1. Постановка задач оптимизации

Все задачи оптимизации делятся на два больших класса: 1) задачи математического программирования и 2) задачи оптимального управления. Задачи математического программирования также называют статическими задачами, а задачи оптимального управления – динамическими задачами. Основное различие между этими классами задач состоит в том, что в задаче математического программирования необходимо найти оптимальное число (в общем случае вектор), а в задаче оптимального управления – оптимальную функцию.

1. Задача математического программирования

В общем случае задача математического программирования состоит в нахождении вектора в n –мерном пространстве, при котором достигается наименьшее или наибольшее значение непрерывной скалярной функции , при условии, что из области допустимых значений данной функции.

Математическая формулировка этой задачи такова:

(1.1)

При выполнении системы неравенств и уравнений:

f_i(х₁,х₂,…,х_n)0, i = ; (1.2а)

g_k(х₁,х₂,…,х_n)0, k = . (1.2б)

Функцию Z в таких задачах называют целевой функцией, а систему неравенств и уравнений (1.2) - условиями ограничений; последние ограничивают допустимую область изменения значений вектора т.е. область допустимых решений, а - оптимальным решением.

Задача об отыскании точки максимума функции Z сводится к задаче отыскания точки минимума функции .

Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только задачу минимизации.

Задачи математического программирования относят к задачам статической оптимизации. Это значит, что значения целевой функции определяются значениями параметров х₁, х₂, …, х_n, не зависящих от времени.

Методы решения задач математического программирования существенно зависят от конкретного вида функций , , в (1.1) и (1.2). В связи с этим возможна следующая классификация задач.

По наличию ограничений:

-задачи условной минимизации;

-задачи безусловной минимизации.

Задача (1.1), (1.2) называется задачей условной минимизации.

Если же в постановке задачи условия ограничений (1.2) отсутствуют, то говорят о задаче безусловной минимизации.

По виду целевой функции и ограничений:

-линейные задачи;

-нелинейные задачи

Если в условиях задачи (1.1), (1.2) все функции Z , , линейны относительно переменных х₁, х₂, …,х_n то получаем задачу линейного, программирования.

Одним из наиболее распространенных методов решения таких задач является симплекс-метод [1].

Если же в условиях (1.1), (1.2) хотя бы одна из функций нелинейная, имеем задачу нелинейного программирования. Частным случаем таких задач является задача квадратичного программирования, когда целевая функция имеет квадратичный вид, допустимая область определяется системой линейных равенств и неравенств. Для решения таких задач разработаны методы, некоторые из которых базируются на идее симплекс-метода [2].

Как правило, в задачах оптимизации теплоэнергетического оборудования (например, параметров парогенераторов) или теплоэнергетических установок (например, технологической схемы АЭС) целевая функция и система ограничений имеют существенно нелинейный вид. Таким образом, упомянутые задачи являются задачами нелинейного программирования. Некоторые методы решения таких задач рассмотрены в последующих разделах.