Курс лекций по дисциплине МЖиГ
.pdf
98
u
u
|
|
u y |
|
ln 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C
,
(6)
где С - постоянная интегрирования, которая должна быть найдена из граничных условий. Требуя выполнения условий прилипания на стенке, будем иметь
u
u
|
|
|
|
ln 1 |
|
|
|
u y |
|
|
|
|
|
|
.
(7)
Так как производная скорости, согласно уравнению (5), положительна, а сама скорость на стенке равна 0, следовательно, максимальной она будет на оси
umax
u
|
|
|
|
ln 1 |
|
|
|
u R |
|
|
|
|
|
|
.
Итак, нами получено распределение скоростей (7), хорошо описывающее турбулентное течение вблизи гладкой стенки, а при больших удалениях от нее совпадающее с профилем Прандтля.
Для учета шероховатости попробуем при нахождении постоянной С в уравнении (6) использовать значение скорости на высоте бугорков шерохо-
ватости: при y=k
u
u0
. В результате несложных расчетов будем иметь:
|
|
|
|
|
u y |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
u |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
, |
(8) |
|||
u |
|
|
u k |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u R |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
umax |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
. |
(9) |
|||
u |
|
|
u k |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае гладкой трубы (k=0, u0=0) уравнение (8) переходит в (7). Константы турбулентности были определены экспериментально (из опытов Никурадзе): =0,4 (постоянная Кармана), =7,8.
Определим среднюю скорость. В случае плоской трубы
|
1 |
R |
|
ucр |
udy |
||
R |
|||
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ru |
|
|
|
|
|
ln |
|||
|
1 |
|
|
|
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Ru
1 ku
u |
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
R |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 ln |
|
|
|
1 . |
|||||
|
ku |
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
99
Здесь при вычислении использовался интеграл
x p lnxdx x p 1 |
|
lnx |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||
|
|
p 1 |
|
|||||
|
p 1 |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а профиль скорости задавался наиболее общей формулой (8). |
|
|||||||||||||||
Предположим, что Ru |
1. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
u |
|
|
u |
|
|
Ru |
|
|
|
u |
|
|
ku |
|
cp |
0 |
|
|
ln |
|
|
1 |
ln 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
.
|
Найдем, на каком расстоянии от стенки (обозначим это расстояние yCP) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
скорость равна средней, то есть |
|
u y ycp |
|
ucp. Воспользовавшись урав- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нением (8), будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u y |
|
|
|
|
ln |
u R |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 |
|
|
|
|
|
|
cp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
После потенцирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
u ycp |
|
|
u R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Наконец, пренебрегая единицей, получим |
y |
cp |
R 0,37. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Аналогично можно выписать уравнения для случая круглой трубы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
u |
cp |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
urdr |
|
|
|
u R y |
dy |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Подставляя сюда (8) после громоздких выкладок получим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
u |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
ku |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cp |
|
|
ln 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
Ru |
|
|
|
|
|
|
|
Ru |
|
|
|
|
Ru |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ru |
|
|
|
|
Ru |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3R2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
1 |
|
|
Ru |
2 |
|
|
|
|
|
|
Ru |
|
|
|
1 |
|
|
Ru |
2 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
3R2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После предположения Ru |
1 будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
u |
|
u |
u |
|
|
ln Ru |
|
|
|
3 |
|
|
u |
|
ln |
1 |
ku . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
100
Приравнивая это выражение, как и в случае плоской трубы к получим расстояние от стенки трубы, на котором скорость равна
|
cp |
u y y |
|
средней |
|
,
ycp |
0,223 |
|
|
|
R |
Ru |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
0,223
.