Метод поиска по образцу (или метод Хука-Дживса)
Метод является модифицированным вариантом метода покоординатного спуска. Основная идея модификации - исключить из метода одномерную минимизацию. Другая идея заключается в использовании результата покоординатного спуска на следующем шаге (этапе) решения задачи. Итогом явился метод поиска по образцу, состоящий из 2-х этапов.
Первый
этап - исследовательский поиск в
окрестности базовой точки. В начале
решения задачи в качестве базовой
используется начальная точка
.
Алгоритм
исследовательского поиска может быть
следующим:
1.
Задаются координаты начальной точки
приращения для каждого из оптимизируемых
параметров (Δxj,
j=1,2,…,n),
коэффициент для уменьшения заданных
приращений (0<α<1), точность определения
координаты точки минимума (εх).
2. Определяются координаты очередной базовой точки посредством вычислений целевой функции при заданных приращениях аргументов
2.1
2.2
Если
то
и если j≤n,
то к шагу 2.2.
Иначе,
если
,
то
и
если j≤n,
то к шагу 2.2, иначе
и если j≤n,
то к шагу 2.2.
Вычисления и сравнения значений целевой функции начинаются с параметра, пронумерованного первым j=1. Как только для этого параметра установлено новое значение, сразу реализуется переход к следующему параметру с номером j+1.
2.3
Если
<εx,
то переходим к поиску по образцу.
2.4
Если
,
то
для j=1,2,...,n
и к шагу 2.1.
В результате исследовательского поиска определяется направление спуска:
.
Важно помнить, что число вычислений целевой функции на этом этапе не должно быть больше, чем 2n (не считается значение функции в базовой k-ой точке).
Второй этап - поиск по образцу реализуется по формуле:
.
Варианты реализации этого этапа:
-
h=1:
если
,
то k=k+2,
иначе k=k+1
и переходим к этапу исследовательского
поиска;
- h=1,2,....,L, где L - заранее заданное целое число. Параметр h принимает очередное значение при условии убывания целевой функции:
;
.
Если неравенство не выполняется, то k=k+h и переходим к исследовательскому поиску.
Пример
Методом поиска по образцу определить высоту Н и радиус R цилиндрического реактора без отражателя объемом V=20 м3, при которых утечка нейтронов будет минимальной.
Целевой функцией в этой задаче будет геометрический параметр реактора:
,
где 2,405 – первый корень функции Бесселя нулевого порядка первого рода.
Ограничения
в этой задаче заданы равенством:
.
При учете ограничений с помощью квадратичных внешних штрафных функций ("барьер" нужно ставить по обе стороны от линии, описываемой функцией ограничения) выражение для новой целевой функции будет иметь вид:
.
При решении задачи методом поиска по образцу (методом Хука-Дживса) нужно задать начальные значения для трех параметров:
1. r=1 - скалярный параметр, применяющийся при учете ограничений методами штрафных функций;
2.
ε= 0,25 - точность определения координат
точки минимума функции
3. ΔR=ΔH=1 - начальный шаг изменения каждой из двух координат.
Выберем
координаты начальной точки
.
В
начальной точке:
.
Начинаем исследовательский поиск:
.
.
.
.
Остаемся в той же начальной точке и начинаем новый исследовательский поиск, уменьшив шаг ΔR=ΔH=0,5.
.
.
.
.
Осуществляем шаг поиска по образцу:
.
Начинаем новый исследовательский поиск из точки (2; 1,5) с шагом ΔR=ΔH=0,5.
.
.
.
.
Остаемся в той же точке, уменьшаем шаг (ΔR=ΔH=0,25) и опять начинаем исследовательский поиск, но так как достигнута точность ε= 0,25, то увеличиваем параметр r=100.
.
.
.
.
.
Так как во всех направлениях функция опять возрастает, то делаем очередное уменьшение шага и осуществляем новый исследовательский поиск при ΔR=ΔH=0,125, r=100.
.
.
.
Осуществляем поиск по образцу (H+2ΔH):
.
С точностью ε= 0,125 точка минимума R=2, H=1,625.