ ) = 0

Опр. Уравнение det ( − λ )

= 0 называется характеристическим уравнением.

Известно, что в поле оно имеет n корней с учетом их кратности.

Замеч. λ и ↓

являются соотв. СЗ и комп. СВ ЛО, имеющего в нек. базисе матрицу А.

−соотв. СВ.

Получаем, что ↓

= ↓

λ - нетрив. реш. ОСЛООДУ (1)

λ - корень хар. ур-ия, а ↓

Построение ФСР ОСЛОДУ (1)

= 1

↓

λ1 … φ( )

↓

= ↓

λ

(

↓ − СВ, отвеч λ

)

. Т.к.

Все корни хар. ур-ия вещ. и разл.: φ(1) ↓

1

↓

...

↓

отв-т разл. СЗ, то они ЛНЗ. Покажем, что φ

(1)

( )

↓

, …, φ

( )

( ) ↓

обр. ФСР ОСЛОДУ (1), т.е. явл.

ЛНЗ на .

|

λ1

λ |

(1)

( )

|

|

≠0, т.к. в столбцах det запис. коорд. ЛНЗ

φ

(1)

...φ

( )

↓

↓

(0) =

1 ↓

...

↓

( ) = | 1

...

| φ

...φ

в-ров

1 ↓

|

↓

. φ

(1)

...φ

( )

|

(1)

...φ

( )

*

(1)

( )

( )

( )

↓

ЛНЗ на всей это ФСР

...

( ) = φ

(0)

≠0 φ

↓ , …, φ

ОСЛОДУ (1)

Замеч. В рассм. случае предпол., что А – вещ.я матрица и была построена соотв. вещ. ФСР

=

↓

λ

будет

Если А – компл. матрица и все корни хар. ур-ия разл., то ФСР φ(1)

↓

= 1

↓ λ1

… φ( )

↓

Вопрос 21.

< , >

=

(

= −

(1) { 1' ( ) = 11 1( ) + … + 1 ( ) ... ' ( ) = 1 1( ) + … + ( )

постоянная матрица, т.е. =

λ ≠0

↓

)

Пусть ( ) ↓ = ↓ λ ↓ λ

' = ↓ λ λ ↓ λ = ↓ λ

= λ ↓ .

Если нас интересует нетрив(. реш., то)

↓ д.б. нетрив. реш. ОСЛАУ (2) ( −

λ( ) ↓)

= 0

↓ .

ОСЛАУ (2) имеет нетривиальные решения det ( − λ ) = 0

Опр. Уравнение det ( − λ ) = 0 называется характеристическим уравнением.

Известно, что в поле оно имеет n корней с учетом их кратности.

Замеч. λ и ↓ являются соотв. СЗ и комп. СВ ЛО, имеющего в нек. базисе матрицу А.

−соотв. СВ.

Получаем, что ↓ = ↓ λ - нетрив. реш. ОСЛООДУ (1) λ - корень хар. ур-ия, а ↓

Построение ФСР ОСЛОДУ (1)

Док-во: det ( − λ )

= 0 det ( − λ ) = 0

det ( − λ ) = 0

+ 2 = - все корни разл. Рассм. компл. ФСР

= +1

↓ λ +1 , …, φ( + ) ↓

= + ↓ λ + ,

φ( + +1)

↓ =

φ(1) ↓

= 1

↓ λ1 , …, φ( ) ↓

=

↓ λ ,

φ( +1) ↓

φ(1)...φ( )( ) =

φ(1)( ) ↓

... φ( )( ) ↓

φ( +1)( ) ↓ ...

φ( + )( )

↓ φ( + +1)( )

↓

... φ( +2 )( ) ↓

=

|

(1)

|

( )

( +1)

( + )

( +1)

( + )

|

|

( +1)|

( +1)

( )

↓

( )

↓

φ

↓ ... φ

( ) ↓

( ) ↓

+ φ

= |φ

... φ

( )

φ

... φ

( ) ↓ | = |……φ

( ) ↓

(

те же действ. произв. с ост. парами столбцов комплексносопр. реш., тогда через q шагов получим

~

|φ

(1)

( ) ↓ ... φ

( )

( ) ↓ φ

( +1)

( )

↓ … φ

( + )

( ) ↓

φ

( +1)

( ) ↓

… φ

( + )

= (− 2 )

( ) ↓ |= (−

2 ) ( )

. Т.о., получим с-му +

2 =

ЛНЗ действ. реш - действ. ФСР.

Действ. ФСР имеет вид:

=

↓ λ ,

φ( +1) ↓

= +1 ↓ λ +1

, …, φ( + ) ↓

= +

↓ λ +

,

φ( +

φ(1) ↓

= 1

↓ λ1 , …, φ( ) ↓

, т.е. в компл. ФСР каждая пара ↓ λ и

↓

λ

заменена на( пару (ЛНЗ)) ↓

λ

)

и

( ↓

λ

)

)

(

(

Вопрос 22.

