Готовые билеты

ξ2

ξ1

ξ1 + 1

(

− 0

)

+ 2

( −2) = ∫ ξ2 ∫

0

ξ03 (

)ξ2

(

)

2

(

)

( −3) = ∫ ξ3

∫ ξ2

∫

ξ1

ξ1 + 1

− 0

+ 2

− 0

+ 3

2

0

0

0 (

)

Через некоторое количество шагов

ξ

ξ2

)

)

(

)

( ) = ∫ ξ ∫ ξ −1 ... ∫ ξ1

ξ1 + −1

− 0

=

( −11)!

∫ ( − ξ) (ξ) ξ + −1

− 0

(11)

0

0

1

− 0 −10 (

(

0

−1( − 0)=

(( −1)!)

+ … + −2( − 0)+ −1

Док-во: БАЗА. = 1

∫ (ξ1) ξ1 =

0!1

∫ ( − ξ)0 (ξ) ξ (верно)

0

ξ

0

ξ2

)

ШАГ. Верно для = , т.е. ∫ ξ ∫ ξ −1

... ∫

ξ1

ξ1 =

( −11)!

∫ ( − ξ) −1 (ξ) ξ.

Тогда

ξ +1

ξ2

)

0

0

0

(

)

0

)

ξ +1

∫ ξ +1

∫

ξ ... ∫ ξ1

ξ1 =

( −11)!

∫ ξ +1

∫

ξ +1

− ξ

−1 (ξ) ξ =

( −11)!

∫ ξ∫

ξ +1 − ξ

−1 (ξ) ξ +1 =

( −11)!

∫

0

0

0

(

0

0

(

0

ξ

(

0

, т.е. формула верна и для = + 1 утверждение верно.

Док-во: БАЗА =

= 0 −верно .

1 ' = ( ) ( ) = ∫ (ξ) ξ + 0, т.е. 0

0

−1

− − 0

ШАГ. Верно для = , т.е. −1 =

∑

((−1)!)

.

Тогда

− ξ− 0

−1

~

=1

(

)

−1

~

−

ξ− 0

~

−

− 0

!

~

− 0

0

−

= ∫ ∑

((−1)!)

ξ + =

∑

( −1)!

∫

ξ − 0

ξ + = ∑

( −1)!

*

(

)

|​ 0

+ = ∑

(( )!

)

+

(

0!

)

=

0 =1

=1

0

=1

=1

формула верна и для = + 1 утверждение верно #

, и−1его− решение− 0

Такимверно,образомто есть

, простейшее1

уравнение−1

n-го порядка− −1

всегда− 0 −1

интегрируется1 (

в квадратурах−1)

имеет вид ( ) =

( −1)!

∫ ( − ξ)

(ξ) ξ + ∑

( (−1)!

)

=

( −1)!

∫ ( − ξ)

(ξ) ξ +

∑

(( )!

)

0

=1

0

=0

''

'

'

'''

''

'

'

'

2

2

''

=

=

=−1

*

=

* ,

=

=

*

=

* *

=

+

.

= φ

( ,

)

, …,

−1

ур-ие

→ ~ , ,.., ( −1)

=( 0) =(

ω( , )1, …, (−1) )

= ω((, )1, …, −1)

( )

(

( ))

( )

α

( )

ПорядокВ) ( , (, ур',..-ия, можно)= 0 ,понизить)где −однна.едпо. заменой, ',.., ( , ,т.е(. )) →> (0 , (( ),), где, ',..(, )

=)='

.

( , , ',..,

).

' = ( ) * ( ) '' = '( ) * ( ) + ( ) * '( ) = '( ) * ( ) + 2 ( ) = '

+ 2

)

( )……

Док-во: ( ) = φ( , ', …, ( −1))* ( ); БАЗА для = 1, 2

−верно(см.выше(

)

ШАГ индукции. Верно для = , докажем что оно также верно для

, ', …, ( −1)

'( ) = ψ

, ', …, ( −1),

= + 1 ( ) = φ , ', …, ( −1)

( ) ( +1) = φ'

, ', …, ( −1)

( ) + φ

верно , то есть'

утверждение( ) (

справедливо) ' 2

'(

( −1)

)

α

~

(

( −1)

)

(

, , ,..,

)

= , , , +

)

, …, φ , , …,

))

, ,..,

= 0 −уравнение (n-1)

=

порядка(

(

( )

(

( −1)(

(

( −1))

(( −1)

)

(

)

(

, ,..,

)

= 0 имеет первый

Г) Допустим, что , ,..,

= ( , ,..,

, тогда уравнение

интеграл ( , ,..,

)= С1. Порядок снижается на 1.

