Лабы / 6 / Протокол с таблицей измерений

Рассмотрим графитовую сигма-призму в виде прямоугольного параллелепипеда размерами a x b x c (рис. 1). Начало координат поместим в центре основания призмы. Пусть в точке с координатами (0, 0, z0) расположен источник быстрых нейтронов. Для определения длины диффузии необходимо измерить пространственное распределение потока тепловых нейтронов; затем следует сравнить его с теоретическим, что позволит найти искомую величину. Однако аналитическое выражение для пространственной зависимости потока тепловых нейтронов, образующихся в результате замедления в исследуемой среде быстрых нейтронов источника, в общем виде настолько громоздко, что ручные расчеты становятся невозможными. Поэтому обрабатываются результаты лишь тех измерений, которые проводятся в области призмы, настолько удаленной от источника нейтронов, что в ней отсутствуют быстрые нейтроны, т.е. имеются только источники тепловых нейтронов. В этой области пространственное распределение потока тепловых нейтронов описывается достаточно простым аналитическим выражением. Исключить влияние быстрых нейтронов можно и другим способом — использованием метода кадмиевой разности. Для этой цели применяется съемная кадмиевая пластина, перекрывающая все поперечное сечение призмы. Тогда разность результатов двух измерений (без кадмиевой пластины и с установленной кадмиевой пластиной) будет пропорциональна потоку тепловых нейтронов от их источника, расположенного в плоскости кадмиевой пластины.

Получим выражение для пространственной зависимости потока тепловых нейтронов в области призмы, расположенной над источником нейтронов и удаленной от него настолько, что в ней имеются лишь тепловые нейтроны. В стационарных условиях уравнение диффузии будет иметь вид

где Ф(х,y,z) — пространственное распределение потока тепловых нейтронов; D

— коэффициент диффузии; Σс — макроскопическое сечение радиаионного захвата для графита в области тепловых нейтронов; L — длина диффузии для

графита.

Уравнение необходимо дополнить граничными условиями:

где aэ, bэ, сэ — экстраполированные размеры призмы. Решение уравнения ищем в виде

Ф(х,y,z) = Ф(х) Ф(y) Ф(z)

Подставляя решение в исходное уравнение и разделив полученное выражение на Ф(х,у,z), имеем

Так как граничное условие предполагает допустимость разделения переменных, то можно записать

Общие решения уравнений соответственно имеют вид:

Из условия симметрии следует, что A1 = А2 = 0. Из граничных условий также следует, что А3 = — B3 exp(–2k3cэ) и

k1n = π / aэ (2n + 1), n = 0, 1, 2, … ; k1m = π / bэ (2m + 1), m = 0, 1, 2, …

Отметим, что определить знаки перед k12 , k22 и k32 можно, строго говоря, лишь используя граничные условия. Действительно, допустим, что равенство мы запишем в виде

k12+ k22+k32 = 1/L2

тогда общее решение для Ф(х) будет иметь вид

Ф(x) = A1exp(k1x) + B1exp(–k1x).

Это решение при любых действительных k1 ≠ 0 не удовлетворяет первому из граничных условий. Абсолютно аналогичное положение было бы и с Ф(y). Но в то же время величина 1/L2 заведомо больше нуля, откуда следует, что перед k32 должен стоять знак «плюс» и k32 должно быть больше (k12 + k22). Во всех этих рассуждениях мы предполагаем, что все ki — действительные константы.

Таким образом, окончательное выражение для Ф(х,у,z) будет иметь вид бесконечного ряда:

видно, что вклад высших гармоник в ряд резко уменьшается с увеличением z. Поэтому достаточно далеко от источника ряд превращается в выражение

Сравним уравнение для Ф(z) и решение с уравнением и решением для случая плоского источника тепловых нейтронов, расположенного в плоском слое экстраполированной толщиной 2сэ. Заметно формальное совпадение этих уравнений и их решений, если считать, что в нашем случае в плоскости (х, у, 0) расположен плоский источник тепловых нейтронов мощностью пропорциональной cos(k10x)∙cos(k20y), а исследуемая среда имеет длину диффузии (релаксации), равную 1/k300. Такое совпадение имеет достаточное физическое объяснение. Действительно, пространственное распределение потока тепловых нейтронов в исследуемой призме обусловлено, с одной стороны, геометрическими характеристиками и спектром нейтронов источника, а с другой