↓

Замечания о построении ФСР в случае кратных корней

'

↓

= ↓

= ↓ , Т – пост. невырожд. матрица

'

↓

= ' ↓ ' ↓

= ↓

' ↓

= −1 ↓

Пусть матрица А диагонализ. (т.е. ЛО, к-ому она отвечает в нек. базисе имеет диагонал. матрицу. Это

возможно базис из СВ этого ЛО у всех его СЗ АК=ГК. Тогда Т - матрица, в столбцах к-ой записаны

координаты СВ ). Пусть базис из СВ. Тогда Т =

1

↓

...

↓

)

−1 =

λ1 ··· 0

0 ···

λ

)

Тогда

получим, что

= λ

1

(

↓

1(

{ 1' = λ1 1 ... '

{ 1 = 1 λ

... = λ

= 1(1 0 ... 0 ) λ + … + (0 ..

0 1 ) λ

↓

= ↓ =

(

1 ↓

... ↓

)

↓

λ1

+

… +

λ

= 1 1 ↓

↓

λ

(1)

↓

= 1

↓

λ1

( )

↓

= ↓

Если базис из СВ, отвеч. этим СЗ, ФСР: φ

, …, φ

.В случае кратных корней

нек. λ могут совпадать.

Если λ: АК > ГК (АК =k, ГК=m, m<k) k ЛНЗ реш., отвеч. такому λ:

↓ −столбцы подлеж. опр.

(20) ↓ = 0

↓ + 1 ↓ + … + −

↓ − λ , где 0

↓ , … −

λ

Подставим (20)(

в

)− −1

)

λ

+ λ

((

0 ↓ + 1 ↓ + … + − ↓

−

)

)

≡

0

↓

' ↓ = ↓ 1 ↓ + … + ( − ) − ↓

. Приравниваем−

коэфф(

. при одинак. степенях t:

= 0

(

: −

↓

= λ − ↓

или ( − λ ) − ↓

= ( − ) − ↓

− −1 : − −1

↓ = λ − −1 ↓

+ ( − ) − ↓

или ( − λ ) − −1 ↓

…………..

= λ 0 ↓ + 1 ↓

0

: 0 ↓

Теор. ЛНЗ реш. вида

↓

= 0 ↓

+ 1

↓ +

… + −

↓ −

)

λ , отвеч. этому СЗ(без док-ва)

Подставим в ОСЛОДУ:

↓

−( −1

λ

↓ = 0 ↓

−

λ

)+ …(+

↓

( − −1

: − ↓

= λ −

() − λ )(( −

, т.о. − ↓

= 1 1 )↓

1 ↓ + … + ( − ) −

↓

+ λ 0 ↓ + 1

↓ + … + −

↓

≡ 0 ↓ + 1 ↓ + … +

−

: − −1 ↓

= λ − −1

↓ + ( − ) − ↓

Эта с-ма обл. расшир. матрицей

1 1

↓

+ … + ↓

и совместна не при всех значениях 1, … . Из условия совместности получаем

−

(ограничения на 1, … , т).е. связь между ними, т.е.

о.о ↓

будет зависеть от m новых констант,

(

ч.н.

↓

)

от нек. старых (это же касается − ↓

)

− −1

(↓

= )о.о

↓ + ч.н. ↓

2 : 2 ↓

= λ 2 ↓

+ 3 3 ↓

1 : 1 ↓

= λ 1 ↓

+ 2 2 ↓

Вопрос 23.

+ ( ) ↓

Неоднородные СЛОДУ с постоянными коэффициентами.

↓

' ↓

= ↓

(1)

=

−постоянная матрица. о.н ↓

= о.о ↓ + ч.н

φ

(1)

( ) ↓ , …, φ

( )

(

)

φ

(1)

( ) ↓ , …, φ

( )

( ) ↓

−ФМР о.о ↓

= Ф( )С ↓ ,

( ) ↓ −ФСР ОСЛОДУ (1), Ф( ) =

↓

= 1 ...

, а ч.н

↓ находим, полагая ↓(

=

Ф( )С( ) ↓ (метод)вариации произв. пост.). Если

( ) ↓ имеет(

спец). вид, удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов.

Теор. (принцип суперпозиции)

(1)

↓

, …, ( )

↓ - реш. соотв. с-мы

↓

↓

=

↓ − реш. с-мы

' ↓

= ↓

+ 1( ) ↓

, …, '

↓ = ↓ + ( )

∑ (1)

' ↓

= ↓

=1

+ ∑ ( ) ↓

ДОКАЗАТЬ

=1

Метод неопределенных коэффициентов.

