6. Расчет критических скоростей вращающегося вала

Вал с установленными на нем зубчатыми колесами схематизируется как механическая система с двумя степенями свободы. В качестве обобщенных координат принимаются прогибы , вала в местах посадки зубчатых колес, определяемые в системе координат, жёстко связанной с валом.

6.1. Вычислить критические угловые скорости вращения вала , и

соответствующие им критические числа оборотов в минуту , .

6.2. Найти формы колебаний, соответствующие частотам , , проверка

ортогональности форм колебаний обязательна.

6.3. Вычислить прогибы , и наибольшие динамические напряжения,

возникающие в вале при заданном рабочем числе оборотов за счет действия

центробежных сил.

Указания: а) вал предполагается упругим и безынерционным; демпфирование и гироскопические эффекты не учитываются. При определении критических скоростей , рассматриваются плоские изгибные колебания вала;

б) принимается, что центры масс колес расположены в одной плоскости. Смещения центров масс от оси вала характеризуются эксцентриситетами , ;

в) если , или отличаются от менее, чем на 30%, то необходимо дать

рекомендации по изменению конструктивных параметров рассматриваемой системы.

№ Варианта	Ширина колес, мм		Эксцентриситеты, мм
25	30	30	1.3	7.8

Рисунок 6.1. Исходная схема

_{Плотность диска (сталь 40ХН) – 7850 кг/м.куб.}

6.1. Вычислить критические угловые скорости вращения вала , и

соответствующие им критические числа оборотов в минуту , .

_{Запишем уравнение малых изгибных колебаний вращающегося вала}

_{с двумя дисками:}

_{где θ - частота вращения}

_{mk- неуравновешенные массы дисков}

_{εk – эксцентриситеты смещений центров масс дисков относительно оси}

_{вращения}

_{fjk – элементы матрицы податливости}

_{Вычислим осевой момент инерции вала и жесткость на изгиб}

Рисунок 6.2. Расчетная схема для X1=1

Рисунок 6.3. Расчетная схема для X2=1

_{Вычислим податливости. Для этого поочередно прикладываем единичные силы к сечениям посадки дисков 1 и 2 (рис. 6.2, рис. 6.3), составим выражения для единичных моментов и построим эпюры единичных моментов (рис. 6.4, рис. 6.5)}

Рисунок 6.4. Эпюра единичного момента X1=1

Рисунок 6.5. Эпюра единичного момента X2=1

_{С помощью интеграла Максвелла-Мора найдем податливости системы:}

_{Определим собственные частоты колебаний дисков:}

_{Определим критические скорости вращения:}

_{Рабочее число оборотов:}

Рабочая частота вращения:

6.2. Найти формы колебаний, соответствующие частотам , , проверка

ортогональности форм колебаний обязательна.

_{Собственный формы.}

_{Найдем собственную форму соответствующей первой собственной частоте:}

_{Найдем вторую собственную форму:}

_{Сделаем проверку ортогональности форм колебаний:}

6.3. Вычислить прогибы , и наибольшие динамические напряжения,

возникающие в вале при заданном рабочем числе оборотов за счет действия

центробежных сил.

_{Прогибы вала в зависимости от рабочей частоты имеют вид:}

Рисунок 6.6. Зависимость перемещения сечения 1 от частоты вращения

Рисунок 6.7. Зависимость перемещения сечения 2 от частоты вращения

_{Определим амплитуды смещений дисков вращающегося вала при рабочей частоте вращения:}

_{Определим центробежные силы:}

_{Изгибающие моменты могут быть вычислены по принципу суперпозиций:}

Рисунок 6.8. Эпюра изгибающего момента при рабочей частоте вращения вала

_{Определим максимальные напряжения:}