(1) { 1' = 11( ) 1

Линейные нормальные системы.

+ … + 1 ( ) + 1( ) ... '

= 1( ) 1 + … + ( ) + ( )

=

1,

, =

1,

( ), ( ) опр. и непр. на <

, >

.

(

)

( ) ↓

=

(

1( )

... ( )

)

(

11( ) ... 1 ( ) ...

1( ) ... ( )

)

(1)→(2) ' ↓

↓ =

1( ) ...

( ) ,

; ( ) =

Опр. Если ( ) ↓

≡ 0

↓

(т.е. =

1,

( )≡0 на < , >), то СЛОДУ (1) (или (2)) наз. однор., иначе –

неоднор.

Опр. ЗК для СЛОДУ

( ) ([ , ]), то на всем

(3){ '

↓ = ( ) ↓

+

( ) ↓

( 0) ↓

= 0 ↓

− н

Если , = 1, ( ),

[ , ] при любом наборе начальных данных !

(1)

{ 1'

= 1

, 1, …

... '

=

, 1, …

Нормальные системы

1, …, −

(

)

)

t – нез. пер., < , > 1( ) ... ( ) −неизв. ф-ии;

+1

(

зад. Ф-ии на Ω

ур-ие n-го порядка, разреш. отн. ст.произв.: ( ) = , , ', …, ( −1)

(2) можно свести к нормальной

системе следующим образом( −1):

(

)

Пусть = 1, ' = 2, …,

= , тогда получим нормальную систему, равносильную уравнению (2) :

'

'

'

'

1)

< , > , φ1( ), …, φ ( ) Ω

{ 1 = 2 2

= 3

... −1 = = ( , 1

... ) (3)

2)

=

1,

φ` ≡

(

, φ1( ), …, φ () ) на всем

Опр. Частным решением НСОДУ (1) называется

< , >

(

)

совокупность дифференцируемых на < , >

функций

φ1( ), …, φ ( )

:

Опр. Сов-ть{ всех частных}реш. НСОДУ (1) обр. общее реш. Общее реш. с-мы n-го порядка зависит от n произв.

пост.

(

)

→

(

)

→

(

(

→ )

(

))

( )

↓ =

... ( )

,

( ) =

( , ) ↓

=

1

...

, 1,..,

(1)→(4) ' ↓

1( )

1( ), …, ( ) ;

, 1,..,

Частное решение (4) это вектор столбец φ( ) ↓

(или вектор строка φ( ): < , >:

→

Ω 2) φ'( ) ↓

→

(

)

1) , φ( )

≡ ( , φ( )) ↓

Опр(.

{

}+1

, φ1( ), …, φ ( )

пробег. нек.

φ1( ),) …, φ ( ) −к.-либо реш. НСОДУ(1). t пробег. знач. на < , >, т.

траекторией.

φ1( ), …, φ ( )

: φ1

(

0

)

= 10

… φ

(

0

)

= 0

(где

Опр. Задача нахождения НСОДУ(1)

10

, …

0

{

}

−набор нач. данных) наз. ЗК для НСОДУ (1) :

{ '

↓

=

→

↓

0

↓ = 0 ↓

(5)

,

)

)

Теор.(ТСЕ)

( 0,

0

0(

(

1

... )− внутр. т. Ω

0, 10, …, 0

)

= П Ω

Пусть

0, 10, …, 0

− внутренняя точка Ω и в некоторой

П = {

( − 0

|

≤ 0),

||| 1 −→ 10|||

≤ 1, …, ||| − 0||| ≤ } выполняется(

, что

|

1)

=

1,

( , ') (П)

Замеч. Если ↓ = φ(1)( ) ↓ −реш. ЗК (5) на

(

0

)

, а ↓

= φ(2)( ) ↓ −реш. ЗК (5) на нек. D, то

φ(1)( ) ↓ ≡ φ(2)( ) ↓ на

( 0)

Вопрос 13

−ОСЛОДУ

( ↓ ) = 0 ↓

' ↓ = ( ) ↓

< , > ф-ий (коэфф. с-мы).

( ) = ( ( )) −матрица непр. на

Опр. С-ма столбцов наз. 1 ↓

, …, ↓

ЛЗ, если нетрив. набор λ1, …, λ

λ1 1 ↓ +, …, + λ ↓

= θ

↓

(1). Если же (1) возможно только при λ1, …, λ = 0, то с-ма столбцов ЛНЗ.

