Курс лекций по дисциплине МЖиГ

11

где р0 и 0 - давление и плотность газа на какой-либо определенной высоте z0. (Значение плотности 0 может быть вычислено из (3) по известным (измеренным) давлению р0 и температуре Т). Уравнение (1) при использовании (3) принимает вид:

Интегрирование дает

В результате распределение давления с высотой имеет вид:

Плотность в этом случае меняется с высотой по аналогичному закону

Случай 3. Равновесие газа в политропном случае.

В двух словах напомним сначала, что такое политропный процесс. Если возможен беспрепятственный теплообмен системы с окружающей средой, т.е. Т 0, то протекающий при таких условиях процесс называется изотермическим. Если теплообмен с окружающей средой отсутствует, то естьQ 0, то процесс называется адиабатическим. Процессы, занимающие промежуточное положение между этими крайними случаями, не осуществимыми на практике, называются политропными. Это процессы, при которых происходит частичный теплообмен со средой. Закон политропного изменения состояния газа

где n - показатель адиабаты. Остальные процессы являются частными случаями политропного. Для изотермического случая нужно положить =1 (см. (4)), для адиабатического - =n , изохорного - = , изобарного - =0.

Выражая из уравнения (7) плотность

Разделяя переменные и интегрируя, получим

где постоянные интегрирования находятся из начальных условий:

Таким образом, распределение давления имеет вид

С использованием уравнения (17) выражение (10) можно переписать в более простом виде

Однако эта формула не совсем удобна для вычисления распределения давления (почему?).

Очевидно, что в политропном процессе с высотой меняется не только плотность и давление, но и температура. Закон ее изменения можно определить, подставив в (20) уравнение Менделеева-Клапейрона (12). Получим:

13

ЛЕКЦИЯ 3.

ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ.

3.1. Абсолютное, избыточное, вакуумметрическое давление.

Гидростатическим давлением называют нормальное сжимающее напряжение в неподвижной жидкости, то есть силу, действующую на единицу площади поверхности. За единицу измерения давления в международной системе принят паскаль (Па=Н/м2). До сих пор часто используются техническая (ат) и физическая (атм) атмосферы, миллиметры ртутного и метры водяного столба: 1ат=1кгс/см2=98100Па=10 м вод. ст. = 735 мм рт. ст., 1атм=101325Па= =760мм рт ст.

Различают абсолютное, атмосферное, манометрическое и вакуумметрическое давления. Абсолютное (полное) давление р отсчитывается от абсолютного нуля (вакуума). Атмосферное давление рА создается силой тяжести воздуха атмосферы и принимается в обычных условиях равным 101325Па или 760 мм рт ст. Избыток давления над атмосферным называют маномет-

рическим (избыточным) давлением рМ=рИЗБ=р-рА, а недостаток до атмо-

сферного давления -вакуумметрическим давлением рВ=рА-р. Приборы для измерения атмосферного давления назвали барометрами, манометрического

- манометрами, вакуума - вакуумметрами.

Абсолютное давление в любой точке покоящейся жидкости определя-

ется по основному уравнению гидростатики

где р0 - абсолютное давление на свободной поверхности жидкости; - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения, h - глубина погружения точки под свободной поверхностью.

Для решения задач, в которых рассматриваются системы с двумя сообщающимися сосудами (баками, коленами, цилиндрами) целесообразно провести через них плоскость равного давления О-О (рис.1). Если система находится под действием только силы тяжести, то такая плоскость должна быть горизонтальной и пересекать только одну жидкость. Затем на этой плоскости в сосудах выделяют по одной точке 1 и 2, записывают выражения для абсолютного давления в этих точках

и приравняв выражения между собой, определяют неизвестную величину. Здесь м, р, в - плотности масла, ртути и воды соответственно.

14

Следует заметить, что в сосуде может быть задано поверхностное манометрическое р0М или вакуумметрическое р0В давления. В этих случаях перед включением в выражение (2) они переводятся в абсолютное давление по

3.2. Давление жидкости на плоские стенки.

Рассмотрим плоскую стенку ОВ, наклоненную под углом (рис.2) и вычислим силу давления на эту стенку.

На элементарную площадку dS этой стенки действует в перпендикулярном направлении сила dF=pdS, где р - гидростатическое давление в точке расположения этой площадки

S

рассматриваемой пластины. Таким образом

Здесь первое слагаемое представляет собой силу атмосферного давления на стенку, которое передается жидкостью по закону Паскаля, а второе - силу давления, оказывающую на стенку уже самой жидкостью (можно сказать, избыточного давления).

Но второе слагаемое в (3) - не что иное, как вес жидкости в сосуде с площадью основания S и высотой h. Поэтому можно сказать, что сила, с которой жидкость действует на плоскую стенку, равна весу жидкости в объеме с основанием, равным площади данной стенке и высотой, равной глубине погружения центра тяжести этой площади.

15

Направление этой силы, напоминаем, перпендикулярно стенке.

Точка приложения этой силы D называется центром давления. Центр давления D смещен в сторону наибольших давлений, то есть в общем случае находится ниже центра тяжести С. Координата zD центра давления для стенки любой формы определяется по формуле

где zС’ - координата центра тяжести смоченной поверхности стенки, IC - момент инерции площади смоченной поверхности стенки относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести С.

на расстоянии 2L/3 в плоскости стенки.

