Курс лекций по дисциплине МЖиГ

88

Случай 2. Преобладание сил тяжести, что характерно для истечения

Разделяя по разным частям уравнения модельные и натурные величины, будем иметь

Таким образом, для достижения динамического подобия при преобладании сил тяжести должно соблюдаться равенство чисел Фруда в натуре и модели (закон подобия Фруда).

Случай 3. Преобладание сил поверхностного натяжения, что характерно для истечения жидкости из капиллярных отверстий. По определению

Подставляя это соотношение в (2), получим

Разделяя по разным частям уравнения модельные и натурные величины, будем иметь

89

Таким образом, для достижения динамического подобия при преобладании сил поверхностного натяжения должно соблюдаться равенство чисел Вебера в натуре и модели (закон подобия Вебера).

Случай 4. Преобладание сил упругости, когда нужно учитывать сжимаемость текучей Среды, что характерно при обтекании тел газом с больши-

Разделяя по разным частям уравнения модельные и натурные величины, будем иметь

Таким образом, для достижения динамического подобия при преобладании сил упругости должно соблюдаться равенство чисел Маха в натуре и модели (закон подобия Маха).

Существует множество других критериев подобия, здесь рассмотрены наиболее часто встречающиеся случаи.

При одновременном действии нескольких сил для обеспечения подобия необходимо, чтобы в натуре и на модели величины соответствующих критериев подобия были равны. Например, при существенных силах тяжести и вязкости (трения) необходимо: Re idem,Fr idem . Часто удовлетво-

рить этим совместным условиям очень сложно, поэтому в каждом конкретном случае проводят анализ значимости различных сил и оставляют один критерий подобия, соответствующий более значительной силе.

93

2)конвекция и диффузия вихрей, то есть перемещение вихрей от места рождения вверх и вдоль по потоку и распад вихрей на более мелкие вследствие действия вязких сил;

3)диссипация - исчезновение микровихрей, получающихся в результате ряда дроблений вихрей крупных.

Таким образом, основная разница ламинарного и турбулентного потока заключается в том, что в турбулентном движении появляются двигающиеся и взаимодействующие между собой жидкие массы. Турбулентное течение является более сложным и упорядоченным течением жидкости по сравнению

сламинарным.

Уравнения турбулентного течения (уравнения Рейнольдса).

В отличие от ламинарного течения, в турбулентном потоке взаимодействие слоев осуществляется не только за счет молекулярного механизма (перескока молекул со слоя на слой), но и “молярного” - перескока элементарных вихревых образований (жидких масс, содержащих в себе большое количество молекул, двигающихся в определенные моменты времени как единое целое) - вихрей, о которых шел разговор выше и которые для краткости называют “молями”. Если предположить, что турбулентное течение описывается уравнениями типа уравнений Навье-Стокса, необходимо в последние внести поправку на взаимодействие слоев за счет молярного перемешивания. Очевидно, поправка это заключается в изменении вязких членов (ибо именно они отвечают за взаимодействие слоев), а именно в добавлении дополнительного коэффициента турбулентной вязкости. Поэтому система уравнений турбулентного движения жидкости принимает вид (в декартовых координатах)

94

Сравните эти уравнения с уравнениями Навье-Стокса (Лекция 1, (7)- (10))! Заметьте, что уравнения Рейнольдса (1)-(4) выписываются для средних значений скоростей и давления, о чем говорят черточки над буквами. Это сделано в соответствии с предложением Рейнольдса, который предположил, что мгновенную скорость жидкой частицы в турбулентном потоке можно рассматривать как сумму средней скорости этой частицы и отклонения (пульсации) скорости от этого среднего значения

При рисовании профиля скорости турбулентного течения имеется ввиду как раз средняя скорость. И именно ее значение наиболее важно и необходимо для проведения расчетов потерь на трение, сил сопротивления, действующих на обтекаемые тела и в прочих прикладных проблемах. Поэтому основной задачей теории турбулентности с прикладной точки зрения является определение профиля средней скорости.