— геометрическими характеристиками призмы и процессами замедления нейтронов источника и диффузии тепловых нейтронов по всему поперечному сечению призмы. Ясно, что на достаточно большом расстоянии от источника определяющими факторами будут геометрические характеристики призмы и процесс диффузии тепловых нейтронов, в результате чего и будет справедливо выражение. В то же время вблизи источника важными будут все факторы,

вследствие чего в этой области призмы Ф(х, у, z) имеет вид бесконечного ряда, в общем случае значительно более сложного, чем начальный ряд.

В случае, когда точечный источник испускает тепловые нейтроны, процесс замедления последних, конечно же, не имеет места, однако вблизи такого источника процесс диффузии нейтронов по-прежнему определяется геометрическими характеристиками источника и призмы, что приводит к справедливости в этой области распределения.

Таким образом, с интересующей нас точки зрения качественно два этих случая одинаковы, а различие заключается лишь в том, что распределение устанавливается, начиная с разных значений z. Последние зависят от соотношения между длиной диффузии L и длиной замедления √τ. Для графита и калифорниевого источника нейтронов L > √τ и плотность замедления снижается значительно быстрее с увеличением расстояния от источника, чем поток тепловых нейтронов. Поэтому приближенно можно считать, что если пространственная зависимость потока тепловых нейтронов, начиная с какого-то значения z, описывается выражением при использовании точечного источника тепловых нейтронов, то при использовании точечного источника быстрых нейтронов в той же области призмы с удовлетворительной точностью также справедливо выражение

Из выражения видно, что при сэ → ∞ получаем для Ф(z) следующее выражение:

Ф(z) = B3 e −k300z.

Значит, множитель 1 − e учитывает влияние внешней границы призмы на пространственное распределение потока тепловых нейтронов. Если расстояние от верхней грани (сэ − z) составляет порядка нескольких длин релаксации тепловых нейтронов 1/k300, то влиянием верхней границы можно пренебречь. Из приведенного выше следует, что зависимость потока тепловых нейтронов ФТ от координаты z для призмы имеет вид кривой, приведенной на рис. 2.

Рис. 2.

Вблизи источника справедливо распределение в виде бесконечного ряда, затем идет участок z1—z2 экспоненциального изменения Ф(z) и далее — участок с распределением. Для определения длины диффузии измеряют распределение потока тепловых нейтронов в относительных единицах по оси z и в результате обработки линейного участка зависимости lnФТ(z) = f(z) определяют значение

k300.

Для расчета длины диффузии L можно воспользоваться выражением, которое имеет вид

Экстраполированные размеры призмы аэ и bэ можно определить несколькими способами. Если провести измерения зависимостей Ф от координат х и у в области, где вклад высших гармоник пренебрежимо мал, то аэ и bэ можно определить либо графическим способом, либо (более точно) путем обработки экспериментальных данных методом наименьших квадратов. Поскольку экстраполированные размеры призмы обычно мало отличаются от геометрических, то их можно определить и прибавлением к геометрическим размерам значения 2ξ = 2∙0,71∙λtr (λtr - транспортная длина пробега для тепловых нейтронов, взятая из литературы), не получая при этом большой погрешности расчета L.

Оценим размеры призмы, необходимые для достаточно точного определения длины диффузии. Если пренебречь погрешностью в определении экстраполированных размеров аэ и bэ, то следует, что относительная погрешность

∆L/L связана с относительной погрешностью ∆k300 / k300 соотношением

Видно, что геометрические размеры призмы существенно влияют на погрешность расчета L. Например, если аэ = bэ = L, то 1 + L2π2 ( 1 / aэ2 + 1 bэ2) ≈ 20. Значит, погрешность расчета L в 20 раз больше погрешности определения k300. Поэтому размеры поперечного сечения призмы должны равняться примерно (2-3) L. Высота призмы должна быть такой, чтобы существовала достаточно большая (удобная для проведения измерений) область экспоненциальной зависимости Ф(z). Это достигается, если высота призмы равна примерно (3-5) L.