Для справки приведем выражение для момента инерции круга диамет-

Для графического изображения закона изменения гидростатического давления служат эпюры давлений. При построении эпюры давления на плоские стенки нужно запомнить следующие правила, вытекающие из свойств гидростатического давления:

1)на свободной поверхности избыточное давление р=0;

2)на глубине h избыточное давление р=h= gh;

16

3)закон изменения р - прямая линия;

4)р направлено перпендикулярно стенке;

5)для построения эпюры полного давления внешнее давление на свободную поверхность прибавляется к избыточному давлению:

6)если жидкость расположена с обоих сторон стенки, то эпюры строятся с каждой стороны отдельно, а затем графически суммируются с учетом знака.

Замечание: силу давления жидкости на плоскую прямоугольную площадку можно найти как произведение ширины этой поверхности на площадь соответствующей эпюры давления: F=bSэп.

3.3. Давление жидкости на криволинейные поверхности.

Здесь можно в точности повторить рассуждения, сделанные в предыдущем параграфе. Действительно, любую криволинейную поверхность можно разбить на множество элементарных площадок dS малых настолько, что каждую из них можно считать плоской и, следовательно, посчитать силу, на нее действующую. Остается только просуммировать эти силы по всей поверхности. В наиболее общем случае все сводится к довольно сложному поверхностному интегралу, рассматривать который здесь нет необходимости, так как в наиболее распространенных на практике случаях “правильных” криволинейных поверхностей (цилиндрической, шарообразной или каких-то их частей) вполне достаточно алгебраических вычислений.

Изобразим часть криволинейной, например цилиндрической, поверхности, перекрывающей прямоугольный канал. Сила давления жидкости на цилиндрические поверхности выражается геометрической суммой ее составляющих: горизонтальной Fг и вертикальной Fв:

Горизонтальная составляющая силы давления жидкости на цилиндрическую стенку равна силе давления жидкости на вертикальную проекцию в этой стенки:

Если рассмотреть рисунок, то Fг= hcbh.

17

Вертикальная составляющая сила давления на цилиндрическую поверхность равна весу жидкости в объеме тела давления:

Телом давления называется объем жидкости W, ограниченный данной криволинейной поверхностью, горизонтальной плоскостью, представляющей собой проекцию данной криволинейной поверхности на плоскость свободной поверхности жидкости или ее продолжение и проецирующими плоскостями. Если тело давления находится со смоченной стороны стенки, оно называется действительным, а вертикальная составляющая Рв имеет знак + и направлена вниз. Если тело давления находится с несмоченной стороны стенки, оно называется фиктивным, а вертикальная составляющая отрицательна и направлена вверх (см. рис. а, б).

ё Если жидкость находится с обеих сторон стенки, то тела давления строятся с каждой стороны отдельно, а затем суммируются с учетом знака

(см. рис.).

Линия действия равнодействующей силы давления на цилиндрические поверхности всегда направлена по радиусу и проходит через их геометриче-

3.4. Закон Архимеда

где Wвыт - вытесненный объем жидкости (или объем погруженной части тела). При погружении твердого тела весом G в жидкость возможны 3 варианта:

1)Fвыт>G - тело плавает (надводное плавание);

2)Fвыт=G - тело находится в состоянии равновесия на любой глубине (подводное плавание);

3)Fвыт<G - тело тонет.

кости, W и Wт- объем всего тела и объемное водоизмещение (объем вытесненной жидкости).

20

Форма живого сечения потока зависит от взаимного расположения линий тока. Живое сечение потока будет плоским только в том случае, если линии тока параллельны между собой, а скорости частичек жидкости, принадлежащих живому сечению равны между собой (пример: движение идеальной жидкости в цилиндрической трубе).

Классификация видов движения жидкости основана на ряде его признаков.

Различают установившееся и неустановившееся движение. Установившимся движением жидкости называется такое движение,

при котором скорость и давление в любой точке пространства, занятого жидкостью, не изменяется с течением времени. А в противном случае неустановившееся.

Равномерным называется такое установившееся движение жидкости, при котором скорости и площади живых сечений потока не изменяются по его длине. При неравномерном движении скорость и площади живых сечений потока изменяются по длине потока. Например, установившееся движение жидкости в цилиндрической трубе - равномерное, а в трубе переменного сечения - неравномерное. Как равномерное, так и неравномерное движения, могут быть напорными и безнапорными. При напорном движении поток не имеет свободной поверхности и соприкасается со стенками русла по всему периметру своего сечения. При безнапорном движении жидкость имеет свободную поверхность.

Плавноизменяющимся называется такое движение, при котором кривизна струек и угол расхождения между ними весьма малы. С точностью достаточной для практики можно считать, что при плавноизменяющемся движении для всех точек данного живого сечения давление изменяется по гидростатическому закону p= gh, а удельная потенциальная энергия одинакова, т.е.

z+p/ g=const.

Объем жидкости, протекающей через живое сечение в единицу времени, называется

расходом.

Расход жидкости, протекающей через бесконечно малую площадку d (т.е. сечение элементарной струйки), со скоростью u, равен произведению: q ud . Расход потока жидкости равен сумме расходов элементарных

струек, т.е.: Q ud . Т.к. скорость реальной жидкости в различных точ-

ках живого сечения потока различна, вычисление интеграла затруднительно.