Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

3 семестр / Manchev_E_I_Posobie

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

2.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Задача 6

Для заданной статически неопределимой системы требуется выполнить расчет, используя метод сил.

1.Выбрать основную систему и вычислить коэффициенты канонического уравнения. Определить величину "лишнего" неизвестного и вычислить усилия во всех стержнях.

2.Определить усилия во всех стержнях, если длина одного из стержней (выбрать самостоятельно) больше указанного на схеме на величину . Расчет выполнить в предположении, что внешние нагрузки отсутствуют.

3.Определить усилия во всех стержнях, если температура выбранного стержня изменяется на Т (внешние нагрузки отсутствуют, ∆= 0).

4.Определить коэффициент запаса прочности конструкции при одновременном действии силы, наличии монтажного зазора и изменении температуры.

Указание:

Материал стержней – сталь 3, модуль упругости которой Е= 200 ГПа, предел

текучести

расширения

240 МПа ,
12.5 10	6	1

температурный коэффициент линейного

град	.

Рис.6.1 Исходная схема нагружения

Исходные данные:

	a, м	l1, м	F, 10-4 м2	P, кН	∆, мм	Т , о С
	1	2	10	10	0.3	– 40

Система является статически неопределимой. Необходимо найти 4 неизвестных (3 усилия в стержнях и опорная реакция С). Воспользуемся методом сил.

Выбрать основную систему и вычислить коэффициенты канонического уравнения. Определить величину "лишнего" неизвестного и вычислить усилия во всех стержнях.

Выбирая основную систему, необходимо обозначить лишнее неизвестное как Х1 и направить его произвольно.

Рис.6.2 Основная система

NB! «Лишней» можно считать одну из 4 неизвестных: либо одно из 3-х усилий, возникающих в стержне, либо опорную реакцию. При составлении уравнений статики горизонтальная реакция опоры (СХ) тождественно будет равна нулю, поэтому будем считать «лишним» неизвестное усилие, например, в стержне 2.

Убираем жестко заделанный шарнир и заменяем его опорой, которая не ограничивает вертикальные перемещения (потому что рассматриваем случай растяжения-сжатия) и добавляем неизвестное усилие Х1 для того, чтобы система оставалась в равновесии.

Для коэффициентов канонического уравнения необходимо рассмотреть 2 схемы нагружения:

1)с приложенным (в стрежне с «лишним» неизвестным) единичным усилием

X1 1

2)с внешней нагрузкой.

Каноническое уравнение метода сил при одном неизвестном:

где

–

усилием

	11	X	1		0
	11		1	1P

это единичные перемещения вызванные приложенным единичным X1 1, определяемые по формуле:

	m	N	(1)	2

			k
11				lk
		EF
	k 1

1P – перемещения, вызванные внешними нагрузками (грузовые перемещения), определяемые по формуле:

	m	N	(1)	N	( P)	l
	m		(1)		( P)
			k		k
			k		k
1P			EF			k
	k 1		EF
	k 1

где m – это число участков (стержней), lk – длина соответствующего участка (стержня), Nk(1) – это усилия в стержнях, вызванные приложенным единичным усилием, Nk( P) – это усилия в стержнях, вызванные внешними нагрузками. Для случая 1) схема нагружения примет вид:

Рис.6.3 Система с приложенным единичным усилием										X1	1
Составляя 2 уравнения статики, находим усилия в стержнях 1 и 3:											(1)	,
											N1	,
	Y 0 : X		N	(1)	N	(1)	0
				(1)		(1)
		1	1			3
	momC 0 : N			(1)	(a l ) X				l 0
	momC 0 : N				(a l ) X			1	l 0
			1				1	1	1

	N	(1)
	N	3
		3

Получили:

N	(1)	2	Н;	N	(1)	X		1 Н;	N	(1)	1	Н;
	(1)				(1)					(1)
1		3			2		1			3	3
		3									3

Подставляем в формулу для нахождения единичных перемещений:

	m 3	N	(1)	2			N	(1)	2	N	(1)	2	N	(1)	2
			(1)	2				(1)	2		(1)	2		(1)	2
			k				1				2			3
			k		l		1		l		2	a		3	l	1.056 10	8	м
11					l	k			l			a			l	1.056 10		м
11		EF				k	EF		1	EF			EF		1
	k 1	EF					EF			EF			EF
	k 1

Для случая 2) схема нагружения примет вид:

Рис.6.4 Система под действием только внешних нагрузок Составляя 2 уравнения статики, находим усилия в стержнях 1 и 3: N1( P) , N3( P)