Опр. С-ма строк называется 1

→

→

→ →

...

ЛЗ, если нетрив. набор λ1, …, λ λ1 1 +,

…, + λ = θ (2). Если же

Достаточные условия о ЛЗ и ЛНЗ:

1.

Система столбцов, содержащая нулевой столбец, линейно зависимая

↓

= θ ↓

,

# ЛЗ и ЛНЗ сохр. при нумерации столбцов, поэтому БОО можно считать что 1

тогда 1 * 1 ↓ + 0 * 2 ↓ + … + 0 * ↓ = θ ↓ =>это НТЛК =>ЛЗ #

2.

Система столбцов, содержащая ЛЗ подсистему, ЛЗ

λ ≠0

# БОО считаем 1, …, линейно зависимая подсистема, λ1, …, λ : λ1 + … +

↓ θ = θ ↓ это

λ1 1 ↓ + … + λ ↓ = θ ↓ => λ1 1 ↓ + … + λ ↓ θ + 0 * |+1|

↓ + …|

+| 0 *

НТЛК => это ЛЗ#

3.

Любая подсистема ЛНЗ системы столбцов является ЛНЗ

(Аналогично для системы строк)

один из них является линейной комбинацией остальных.

Т. (Критерий ЛЗ) Система столбцов является ЛЗ

Док-во:

- ЛЗ система столбцов, НТЛК λ1 1 ↓ + … + λ ↓

= θ ↓ , БОО λ1≠0

1

↓ , …, ↓

λ2

λ

+ … + α ↓ , т.е. 1

↓ - ЛК остальных

1 ↓

=−

λ1

* 2

↓ − … −

λ1

* ↓

= α1 2 ↓

Пусть один из столбцов ЛК остальных БОО считаем 1 ↓ = λ2 2 ↓ , …, + λ ↓ Тогда

1 * 1

↓ − λ2 * 2 ↓ − … − λ ↓

= θ ↓ - это НТЛК=> 1 ↓ , …,

↓ линейно зависимая система

Вопрос 14.

−ОСЛОДУ ( ) =

(

Однородные СЛОДУ.

(1) ' ↓ = ( ) ↓

( )

−матрица непр. на< , > ф-ий (коэфф. системы). В ЛП

(1)

)

...

( )

↓ −наз. ЛЗ, если нетрив. набор α1

... α : (2)

столбцов функций (высоты h) столбцы

↓

α1 (1)( ) + …

+ α ( )( )≡0

на < , >. Если тождество (2) выполняется только при α1 = … = α = 0, то

система (1)( )

↓ ... ( )( )

↓

ЛНЗ

Свойства решений ОСЛОДУ

1)

(Тривиальность) ОСЛОДУ (1) всегда обладает решением φ( ) ↓ ≡ 0 ↓ Док-во: очевидно

2)

(Линейность) ↓

= φ(1)( ) ↓

и ↓ = φ(2)( ) ↓ − нек. реш. (1)

α, β

↓ = αφ(1)( ) ↓ +

βφ(2)( ) ↓

также явл. реш. (1)

Док-во: Введем в ЛП столбцов-ф-ий оператор L: ( ↓

) = ' ↓ − ( )

↓

(1) → (3)

( ↓ ) = 0 ↓ .

'

φ(1)( ) ↓

и φ(2)( ) ↓

−реш., т.е.

= 0 ↓

αφ(1)( ) ↓

+ βφ(2)( ) ↓

= αφ(1)( ) ↓

+ βφ(2)( ) ↓

−

α

φ(1)( ) ↓

)

= 0 ↓ ,

φ(2)( ) ↓

)

)

)

. (

(

(

(

(

φ( ) ↓

≡ 0 ↓

на < , > . Док-во: ЗК для (1) { ' ↓

= ( ) ↓

( *) ↓

=

0

↓

; ( ) ↓ = 0 ↓ - ее

реш., ↓

= φ( ) ↓

- тоже ее реш. По ТСЕ на всем < ,

> ! реш. ЗК φ( )

↓

≡ 0

↓

высоты

= с-ма φ(1) 0

)

↓ , …φ( +1) 0

)0

↓

− ЛЗ нетрив.

α

1

... α

+1

1

(1)

0

↓

(

+ α

+1

φ

( +1)(

↓

= 0

↓

(4).