Целью данной работы является экспериментальное определение длины диффузии для графита методом сигма-призмы.

Описание экспериментальной установки

Экспериментальная установка состоит из сигма-призмы, детектора нейтронов и аппаратуры, необходимой для регистрации импульсов детектора.

Сигма-призма представляет собой графитовый прямоугольный параллелепипед со следующими размерами: а = b = 99 см; с = 200 см. Сигмапризма собрана из графитовых блоков размерами 11х11x50 см. На лицевой стороне призмы расположены цилиндрические отверстия диаметром 4 см и глубиной 50 см, закрытые графитовыми пробками. Расположение отверстий показано на рис. 3. В нижнее отверстие, находящееся на расстоянии 36 см от основания призмы, помещен калифорниевый источник нейтронов. Остальные отверстия используются для измерений пространственного распределения потока нейтронов. Горизонтальный ряд отверстий расположен на расстоянии 78 см от источника нейтронов.

Рис. 3.

В качестве детектора нейтронов используется гелиевый счетчик типа СНМ18, смонтированный в цилиндрической штанге. Имеется съемный кадмиевый чехол для счетчика.

Методика эксперимента

Для расчета длины диффузии необходимо знать значения k300, аэ и bэ. Для определения величины k300 проводят измерение распределения потока тепловых нейтронов по оси z в относительных единицах. Для определения экстраполированных размеров призмы аэ и bэ измеряют распределения потока тепловых нейтронов по оси x в относительных единицах (для данной призмы аэ = bэ) в том сечении призмы, где отсутствуют высшие гармоники. С учетом обработанных результатов этих измерений можно найти k300 и аэ.

Следует отметить, что в данной призме очень мала область, для которой справедливо уравнение диффузии без источника. Поэтому решение соответствует истинному распределению потока тепловых нейтронов также лишь в малой области призмы. Кроме того, прямые измерения дают сумму распределений тепловых и эпитепловых нейтронов по объему призмы.

Для выделения вклада тепловых нейтронов измерения в каждой точке проводят дважды: с кадмиевым чехлом на счетчике и без него. Разность результатов таких измерений пропорциональна потоку тепловых нейтронов. Предварительная проверка показала, что полученные таким образом распределения тепловых нейтронов достаточно хорошо совпадают с распределением в области призмы, удаленной от источника нейтронов на расстояние 78 см. Тем самым показано, что эту область можно использовать для обработки результатов измерений с целью определения длины диффузии L. Надо помнить только о том, что вблизи верхней грани призмы справедливо распределение по оси z.

Измерения по осям z и х начинают от точек с наименьшими значениями потока нейтронов. Для уменьшения погрешности в каждой точке проводят шесть измерений (три с закадмированным счетчиком и три с открытым). Длительность одного измерения по оси х равна 30 с, по оси z - 100 с. В качестве результата принимается среднее арифметическое показание прибора каждых трех измерений. Для проведения измерений в конкретной точке из отверстия удаляют графитовую пробку и на ее место помещают счетчик нейтронов. После шести измерений (сначала с кадмиевым чехлом, затем без него) счетчик вынимают из отверстия и графитовую пробку ставят на место. На рис. 3 отверстия пронумерованы в соответствии с последовательностью измерений.

Отметим тот факт, что для данной призмы величины k3002 и (π / аэ)2 + (π / bэ)2 отличаются незначительно. Это означает, что для получения достаточно точного значения длины диффузии измерения как по оси z, так и по оси х должны проводиться очень тщательно, а результаты этих измерений должны быть обработаны точными методами.

Измерение фона проводят аналогично измерениям в призме. Счетчик при этом удаляют от призмы насколько это возможно. Время счета составляет 100 с.

Работа должна проводиться в следующей последовательности:

1)Подготовить НИУ «РАиНИ» к работе;

2)измерить фон;