Теор. Если

↓ α ≡

0 ↓

( )

↓

= ( )

+ 1 ↓

+ … +

↓ α

(

0 ↓ , 1

↓

... ↓ − известные столбцы чисел

,

= ↓

+ ↓ (имеет ч. реш. вида :

)

то ' ↓

(1) ч.н. ↓

= + ( ) α ≡

0 ↓

+ 1

↓ + … + +

↓ + α

0

↓ , 1

↓ ... + ↓ −

столбцы(

, коэфф. кот. подлежат опр). −

ю . = 0, если α не явл. корнем хар. ур-ия,

( =

,

если α явл. корнем хар. ур-ия АК=k. Неизв. столбцы м.б. найдены)

путем подстановки реш. вида (1) в

неодн. СЛОДУ и приравн. коэфф. при степенях t в правой и левой частях. (б/д)

Теор. Если А – вещ.матрица, а ( ) ↓ = 1( )

↓

β + 2( )

↓ β α , где 1( ) ↓ , 2( ) ↓ −вект.

(2)многочленыч.н. ↓ =с действ+ ( ). коэфф↓ β., α,+β ,+тогда( )( ↓с-маβ '

↓α , где= ↓=

+ 1, ↓2

)

обл, ). ч↓. реш, -↓м вида−вект: . многочлены с

действ. коэфф(. степеней 1 и 2 соответств.

)

(

= 0, если α± β не явл. корнем хар. ур-ия, = , если α± β явл. корнем хар. ур-ия АК = k. Коэфф.

многочленов R и T опр. путем подстановки решений вида (2) в неодн. СЛОДУ ' ↓ = ↓

+ ↓ и

приравнивая коэфф. при β и β в обеих частях =

0,

(б/д)

Сведем (1) к норм. с-ме: ( ) = 1,

'( ) = 2, …, ( −1)( ) = , ( )

=− 1 ( −1) − … − −1 ' − +

(2){ 1' = 2 2' = 3 ... ' −1 =

' =− 1 −.. − −1 2 − 1

+

удовлетворяющее доп. условиям (3) 0 =

α0, '

(

0

)

= α1, …, ( −1)

(

0

)

= α −1 , где 0 (< , >). Условия

(3) называются начальными условиями(

ЗК) .

)

( −1)

0

)

эквивалентна ЗК для СЛОДУ :

ЗК (2) (3) { + 1 ( −1) + … + = 0

= α0 ...

= α −1

{

1'

=

2

...

' −1

=

'

1

(1

1

0

= α

0

(

0

= α

−1

=−

−... −

+

...

, ( ) ↓

= (0 0 0 ... ( ) )

( ) = 0

1

0 … 0 0

0

1 … 0 …………… 0

… ……..(1 )− ( ) …

−(

)1( )

Из связи(

ЗК (2) (3) с ЗК для СЛОДУ с непрерывными коэффициентами () ) и ( )

↓ получаем:

Теор. (ТСЕ)

! решение ЗК (2), (3)

Если 1( ), … ( ), , ( ) (< , >), то для набора α0, …α −1 на всем < , >

теорема носит глобальный характер.

'

'

( −1)

( −1)

( ) = 0

{α1 1( ) + … + α +1 +1( ) = 0 α1 1( ) + … + α +1 +1( ) = 0

... α1 1

( ) + … + α +1 +1

'

'

( −1)

( −1)

( ) = 0. Положим = 0. С учетом начальных условий

α1 1( ) + … + α ( ) = 0……α1 1

( ) + … + α

(2) получаем

... α1 * 0 + α2 * 0 + … + α * 1 = 0

{α1 * 1 + α2 * 0 + … + α * 0 = 0 α1 * 0 + α2 * 1 + … + α * 0 = 0

Отсюда α1 = α2 = … = α = 0 1( ), … ( ) ЛНЗ на

< , >

т. е. 1 0 = 1,

1' 0 = 0,

2 0 =

0, 2' 0 = 1, …

0 = 0,

' 0 = 0, …. 1( −1) 0 =

0, … ( −1)

0

)

= 1

Покажем( ,)что эти решения( )

ЛНЗ. Пусть( )

(*)α1 (1( )) + … + α( )( )≡0 Продифф( )

. это тождество( )

(n-1) раз:(

(4){α1 1( ) + … + α ( )≡0

'

'

( −1)

( −1)

( )≡0 = 0 α1 * 1 + α2 *

α1 1( ) + … + α ( )≡0 ...

α1 1

( ) + … + α

По ТСЕ имеем α1* 1( ) + … + α*

+1 +1( )≡0,

(α1*, …α*

+1 −нетрив. набор) на < , >

1( ), … +1( ) − ЛЗ на

< , >