2. Метод случайного поиска

При использовании перебора вариантов на равномерной сетке число вариантов может быть велико при сравнительно небольшом числе оптимизируемых параметров, но при значительных (по сравнению с требуемой точностью) диапазонах их изменения. Так, при n=5 M=100 (диапазон изменения каждого параметра равен 1, а требуемая точность 0,01) число вариантов равно 101⁵=10510100501.В этом случае актуальной становится задача уменьшения области поиска.

При решении, например, задачи с большим числом экстремумов также может оказаться полезным уменьшение объема допустимой области. Достичь желаемого можно следующим образом.

Рассмотрим задачу (1.1). Для простоты, как и в §4.4.1, предположим, что допустимая область - единичный гиперкуб, т.е. . Зададим в этой области набор случайных точек , каждая координата такой точки представляет собой выборку из множества случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке [0;1]. Вычислим значение целевой функции в каждой точке и выберем точку, в которой значение целевой функции наименьшее.

Оценка достоверности результата производится следующим образом.

В качестве константы точности  задается объем гиперкуба, со­держащего точку с наименьшим значением целевой функции из N рассчитанных. Вероятность р того, что найденная точка попадет в заданный объем, определяется по формуле:

. (4.7)

Таким образом, рассмотренный метод гарантирует определение точек минимума лишь с некоторой вероятностью p. Однако следует отметить, что величина p зависит только от заданной точности  и числа точек N.

В табл. 4.1 указана зависимость числа случайных точек N от вероятности p и заданной точности . Из нее видно, например, что при N=44 вероятность достижения точности =0,1 составит 99 %.

Независимость p от размерности задачи кажущаяся. Действительно пусть задана точность (одна и та же) определения каждого из n параметров, равная ε_х. Тогда требуемый объем гиперкуба, в который должна попасть искомая точка ε_х=ε_х^k. Заметим, что метод случайного поиска применяется для оценки ситуации, а не для отыскания точного решения. Преимущество этого метода по сравнению с перебором вариантов на равномерной сетке - меньший объем вычислений - не будет достигнуто, если одновременно задать высокую точность (малое ε_х) и высокую достоверность результата (вероятность p).

Таблица 4.1.

Точность εх	Вероятность p
	0,80	0,90	0,95	0,99
0,1	16	22	29	44
0,05	32	25	59	90
0,01	161	230	299	459
0,005	322	460	598	919

Построение набора случайных точек проводится посредством использования подпрограмм генерации случайных чисел, имеющихся в математическом обеспечении ЭВМ.

Метод является универсальным, так как на функцию налагается только условие непрерывности. Поэтому он может применяться для поиска глобального экстремума в многоэкстремальных задачах.

Ввиду того, что метод является трудоемким и гарантирует результат лишь с некоторой вероятностью, его часто применяют на начальном этапе поиска экстремума, а последующее уточнение решения проводят другими методами (градиента, покоординатного спуска и др.).