Y 0 : N	( P)	N	( P)	q (a l ) 0
	( P)		( P)
1			3	1
momC 0 : N			( P)	(a l ) q (a l )		(a l )		0
momC 0 : N				(a l ) q (a l )		1	2	0
		1		1	1		2
		1		1	1

Получили:

N	( P)	15 10	3	Н;	N	( P)	0 Н;	N	( P)	15	10	3	Н;
						2			3
1

Подставляем в формулу для нахождения грузовых перемещений:

	m 3	N	(1)	N	( P)	l		N	(1)	N		( P)	l			N	(1)	N	( P)	a		N	(1)	N	( P)	l	1.5 10		м
	m 3		(1)		( P)				(1)			( P)					(1)		( P)				(1)		( P)
			k		k			1			1						2		2				3		3			4
			k		k			1			1						2		2				3		3			4
1P			EF				k		EF					1			EF						EF			1
	k 1		EF						EF								EF						EF
	k 1
Находим неизвестное усилие Х1:
																					4
										X					1P	1.421 10					4
										X	1					1.421 10
											1

															11

Окончательные значения усилий в каждых стержнях определяются по формуле:

			Nk			Nk				n 1
			Nk			Nk				Nk X k
			( z )				( P)					(1)
										k
где, n – это число «лишних» неизвестных
N		( z )	N		( P)		N		(1)	X			3	Н
N			N				N			X	1	5.526 10		Н
1			1				1				1
N		( z )	N		( P)		N		(1)	X		1.421 10	4	Н
N		2	N		2		N		2	X	1	1.421 10		Н
		2			2				2		1
N		( z )	N		( P)		N		(1)	X		1.026 10	4	Н
N	3		N	3			N	3		X	1	1.026 10		Н
	3			3				3			1

Проведем деформационную проверку. Перемещения, усилием, должны в сумме давать 0:

m 3

( z )

(1)

k 1

m 3

N ( z ) N (1)

N ( z )

N (1)

k k

1 1

k 1

вызываемые каждым

N ( z ) N (1)
3 3	l	0
	l	0
EF	1
EF

Проверка выполнена.

Определить усилия во всех стержнях, если длина одного из стержней (выбрать самостоятельно) больше указанного на схеме на величину .

Расчет выполнить в предположении, что внешние нагрузки отсутствуют.

Положим, что стержень 1 удлинился на величину . Лишнее неизвестное определим по формуле:

	X	(m)
		(m)
11		1

Усилия, которые возникают, при изменении длины какого-либо стержня, без приложения нагрузок, называются монтажными усилиями. 11 уже найдено,

0.3 мм (по условию).

X	(m)		2.842 10	4
	(m)			4
	1
	1

		11

Окончательно монтажные усилия найдем по формуле:

N			( zm)		N		(1)		X		(m)		1.895 10	4		Н
											1
		1					1
N	( zm)			N		(1)		X		(m)		2.824 10			4	Н
	2					2				1

N			( zm)		N		(1)		X		(m)			3		Н
		3					3				1		9.476 10

Деформационная проверка в этом случае будет выглядеть так:

m 3

( zm)

(1)

(m)

k 1

m 3

( zm)

(1)

( zm)

(1)

( zm)

(1)

( zm)

(1)

3 10

(m)

k 1

Проверка выполнена.

Определить усилия во стержня изменяется на

всех стержнях, еслиТ (внешние нагрузки

температура выбранного отсутствуют, ∆= 0)

Положим, что 1 стержень испытывает температурную нагрузку Каноническое уравнение при температурной деформации:

Т 40	о	С

	X	(T )		0
		(T )
11		1	T

Перемещения, вызываемые изменением температуры стержня, определяются по формуле:

		m	Tl N
				(1)
	T			k k
		k 1
m 1
T Tl1N1(1)				6.667 10 4 м

k 1

X	(T )		T	6.316	10	4

	1


		11

Окончательно температурные усилия найдем по формуле:

N	( zT )	N	(1)		X	(T )	4.211 10	4	Н
						1
1		1
N ( zT ) N (1)				X (T )			6.316 104		Н
2		2			1
N	( zT )	N	(1)		X	(T )	2.105 104		Н
3		3				1

Деформационная проверка заключается в том, что усилия, которые возникают во всех стержнях, должны вызвать перемещение, которое компенсирует перемещение, вызванное температурным изменением в стержне 1.

N1( zT ) N1(1)	l	N2( zT ) N2(1)	a	N3( zT ) N3(1)	l 6.667 10 4	м

EF	1	EF		EF	1

Проверка выполнена.

