2. Контрольные вопросы к разделу 1

1. Как классифицируются методы оптимизации?

2. Что такое линейное и нелинейное программирование?

3. Дайте математическую формулировку задачи линейного программирования. Что можно сказать о ее решении, если известно, что область допустимых решений не замкнута (не ограничена)?

4. Что такое динамическая оптимизация?

5. В чем состоят отличия в формулировках оптимизационных задач в математике и технике?

6. Что такое математическая модель технического устройства?

7. Дайте математическую формулировку задачи оптимизации параметров парогенератора.

8. Что входит в состав математической модели парогенератора? Каков возможный порядок (алгоритм) решения задачи?

9. Что относиться к задаваемым, рассчитываемым, оптимизируемым параметрам в задаче конструирования парогенератора?

10. В чем заключаются особенности оптимизационных задач ядерной энергетики?

11. Что такое точка локального минимума?

12. В чем заключается важное свойство градиента целевой функции?

2. Классические методы поиска экстремума

Известно, что в точках экстремума частные производные исследуемой функции по всем независимым ее параметрам равны нулю. Таким образом, классические методы оптимизации, использующие это положение опираются на аппарат дифференциального исчисления. Несмотря на большое разнообразие численных методов оптимизации, реализуемых на ЭВМ, классические методы являются актуальными при решении инженерных задач.

1. Безусловный экстремум

Пусть требуется найти точки экстремума (максимум или минимум) функции заданной на всем пространстве без ограничений. Поскольку ограничения на переменные x₁,x₂,…,x_n отсутствуют, искомый экстремум называют безусловным. Точка экстремума определяется решение системы уравнений, полученных приравниванием к нулю частных производных от целевой функции по переменным x₁,x₂,…,x_n:

, j=1, 2, … n (2.1)

Точки, являющиеся решением системы (2.1), называют стационарными точками.

Рассмотрим функцию, представленную на рисунке 1.1. Видно, что в точках x₁ и x₃ производная (градиент функции) равна нулю.

Следовательно, x₁ и x₃ будут решениями уравнения

. (2.2)

Точка x₂ в которой достигается локальный максимум, и точка x₄, в которой происходит горизонтальный перегиб функции также удовлетворяют уравнению (2.2). Из этого можно сделать вывод, что уравнение (2.2), а в общем случае система уравнений (2.1) является только необходимым условием экстремума, но не является достаточным.

Достаточным условием экстремума будет являться наличие второй производной, причем для точки максимума она должна быть отрицательной, а для точки минимума положительной (см. рис. 1.1).

Следует отметить, что в реальных задачах факт нахождения в стационарной точке максимума или минимума целевой функции обычно устанавливается на основе физических представлений без вычисления вторых производных.

Особенности поиска безусловного экстремума:

а) Целевая функция должна иметь непрерывные частные производные до второго порядка, что на практике выполняется далеко не всегда. Кроме того, вычисление частных производных может оказаться весьма трудоемкой операцией.

б) Система уравнений (2.1), используемая для определения стационарных точек, как правило, бывает нелинейной. Решения такой системы получаются приближенными методами, а это в свою очередь является самостоятельной и сложной проблемой. Поэтому для решения задачи безусловного экстремума разработаны так называемые прямые приближенные численные методы (см. §3).

в) Параметры в рассматриваемой задаче должны быть независимыми.

г) Методом может быть определенно положение стационарной точки типа «седла» ( рис. 1.2), которая не является решением задачи, как и точки максимума в задаче минимизации целевой функции.

д) В большинстве задач теплоэнергетики на параметры , накладываются ограничения, и точка, соответствующая оптимальному решению, находится на границе области допустимых решений, что делает невозможным применение рассмотренных условий экстремума.