3 семестр / Manchev_E_I_Posobie

41

Часть IV. Расчет на прочность статически определимых балок

Задача 8

2. Из расчета на прочность подобрать размер поперечного сечения балки в форме прямоугольника:

Рис.8.1 Поперечное сечение балки

3. Для выбранного поперечного сечения найти линейное и угловое перемещение выбранного сечения балки.

Материал стержней – сталь 10ХСНД, модуль упругости которой Е= 200 ГПа,

Принять значение нормативного коэффициента запаса прочности n 1.6 .

Рис.8.2 Исходная схема нагружения

42

Для построения эпюр, необходимо разделить балку на силовые участки.

Границами силовых участков являются координаты, в которых:

–приложены сосредоточенная сила или сосредоточенный момент

–происходит изменение распределенной нагрузки

–расположен врезной шарнир.

Сперва необходимо найти неизвестные реакции опор A и B. Балка является статически определимой, потому что для нахождения 3 неизвестных реакций

Разделим балку на три силовых участка:

: 0 z1 a

: 0 z2 3a

: 0 z3 a

Рассматривая каждый силовой участок, в произвольной точке его интервала выбираем сечение, относительно которого будем расписывать выражения для построения эпюр.

Можно расписать сумму всех сил слева или справа от выбранного сечения. Как правило, выбирают ту часть, в которой меньше внешних нагрузок. Рассматривая первое сечение, мы видим, что слева от него действует только опорная реакция Ay , а справа он него – и распределенная нагрузка, и

Поперечная сила Qy считается положительной, если вызывает поворот отсеченной части по часовой стрелке. Изгибающий момент M x считается положительным, если вызывает сжатие верхних волокон балки.

43

Рассмотрим первый силовой участок : 0 z1 a :

построения эпюры на этом отрезке возьмем две крайние точки отрезка и подставим в выражение M x1 (z1 ) :

Соединяем эти две точки прямой и штрихуем площадь под графиком.

обусловлен тем, что в этой точке приложена сосредоточенная сила P 2qa . Скачок на эпюре Qy численно равен значению приложенной силы. В данном

NB! Скачки на эпюре M x возникают только в местах, где приложен сосредоточенный момент.

отрицательный, значит, ветви параболы будут направлены вниз. Для построения параболы необходимо взять 3 точки, но в дальнейшем можно убедиться, что и 2-х точек иногда оказывается достаточно.

44

Обратим внимание на точку пересечения графика Qy 2 (z2 ) с нулевой линией.

Рис.8.3 Эпюры поперечной силы и изгибающего момента

45

Из расчета на прочность подобрать размер поперечного сечения балки в форме прямоугольника:

Материал стержней – сталь 10ХСНД, модуль упругости которой Е= 200 ГПа,

подобрать сечение в форме квадрата.

Полученное минимальное допустимое значение момента сопротивленияWx значительно превышает максимальное значение Wx из таблицы сортамента по ГОСТ 30245-2012. Причиной этому являются большие значения внешних

требуемую длину стороны квадратного профиля b 3Wx 6 0.438 м .

Возьмем длину стороны b 0.44 м и по ней рассчитаем также момент инерции

Jx b4 0.444 3.123 10 3 м4 12 12

46

Для выбранного поперечного сечения найти линейное и угловое перемещение выбранного сечения балки.

Для нахождения линейного перемещения в выбранном сечении балки необходимо:

1.В выбранном сечении приложить единичную силу Р=1, найти опорные реакции и построить эпюру изгибающего момента M1C .

2.Вычислить интеграл Максвелла-Мора по формуле Симпсона:

Согласно исходной схеме, нам необходимо вычислить линейные и угловые перемещения в точке С. Запишем интеграл Максвелла-Мора для нахождения линейных перемещений:

M P l , M1C l – изгибающий и единичный моменты в конце участка z l ; l

– длина рассматриваемого участка с постоянной жесткостью при изгибе EJ x .

Значения M P для разных точек участка у нас есть – это значения на эпюре M x

Строим эпюру M1C :

Прикладываем в точке С единичную силу Р=1 в предполагаемом направлении прогиба, находим опорные реакции и строим эпюру M1C по всей длине балки. Имеются три участка, эпюры которых мы будем перемножать, с длинами :

47

Рис.8.4 Эпюра изгибающего момента от приложенной единичной силы

Получили значение линейного перемещения балки в т. С:

CP 0.139 м – очень большое значение. Такая величина прогиба связана с большими значениями внешних нагрузок. Положительное значение CP

показывает, что направление прогиба совпадает с направлением приложенной единичной силы.

Запишем интеграл Максвелла-Мора для нахождения угловых перемещений:

Строим эпюру M1 . Для этого прикладываем в точку С единичный момент в направлении предполагаемого поворота сечения, находим опорные реакции:

48

Задача 9

2.Из расчета на прочность определить допускаемое значение внешней нагрузки q.

3.Для опасного сечения балки при q=[q] построить эпюру нормальных напряжений.

4.При внешней нагрузке, равной допускаемой, найти линейное и угловое перемещение выбранного сечения балки.

Материал стержней принять из Задачи 8.

Рис.9.1 Исходная схема нагружения

Первым делом, необходимо найти неизвестные реакции опор A и B. Балка является статически определимой, потому что для нахождения 3 неизвестных

50