Определить коэффициент запаса прочности конструкции при одновременном действии силы, наличии монтажного зазора и изменении температуры.

Коэффициент запаса прочности показывает, во сколько раз максимальные напряжения отличаются от допускаемых.

Напряжения, возникающие при одновременном действии силы, наличии монтажного зазора и изменении температуры, принимают максимальное значение во втором стержне, значит:

( z )

( zm)

( zT )

105.8

Па

Определим значение коэффициента запаса прочности, который должен быть больше 1 для выполнения условия прочности:

240 106	2.268
105.8 106

Запас прочности присутствует.

Задача 7

Для увеличения прочности и жёсткости фермы к ней добавлен стержень (на расчетной схеме к Задаче 4 показан пунктиром). Используя метод сил, выполнить расчет фермы в следующей последовательности.

1. Для выбранного варианта основной системы вычислить коэффициенты канонического уравнения.

2. Определить величину "лишнего" неизвестного и вычислить усилия в стержнях фермы.

3. Выполнить статическую и деформационную проверки. Погрешность не должна превышать 3%.

4. Из расчета на прочность подобрать размер поперечного сечения стержней в форме квадрата. Материал – сталь 40, 160 МПа .

Результаты вычислений (единичные и грузовые усилия в стержнях, их произведения по отдельным стержням и т.д.) представить в виде таблицы.

Рис.7.1 Исходная схема нагружения

Для коэффициентов канонического уравнения необходимо рассмотреть 2 схемы нагружения:

1) с приложенным (в стрежне с «лишним» неизвестным) единичным усилием

X1 1

2) с внешней нагрузкой.

Каноническое уравнение метода сил при одном неизвестном:

11 X1 1P 0

где

–

усилием

это единичные перемещения вызванные приложенным единичным X1 1, определяемые по формуле:

		m	N	(1)	2
				(1)	2
				k
	11			k	lk
	11		EF		lk
		k 1	EF
		k 1
1P	– перемещения, вызванные внешними
перемещения), определяемые по формуле:

нагрузками (грузовые

	m	N	(1)	N	( P)	l
	m		(1)		( P)
			k		k
			k		k
1P			EF			k
	k 1		EF
	k 1

где m – это число участков (стержней), lk – длина соответствующего участка

(стержня),		(1)		– это усилия в стержнях, вызванные приложенным единичным
		Nk
усилием,		( P)	– это усилия в стержнях, вызванные внешними нагрузками.
	Nk

Для случая 1) схема нагружения примет вид:

Рис.7.2 Схема нагружения с приложенным единичных усилием

Необходимо составить уравнения статики для нахождения опорных реакций, а после – уравнения статики для каждого узла.

k	N	(1)
		k

1	0
2	-0.666
3	1.178
4	-0.235
5	0.942
6	0.333
7	-0.707
8	1.650
9	-2.333
10	0
11	0
12	0
13	0
14	-1.178
15	0
16	0
17	0
18	1

Подставляем в формулу для нахождения единичных перемещений:

m 18	Nk(1) 2	8	м
11	lk 3.691 10		м
k 1	EF

Для случая 2) схема нагружения примет вид:

Рис.7.3 Система, нагруженная только внешними силами

Уравнения статики для каждого узла уже составлены в Задаче 4:

k	N	( P)		10	3	H
k	N	k		10		H
		k
1				0
2			-301.7
3			-106.7
4			213.3
5			106.7
6			-301.7
7				0
8			106.7
9			-150.8
10			320
11			320
12			-357.8
13				0
14			-53.33
15				0
16			160
17				0
18				0

Подставляем в формулу для нахождения грузовых перемещений:

m 18

(1)

( P)

1.76

k 1

Находим неизвестное усилие Х1:

46696

Окончательные значения усилий в каждых стержнях определяются по формуле:

Nk	Nk	n 1	X k
Nk	Nk	Nk	X k
( z )	( P)	(1)
		k

где, n – это число «лишних» неизвестных

Проведем деформационную проверку. Перемещения, вызываемые каждым усилием, должны в сумме давать 0:

m 18	N ( z ) N (1)
k	k	k	lk 0.00000005067 0
		EF
k 1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 3 семестр

#
16.05.20242.41 Mб24Manchev_E_I_Posobie.pdf
#
16.05.2024687.86 Кб1Данные к задачам для расчеток.pdf
#
16.05.20244.24 Mб1Долгов Р ТФ-14-20 РЗ.pdf
#
16.05.20241.12 Mб1Задачи для расчеток.pdf
#
16.05.202416.87 Кб1Темы лекций и практик.docx