2. Простая оптимизационная задача

Пусть требуется оценить возможно с большей точностью оптимальные значения скорости теплоносителя w и внутреннего диаметра труб поверхности нагрева d для горизонтального парогенератора с водным теплоносителем и кипением рабочего тела на погруженной в него теплопередающей поверхности. Критерием оптимальности является минимум годовых расчетных затрат на парогенератор З_ПГ.

Для данной задачи задаются следующие параметры (внешние):

• паропроизводительность и температура генерируемого пара (температура насыщения);

• расход теплоносителя G и его параметры - среднее давление р и температуры на входе t₁ и на выходе t₂;

• стоимостные показатели (см. далее).

Тепловая мощность парогенератора рассчитывается по формуле

, (1.28)

где C_P=C_P(P,t₁,t₂) - средняя теплоемкость теплоносителя, определяемая его параметрами; _t - коэффициент, учитывающий тепловые потери. Сформулируем дополнительные условия для рассматриваемого примера.

1. Материал труб поверхности нагрева выбран (задан).

2. Стоимость парогенератора (капиталовложения) пропорциональна величине теплообменной поверхности F , т.е.

k_ПГ=С_удF, (1.29)

где С_уд, руб./м² - удельная стоимость парогенератора.

3. Величина F определяется уравнением теплопередачи

, (1.30)

в котором k - коэффициент теплопередачи:

(1.31)

₁ и ₂ - соответственно коэффициенты теплоотдачи со стороны теплоносителя и рабочего тела; _ст- толщина стенки труб; _ст -коэффициент теплопроводности материала труб при расчетной температуре t_p(см. далее); R - суммарное термическое сопротивление окисных пленок и отложений, если они имеются (заданная величина). В этом случае по формуле (1.30) будет рассчитана площадь теплообменной поверхности по среднему диаметру труб

, (1.32)

где l - длина труб; n - число параллельно включенных труб, по которым циркулирует теплоноситель; - среднелогарифмический температурный напор.

4. Для расчета коэффициентов теплоотдачи в (1.31) выбираем формулу М.А.Михеева

(1.33)

где , , Pr- теплопроводность, кинематическая вязкость и число Прандтля для теплоносителя, определяемые по заданным его параметрам, и формулу ЦКТИ

, (1.34)

где q - плотность теплового потока.

5. Эксплуатационные затраты определятся лишь стоимостью электроэнергии, потребляемой насосами для прокачки теплоносителя через парогенератор. Мощность насосов определяется уравнениями гидродинамического расчета

; (1.35)

здесь P - гидравлическое сопротивление парогенератора по стороне первичного теплоносителя; _н - коэффициент полезного действия насоса (включая КПД привода насоса); _тр - коэффициент сопротивления трения материала труб; _м - сумма коэффициентов местных сопротивлений;  -плотность теплоносителя.

С учетом (1.32), используя уравнение сплошности потока , для среднего значения длины трубы получим

(1.36)

Запишем уравнение для критерия оптимальности (целевой функции)

, (1.37)

где (Е_н+ Е_к) - сумма коэффициентов отчислений от капиталовложений в парогенератор; з^э - удельные замыкающие затраты на электроэнергию; _уст - число часов работы парогенератора в год.

Используя уравнения (1.28) - (1.36), можно получить зависимость целевой функции от оптимизируемых параметров в явном виде - см. (1.38) далее.

Таким образом в математическую модель рассматриваемой оптимизационной задачи войдут следующие математические отношения:

1. Уравнение для целевой функции:

. (1.38)

2. Формулы для расчета коэффициентов:

; ; .

3) Имея в виду, что q=kt_лог получим итерационную формулу для определения удельной плотности теплового потока, значение которой используется в (1.33):

. (1.39)

4) Параметры _тр, _ст, _ст в (1.38) не включены в значения коэффициентов, потому что они зависят от оптимизируемых параметров. Их начальное значение может быть задано, а затем уточнено после нахождения w^опт и d^опт с использованием, например, следующих зависимостей: , где Ш - шероховатость стенок, зависящая от выбранного материала; , где t_опт, P_опт- температура и давление теплоносителя, входящие в выбранную расчетную формулу и используемые для определения допускаемого напряжения металла труб; принимается ближайшее большее значение _ст, с которым промышленность выпускает трубы данного диаметра d; _ст=_ст(t_p), где t_p - температура для определения среднего значения коэффициента теплопроводности металла труб; может быть рассчитана по формуле

, (1.40)

в которой используются заданные параметры, а также результаты расчета w, d и q.

5) Уравнения (1.38) и (1.39) могут быть использованы для безусловной оптимизации. Однако здесь всегда присутствуют ограничения

d_mind; (1.41а)

w_minww_max. (1.41б)

Если полученные значения d^опт и w^опт не удовлетворяют условиям (1.40), то очевидно следует принять в качестве оптимального их граничные значения.

Возможны уточнения d^опт и w^опт в связи с ограничениями на другие (рассчитываемые) параметры парогенератора, в том числе не вошедшие в рассматриваемую модель: например, диаметр корпуса и длина труб l не должны превосходить своего максимального значения (для l - максимальной длины труб, выпускаемых промышленностью).

Отметим еще одну особенность данной задачи. Вообще говоря, диаметр d является дискретно изменяющимся параметром: его значения должны соответствовать диаметрам труб, выпускаемых промышленностью, так же, как и толщина стенки _ст.

Это обстоятельство необходимо учесть при выборе численного метода решения задачи.