![](/user_photo/91653_YtWm7.jpg)
![](/html/91653/141/html_5c6trBbnll.cziZ/htmlconvd-nL48011x1.jpg)
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА Лекция 4
Формулы Коши
|
|
На площадках 1, 2 3 задан |
12 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= |
|
21 |
22 |
|
|
23 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
31 |
|
32 |
|
|
33 |
|
|
|
|
||||
|
. |
= ( 1, 2, 3) |
нормаль к |
|
|
|
|
|
, |
найдем |
̅= ( 1 |
, 2 |
, 3) |
|
||||
|
|
|
|
площадке |
|
|
|
на |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Уравнения равновесия |
|
1 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
− 11 |
|
− 13 3 = 0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
Из геометрии |
1 − 12 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Получаем |
1 |
= 1, |
2 = 2 |
, |
|
3 = 3 |
|
|
|
1
1 |
= 11 |
1 |
+ 12 2 |
+ 13 |
3 |
(1) |
|
2 |
= 21 |
1 |
+ 22 |
2 |
+ 23 |
3 |
|
3 |
= 31 |
1 |
+ 32 |
2 |
+ 33 |
3 |
|
Или |
|
= |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Вывод: Напряженное состояние в точке полностью определено, если задан тензор напряжений .
напряжения на ней отсутствуют |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Главные напряжения и главные площадки |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Поставим задачу – найти такое |
|
|
(такую площадку ), что касательные |
|||||||||||||||||||||
Из формул Коши 1) |
|
|
= |
|
|
̅= , |
, |
|
= |
|
|
|
||||||||||||
|
|
, |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
( 11 − ) 1 + 12 2 |
+ 13 |
3 |
= 0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
21 |
получаем |
− ) 2 |
+ 23 |
3 |
= 0 |
|
|
|
||||||||||||||
Или в матричном |
1 |
+ |
( 22 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
2 |
+ |
( |
|
|
− ) |
|
= 0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
31 |
1 |
|
|
32 |
|
|
33 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
11 − |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
виде |
|
|
22 − |
|
|
23 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
31 |
11 |
32 |
|
|
|
|
33 |
|
− |
|
3 = 0 |
(2) |
|||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
13 |
|
|
|||||||||
Это проблема |
собственных значений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
22 − |
|
|
|
23 |
= 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
32 |
|
|
33 |
− |
(3) |
|||||||||
Где |
|
|
3 |
− 1 2 |
+ 2 − 3 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
= 11 |
+ 22 |
|
+ 33 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= 1121 |
1222 + 1131 |
1333 + 3222 |
3323 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
= |
21 |
22 |
|
23 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
32 |
|
33 |
|
|
||||
нумеруем |
|
|
|
|
|
1, 2 |
|
это |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
, 3 |
|
|
Главные напряжения. В дальнейшем |
|||||||||||
(2) или (3) имеет 3 корня |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
площадки. |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
( = 1,2,3) |
|
|
(это важно!) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ |
|
|
|
|
|||
Каждому |
|
|
соответствует |
|
|
|
|
, которые определяют Главные |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
≥ |
|
||||||||||||
Пусть мы нашли . Для нахождения имеем три уравнения |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
11 |
− |
1 |
+ 12 |
2 |
+ 13 |
3 |
= 0 |
||||||||
Поскольку |
|
|
21 |
1 |
+ |
22 |
− 2 |
+ 23 |
3 |
= 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
− |
= 0 |
|||||||||
|
|
|
|
31 |
1 |
|
32 2 |
|
|
33 |
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
определитель системы равен нулю, три уравнения линейно |
|||||||||||||||||
зависимы. Решаем любые два полагая, например, 1 |
|
= 1. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1, 2, 3 |
|
+ 22 + 23 = 1 |
|||||||
Обычно добавляют условие нормировки |
21 |
||||||||||||||||||
При этом ∙ = 0, ≠ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В каждой точке сплошной среды существуют три взаимно перпендикулярные площадки, на которых действуют только нормальные напряжения.
Инварианты тензора напряжений, ,
Главные напряжения 1 2 3 зависят от нагрузок, и не зависят от выбора системы координат. Если в качестве начальной, , системы выбрать другую систему координат, получим тот же ответ 1 2 3 (но другие ). То есть получим тоже кубическое уравнение (3)
3
![](/html/91653/141/html_5c6trBbnll.cziZ/htmlconvd-nL48014x1.jpg)
это значит, |
что |
|
|
|
3 |
− |
|
|
2 |
+ |
|
|
− = 0 |
|
|||
координат. |
|
1, 2 |
, 3 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
||||
|
инвариантны по отношению к преобразованию |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
Если выбрать координатные оси, для которых площадки являются |
|||||||||||||||||
главными, также получим (3) |
2 |
+ 02 − 03 |
= 0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
− 01 |
|
||||||||||||
1 |
0 |
1 |
|
0 |
01 |
= 1 |
+ 2 + 3 |
|
|
||||||||
|
|
2 |
0 |
0 |
|
= |
|
|
|
||||||||
02 = 0 |
2 |
+ |
0 3 |
+1 |
0 |
|
3 |
0 1 2 + 1 3 + 2 3 |
|||||||||
|
|
|
03 |
|
= 0 |
|
|
2 |
|
0 |
= 1 |
2 3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
3 |
, 3 = 03 |
|
||
|
|
|
|
1 = 01, 2 = 02 |
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
11 |
12 |
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Плоское напряженное состояние |
= |
|
0 |
||||||||||||||
|
|
= 21 |
22 |
|
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|||
|
|
|
|
= |
cos , = sin |
|
= 0
4
![](/html/91653/141/html_5c6trBbnll.cziZ/htmlconvd-nL48015x1.jpg)
|
− |
|
cos − |
|
|
sin − |
|
|
|
sin − |
|
|
|
cos = 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Получаем |
|
= |
cos2 + sin2 + sin 2 = 0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||||||||||
|
|
− |
|
sin + |
|
= 0 |
|
cos − |
|
|
|
|
sin = 0 |
||||||||||||
|
cos + |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
sin cos − cos2 + sin2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
= sin cos − |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −2 |
sin 2 − cos 2 |
|
|
(5) |
|||||||||||
Теперь из (5) найдем такое , что |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
||||||||||||||
значения |
|
|
|
|
|
|
|
2 = 2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
, |
при котором |
|
принимает |
экстремальные |
|||||||||||||||||
Теперь из (4) найдем |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
= −2 cos sin + 2 cos sin + 2 |
|
cos 2 = 0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем |
|
|
|
|
|
, то есть |
|
совпадает с (6). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
На главных площадках |
= 0 и |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
, = 2, = 0 |
||
Еще одна задача: Рассмотрим главные площадки |
||||
и найдем для которого = . Из (5) |
||||
|
|
1 − 3 |
|
|
|
= 1 −2 3 |
|
sin 2 |
|
|
= 2 |
2 |
2 = 0 |
5
![](/html/91653/141/html_5c6trBbnll.cziZ/htmlconvd-nL48016x1.jpg)
Для площадки |
|
|
касательные напряжения принимают |
|||
максимальное значение |
1 |
= 4 |
|
1 |
− 3 |
|
при этом |
= 1+2 3 |
|
= |
|
2 |
|
|
|
1 |
= −3 = (чистый сдвиг) |
|||
Два частных случая: 1. |
2. 3 = 0 |
= 1−2 3 = , = 1+2 3 = 0 |
(растяжение-сжатие) |
для 1 = 4 имеем = 2 , = 2
6