Появление дополнительных членов с турбулентной вязкостью t ставит проблему замыкания этих уравнений, так как сам коэффициент t является неизвестной функцией координат и параметров течения.

95

ЛЕКЦИЯ 19

РАВНОМЕРНОЕ ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБЕ.

Сначала для упрощения рассуждений и выкладок рассмотрим случай плоской трубы. Впоследствии, если решение будет найдено, его можно обобщить на более сложный случай круглой трубы.

Рассмотрим турбулентное течение жидкости в плоской трубе диаметра d со средней высотой шероховатости k. Динамический коэффициент вязкости жидкости , плотность .

Задача заключается в определении профиля средней скорости по сечению трубы и коэффициента сопротивления .

Поставим задачу. Оси выбираем так, как это показано на рис.1. Предполагая, как и в ламинарном случае (см. лекцию 2), что в среднем течение осуществляется вдоль трубы, получим уравнение

Граничные условия будем обговаривать по мере надобности.

Однократное интегрирования этого выражения по y приводит к уравнению

Дальнейшее решение этого уравнения невозможно без конкретизации выражения для турбулентной вязкости. Таким образом, встает та самая проблема замыкания, о которой шел разговор на прошлой лекции. Прежде чем перейти к ее исследованию, перепишем уравнение (1) в другом виде. В правой части этого уравнения стоит не что иное, как напряжение трения, действующее на частицу жидкости и обусловленное наличием как молекулярного, так и молярного (турбулентного) перемешивания. В связи с этим запишем

уравнение (1) так:

t uy .

Наконец, поделив обе части на плотность жидкости, будем иметь

96

Уравнение (2) иногда называют основным уравнением турбулент-

ного течения жидкости. Такое название обусловлено тем, что (2) справедливо не только для течения по трубе, как (1), но и в большинстве других случаев, например, турбулентного течения жидкости у поверхности обтекаемых тел. Поэтому мы и будем работать с уравнением (2), как с более общим уравнением. Чтобы его решить, необходимо знать вид функций (y) и t(y), то есть как зависит от расстояния до стенки сила трения между слоями и турбулентная вязкость.

В науке, как правило, поступают следующим образом. На основании своих знаний и представлений о процессе делаются предположения, правильность которых проверяется затем на основе сравнения полученных результатов и эксперимента.

Рассмотрим подход Прандтля, сделавшего при исследовании уравнения (2) следующие предположения:

1) Напряжение трения в потоке положено равным напряжению трения на

2) Пренебрегаем влиянием молекулярной вязкости

3) Турбулентную вязкость представляют в виде

t l2 ddyu ,

где l - путь перемешивания (величина “свободного пробега” вихря), которую Прандтль из соображений размерности принимает в виде l y . Таким образом, уравнение принимает вид:

После извлечения корня

Посмотрим, как уравнение (3) описывает поведение производной скорости вблизи оси и вблизи стенки.

97

Как показывают экспериментальные зависимости, при y=0 должно

довательно, уравнение (3) работает плохо.

Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничному условию: при y=R u=umax имеет вид:

Если построить, опираясь на уравнения (3) и (4), профиль скоростей, будет очевидно, что эти уравнения являются первым приближением и могут быть справедливы на определенном удалении и от стенки, и от оси.

Рассмотрим более строгий подход. Так как у нас в конечном счете интересуют потери на трение, а они определяются течением у стенки, попробуем при упрощении основного уравнения не делать предположений, возле стенки несправедливых. В подходе Прандтля у стенки несправедливо было пренебрежение молекулярной вязкостью. Оставляя ее в основном уравнении, получим

Выписанное уравнение нелинейно и не имеет аналитического решения. Следовательно, необходимо иное определение турбулентной вязкости. Оно

эффициент пропорциональности, так называемая первая константа турбулентности.

Тогда уравнение, описывающее турбулентное течение, будет иметь

вид:

но, как и (3), не приводит к нулевой производной на оси трубы. При больших числах Рейнольдса или вдали от стенки формулы (3) и (5) совпадают.

Интегрирование уравнения (5) дает