ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА
Лекция 6
Осесимметричный изгиб круговых (кольцевых) пластин
Нагрузки симметричны относительно оси z.
Полярные координаты , ,
Пунктирная линия – срединная плоскость.
Гипотезы Кирхгофа-Лява
1.Гипотеза прямых нормалей.
Нормаль, проведенная к срединной поверхности до деформации, остается прямой и нормальной к срединной поверхности и после деформации.
2.Гипотеза о ненадавливании слоев.
Слои, параллельные срединной поверхности, не надавливают друг на друга.
, далее полагаем = 0.
Из 1,2 следует – закон Гука записываем для плоского напряженного
состояния
= 1 − 2 ( + )
(1)
= 1 − 2 ( + )
1
Внутренние силовые факторы. Уравнения равновесия элемента пластины
Вводим внутренние силовые факторы , - поперечная сила и
изгибающий момент на площадке с нормалью .
- изгибающий момент на |
|||
|
|
|
|
площадке с нормалью . |
|||
, , |
- |
погонные |
|
|
|
|
|
силовые факторы
н ∙ м н
[ , ] = м , [ ] = м
Уравнения равновесия
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ( + )( + ) + = 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− − − − + = 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ |
|
= или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.a) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ − ( + )( + ) + 2 |
|
|
|
+ |
|
= 0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
+ − |
− |
− |
|
|
− + 2 |
|
|
+ |
|
= 0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
≈0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.b) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2
Связь между моментами , и напряжениями
/2
= − ∫
− /2
(3)
/2
= − ∫
− /2
Деформации в радиальном и окружном направлении
( , ) – прогиб пластины,
- относительная деформация в радиальном направлении,
- относительная деформация в окружном направлении.
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 1 |
= + − ( + ) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
= |
1 1 − |
= − |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= − |
2 |
|
(4.a) |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 1 = ( − ) |
|
|
|||||||||||
|
|
= 1 1 − = ( − ) − |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
(4.b) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
Уравнения равновесия в перемещениях
Подставляем (4) в (1)
|
|
|
= |
|
|
|
( |
+ |
) = − |
|
|
|
( |
2 |
|
+ |
|
1 |
) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
= |
|
|
|
( |
+ |
) = − |
|
|
|
|
|
( |
1 |
+ |
2 |
|
) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Далее в (3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= − |
∫ |
= |
|
|
|
|
∫ |
|
2 + |
|
|
|
∫ |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 − 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
− /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= − |
∫ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
2 + |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 − 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
− /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
/2
3 ∫ 2 = 12
− /2
|
= ( |
2 |
|
+ |
|
) |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
(6)
|
= ( |
2 |
|
+ |
1 |
) |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3
Обозначаем = 12(1− 2) - цилиндрическая жесткость.
Вернемся в (5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|||||||||
|
= − |
|
( |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
) = − |
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 − 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 − 2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
||||||
|
= − |
|
( |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
) = − |
|
|
|
|
= − |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 − 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 − 2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4
|
|
|
|
|
= − |
|
, |
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляем (6) в уравнение равновесия (2.b) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
1 |
||||||||||||||||
|
|
( |
|
+ |
|
|
|
) + |
|
( |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
) = |
|||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( 3 + 2 − 2 ) =
вуравнение равновесия (2.a)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
пропуская выкладки, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
) = |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Можно короче |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
+ |
|
|
|
|
) ( |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
) = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= - оператор Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
=
Дифференциальное уравнение осесимметричного изгиба пластин.
5