7. Контрольные вопросы к разделу 3

1. Какая функция называется выпуклой?

2.Какими свойствами должна обладать целевая функция, для определения точки минимума которой можно было бы применить градиентный метод?

3. Какие способы выбора шага в градиентном методе вы знаете?

4. В чем заключаются достоинства выбора относительного шага спуска в градиентном методе по неравенству, следующему из свойств выпуклости целевой функции?

5. Кратко опишите, в чем заключается метод наискорейшего спуска.

6. Назовите основные достоинства метода покоординатного спуска.

7. Сколько раз должна вычисляться целевая функция на этапе исследовательского поиска метода поиска по образцу при числе оптимизируемых переменных, равном n?

8. Какие свойства решения оптимизационной задачи линейного программирования используются в симплексном методе нелинейного программирования?

9. Как определить направление спуска к точке минимума в симплексном методе?

10. Сколько раз вычисляется значение целевой функции на одном шаге в методе поиска по симплексу?

11. Что такое регулярный (правильный) симплекс?

12. С какой целью можно использовать методы одномерной минимизации в многомерных задачах оптимизации? Какие методы оптимизации здесь имеются в виду?

4. Численные методы минимизации в задачах с ограничениями

1. Общая характеристика методов

Как уже отмечалось (см. §1.4), в постановку задач оптимизации управляемых параметров технического устройства входит математическая модель устройства (совокупность уравнений – см. 1.9), а также ограничения в виде равенств и неравенств на управляемые и рассчитываемые по уравнениям математической модели параметры (см.1.10, 1.11).

Алгоритм учета ограничений в общем случае может быть следующим:

1. Задаются значения для всех внешних параметров.

2. Задаются структурные параметры , иначе говоря задается система уравнений (1.9), соответствующая структуре исследуемого объекта.

3. Задаются значения управляемых параметров с учетом (1.10). Если точка не является начальной, то задание ее координат может рассчитываться в соответствии с выбранным методом оптимизации и способом учета ограничений.

4. Решается система уравнений математической модели (1.9). Если в процессе решения какой –либо из рассчитываемых параметров вышел за установленные для него пределы, то следует вернуться к шагу 3 и изменять значения одного или нескольких управляемых параметров. Как изменить эти значения, ответ на этот вопрос дают известные взаимосвязи параметров решаемой задачи. Так при оптимизации скорости и диаметра труб в парогенераторе в случае превышения расчетного значения диаметра корпуса за установленное максимальное значение следует увеличить скорость теплоносителя. При превышении установочной максимальной длины теплообменных труб скорость теплоносителя должна быть уменьшена. В ряде случаев может помочь изменение диаметра труб или изменение ограничений на рассчитываемые параметры, если таковые не противоречат технологии изготовления объекта или иным соображениям. После этого решение системы (1.9) начинается снова.

5. Рассчитываются критерии оптимальности.

6. Если условие окончания поиска точки минимума не выполняется, то возвращение к шагу 3, иначе окончание вычислений и вывод результатов.

В ряде случаев при разработке математической модели (1.9) или при выполнении предварительных вычислений, описанных в шаге 4, возможно ограничения (1.11) учесть с помощью дополнительных простых неравенств (1.10) или ограничений в виде уравнений. Примером такого уравнения является условие, используемое в примере в §3.6 на с.63 и означающее, что проходное сечение теплоносителя в межтрубном пространстве теплообменника не может быть меньше некоторого значения, определяемого наиболее тесным расположением труб в корпусе аппарата.

На основе сказанного будем полагать, что постановка задачи оптимизации параметров технического устройства включает в себя уравнения математической модели, решение которых необходимо только для расчета значений целевой функции, математическое выражение для которой также задано. Кроме того, заданы ограничения только для оптимизируемых параметров. В этом случае можно воспользоваться методами, включенными в §4.2 и §4.3. Если же в постановке задачи есть ограничения по рассчитываемым параметрам, то могут помочь в решении задачи методы, включенные в §4.4 или другие, которые можно найти в математических пособиях.