НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«МЭИ»

кафедра АЭС

Лабораторная работа № 1

Проверка статистического характера процесса радиоактивного распада и фоновых шумов

Группа: ТФ-12-20

Бригада:

Студенты: Долгов Р.Н.

Преподаватель: Лунчев Ю.В.

Шпаковский А.А.

Дата выполнения работы: 19.03.24

Москва 2024

Цель работы. Введение

Радиоактивный распад – имеет вероятностный характер. Каждое радиоактивное ядро может распасться в любой момент и закономерность процесса наблюдается только в случае распада большого количества ядер. При этом количество распавшихся ядер за определенное время является случайной величиной.

Исчерпывающей характеристикой случайной величины является функция, описывающая вероятность появления того или иного ее значения, поэтому задача состоит в определении вида вероятностной функции и в расчете параметров этой функции.

Вероятность радиоактивного распада ядра подчиняется биномиальному распределению:

- вероятность того, что отдельное ядро не распадется в течение времени t [сек]:

q = е^-λt

- вероятность того, что отдельное ядро распадется в течение времени t [сек]:

p = 1 – q = 1 – е^-λt

λ - постоянная радиоактивного распада [1/сек].

Если в исследуемом образце имеется N радиоактивных ядер, вероятность распада n ядер за время t в соответствии с формулой Бернулли будет равна:

При количестве радиоактивных ядер N в образце, много большем, чем количество распадов (N >> n) и времени измерения много меньшем среднего времени жизни изотопа (t << 1/ λ), т.е. если распад радиоактивных ядер является редким событием, вероятность распада n ядер можно вычислить с достаточной точностью по формуле Пуассона:

При увеличении времени наблюдения за процессом радиоактивного распада (Nλt >> 1), дискретность событий распада радиоактивных ядер постепенно становиться менее заметной. И при большом числе распадов 4 распределение Пуассона переходит в нормальное (гауссовское) распределение:

Характеристики статистического распределения:

Генеральная совокупность – множество всех значений элементов случайной величины.

Выборка – часть генеральной совокупности значений элементов, которая охватывается экспериментом.

Объем выборки N - количество значений элементов в выборке.

Размах выборки R - разница между максимальным и минимальным значением выборки:

R = X_{max –} X_min

Cередина размаха выборки R_ср:

R_ср = X_min + (X_max – X_min) / 2

Медиана M_е (N - чётное число) - среднее арифметическое значений двух элементов ранжированной выборки, приходящихся на её середину:

M_е = (Х_N/2 + X_N/2+1) / 2

Математическое ожидание М - среднее арифметическое значений элементов выборки:

М = (Х₁ + Х₂ + … + Х_N) / N

Мода M₀ - наиболее часто встречающееся значение элемента выборки

Характеристики частотного распределения:

Оценка количества интервалов выборки m:

1+ 3,322 ∙ lgN ≤ m ≤ 5∙lgN

Ширина интервала S:

S ≈ R / m, округлить до целого – четного

Частота n - количество значений элементов в интервале.

Плотность частоты - n_i /S_i

Относительная частота ω = n /N - отношение частоты к объему выборки

Плотность относительной частоты – ω_i /S_i

Характеристики нормального распределения:

Дисперсия выборки D - степень среднеквадратичного отклонения каждого измеренного значения от математического ожидания:

D= ∑(Х_i- М)² / (N-1)

Cреднеквадратичное отклонение σ – абсолютное отклонение измеренных значений элементов выборки от среднеарифметического:

σ = √D

Ассиметрия А – симметричность расположения значений элементов выборки относительно математического ожидания:

А= ∑(Х_i- М)³ / (σ³ ∙ (N-1))

А = 0 – симметрия, характерная для нормального распределения;

А < 0 – основная часть значений элементов выборки меньше математического ожидания (левосторонняя ассиметрия – длинная ветвь влево);

А > 0 – основная часть значений элементов выборки больше математического ожидания (правосторонняя ассиметрия – длинная ветвь вправо).

Эксцесс Е – показатель остроты пика распределения значений выборки:

Е = ∑[(Х_i- М)⁴ / (σ⁴ ∙ (N-1))] – 3

Е = 0 – острота пика нормального распределения;

Е > 0 – значения элементов выборки сконцентрированы около математического ожидания;

Е < 0 – значения элементов выборки распределены по всей области значений.