3. Контрольные вопросы к разделу 2

1. На какой математический аппарат опираются классические методы оптимизации?

2. Какое условие является необходимым для наличия экстремума в заданной точке?

3. Какое условие является достаточным для наличия экстремума в заданной точке?

4. Дайте математическую формулировку задачи по определению безусловного экстремума?

5. Дайте математическую формулировку классической задачи об условном экстремуме.

6. Какие методы решения классической задачи об условном экстремуме вы знаете?

7. В чем заключается метод неопределенных множителей Лагранжа?

8. В чем заключаются особенности практической реализации рассмотренных классических методов?

9. В чем заключается основная проблема решения задачи оптимизации классическим методом при задании ограничений в виде нескольких неравенств (если не применять метод множителей Лагранжа)?

10. Какой смысл может иметь множитель Лагранжа в задаче определения размеров реактора заданного объема в форме параллелепипеда?

11. Опишите особенности поверхности, расчетные точки которой приведены в таблице 2.1?

3. Численные методы безусловной минимизации

1. Основные понятия

О безусловной минимизации говорят в тех случаях, когда ограничения на переменные отсутствуют, либо являются несущественными. Последнее может быть установлено предварительным исследованием целевой функции. В этом случае поиск точки безусловного минимума называют локальным поиском.

Таким образом задача безусловной минимизации заключается в нахождении точки .

Задача безусловной минимизации: найти точку , удовлетворяющей условию .

Для успешной реализации большинства численных методов локального поиска важно, чтобы функция была выпуклой.

Напомним, что функция называется выпуклой, если для любых точек , для любого числа t (0t1) выполняется условие:

(3.1)

Если для всех из допустимой области имеет место строгое неравенство, то функция называется строго выпуклой, и на описываемой ею поверхности имеется только одна точка минимума.

Геометрически (при n=2) свойство выпуклости означает, что отрезок прямой, соединяющий любые две точки графика функции, лежит не ниже этого графика (рис. 3.1).

Рисунок 3.1

Функция называется вогнутой, если функция выпуклая.

Покажем, что функция - выпуклая.

Используя свойство модуля, получаем:

.

Таким образом, условие выпуклости выполняется.

Установление свойства выпуклости непосредственно по определению в общем виде затруднительно.

Установлено, что если функция выпуклая в допустимой области, то она имеет единственное минимальное значение, которое может достигаться в одной точке или на бесконечном множестве точек (рис. 3.2,б). Если функция строго выпуклая, минимальное значение достигается в единственной точке (рис. 3.2,а). Функция, изображенная на рисунке 3.2,в, невыпуклая, в тоже время легко показать, что она не является и вогнутой.

Рисунок 3.2

Большинство методов безусловной минимизации являются итерационными, т.е. исходя из начальной точки определяется последовательность точек по формуле

, (3.2)

где k-oe приближение к искомой точке; - вектор, задающий направление спуска; - скалярная величина, шаг.

С ростом номера k точки приближаются к искомой точке минимума.

Методы различаются способом выбора направления и распределяются по группам:

- методы нулевого порядка (не требуют вычисления производных);

- методы первого порядка (используют первую производную);

- методы второго порядка (используют первую и вторую производную).

При реализации этих методов применяют следующие критерии остановки процесса итераций при заданном числе l:

1) , если , , где l – заданное число;

2) , если , , где l>0 – малое заданное число;

3) , если ;

4) Z , если

5) .

Последнее условие применимо только для дифференцируемых функций.