: α φ

(1)(

)

+ …

(

)

0

)

( ) ↓

=

1

+ …

+ α

+1

φ

( +1)

−ЛК реш. (1) явл. реш. (2),

↓ = 0 ↓

в

α

φ ( ) ↓

( )

↓ ; ( ) ↓

соответствии с (4).

= ( ) ↓

0

)

↓

= 0

↓

(

( ) ↓

- реш. ЗК { ' ↓

, но эта ЗК также обладает реш. φ( ) ↓ ≡0.

По ТСЕ получаем

(

≡ 0 ↓ на

< , >, т. е. φ(1)( )

↓ , …, φ( +1)( ) ↓ − Л

( ) ↓

≡

0 ↓

α1φ(1)( ) ↓

+ … + α +1φ( +1)( ) ↓

Док-во: 1

↓

= (1 0 ... 0 ),

2 ↓

= (0 1

...

0 )… ↓ = (0 ... 1 ... 0 )…

↓ = (0 0

... 1 ) ; n штук ЗК :

=

1,

{ '

↓ = ( ) ↓

0

↓ =

↓ где 0 < , >. φ(1)( ) ↓ , …, φ( )( ) ↓

−реш. этих ЗК.

Предп., эта с-ма реш. ЛЗ нетрив( ) . набор α1 ... α :

(5) α1φ(1)( ) ↓ + … + α φ( )( ) ↓

≡ 0 ↓

на < , >. (5) д.б. вып. при = 0

α1φ(1) 0

)...

↓

+ … + α φ( ) 0 ↓

= 0 ↓

т.е. α1 1 ↓ + … + α ↓ = 0 ↓

т.е. α1 ... α = 0 ↓ т.е.

{α1 = (0

α = 0 . Противор( ). тому, что набор α1 ... α −нетрив. Оно вызвано из предположения( )

что

φ(1)( )

↓ , …, φ( )( ) ↓ −ЛЗ

эта система ЛНЗ на < , >.

этого набора)

{

}

Т. (Об общем решении ОСЛОДУ)

φ(1)( ) ↓ , …, φ( )( ) ↓

назовем ФСР ОСЛОДУ, С1 ... С −

о.о ↓ = С1φ(1)( ) ↓

+ … + С φ( )( ) ↓ , где

произвольные постоянные

Док-во:

, …, φ( ) ↓ −базис, то любое решение является ЛК

. Поскольку φ(1) ↓

С1 ... С : ( ) = С1φ(1)

↓ + … + С φ( ) ↓ ,

↓

+ … + С φ( ) ↓ является решением.

. Из свойства линейности любая ЛК С1φ(1)

Вопрос 16.

−ОСЛОДУ

(3)

( ↓ ) = 0 ↓

(1) '

↓

= ( ) ↓

Пусть (1)( )

↓

... ( )( )

↓

Матрица решений и определитель Вронского.

−произв. реш. (1) (или (3)). Запишем их по столбцам в матрицу

( ) =

(1)( )

↓ ... ( )( )

↓

ОСЛОДУ(1)(1).

( )

(1)

( )

Опр. (() наз(1)

. матрицей( )решений)

↓

= ( )

( )

↓

...

( ) ↓

)

= ( ) ( )

'( ) =

'( )

↓

...

'( )

↓

=

( )

↓ … ( )

матрица(

реш. формально тоже)удовлетворяет(

ОСЛОДУ (1),)т(1).е. '( )(= ( ())

( )

↓

, где

Опр. Матрица реш., постр. на ФСР ОСЛОДУ (1), т.е. Ф( ) =

φ

( )

↓

, …, φ

( )

φ(1)( ) ↓

, …, φ( )( )

↓ − произв. ФСР ОСЛОДУ (1), наз. фундаментальной(

матрицей)

решений (ФМР)

{Опр. (1)... ( ) =

det }( ) . ( ) наз. определителем Вронского (вронскианом) с-мы решений

(1)( )

↓ ... ( )( )

↓

... ( )( )

↓

, т.е. не

Замеч. Опр-ль Вронского можно рассм. для с-мы n столбцов ф-ий высоты n (1)( ) ↓

обязательно для решений ОСЛОДУ.

Свойства МР и ОВ.

↓

... ( )( ) ↓

−ЛЗ на < , > с-мы столбцов ф-ий высоты n (не обяз. реш. ОСЛОДУ)

1)

(О ЛЗ) (1)( )

(1)... ( )( )≡0 на < , >

+ … + α ( )( )

↓

≡ 0

↓

на < , >. При фикс.

Док-во: с-ма ЛЗ нетрив. набор α1 ... α : (6)α1 (1)( ) ↓