2. Условный экстремум

Классические методы оптимизации могут быть применены при решении задач с ограничениями в виде равенств.

Пусть требуется найти экстремум функции в допустимой области, определяемой системой равенств:

=0, . (2.3)

Это - классическая задача об условном экстремуме.

Одним из возможных методов решения данной задачи является метод выражения части параметров. Решить задачу данным методом можно, если есть возможность аналитически разрешить систему уравнений относительно m переменных:

=0, . (m≤n) (2.4)

После подстановки решения (2.4) в исходную задачу, число оптимизируемых параметров, а соответственно и число уравнений в системе (2.1) уменьшится до (n-m).

Рассмотрим этот метод решения на следующем примере. Пусть требуется минимизировать утечку нейтронов из ядерного реактора, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда заданного объема:

V=xyz, (2.5)

где x, y, z - размеры параллелепипеда.

Утечка нейтронов пропорциональна геометрическому параметру реактора

(2.6)

Последнее уравнение - есть целевая функция данной задачи; уравнение (2.5) – ограничение. Определив из уравнения (2.5) z=V/xy и подставив это решение в (2.6), получим новую задачу с числом оптимизируемых переменных, равным двум. Значения этих переменных определяются решением системы уравнений:

, .

Решая данную систему находим . Подставляя x и y в (2.5) определяем . Видно, что решение задачи соответствует реактору -параллелепипеду с минимальной боковой поверхностью при заданном его объеме. Очевидно, что в этом случае минимальной будет и утечка нейтронов. Таким образом, найденная точка есть точка минимума.

Во многих случаях классическая задача об условном экстремуме может быть решена с использованием метода множителей Лагранжа. При применении данного метода исходная задача с ограничениями (2.3) сводится к новой задаче, целевая функция в которой имеет вид:

(2.7)

а ограничения в явном виде отсутствуют.

Число неизвестных при этом увеличивается на число m коэффициентов _i (множители Лагранжа).

Функция называется функцией Лагранжа.

Наличие в точке безусловного минимума (максимума) функции Лагранжа (при найденных значениях ) влечет за собой наличие в этой точке условного минимума (максимума) для функции при наличии ограничений (2.3).

Рассмотрим этот метод решения на примере задачи, сформулированной ранее – уравнения (2.5) и (2.6). Функция Лагранжа для данной задачи имеет вид:

, (2.8)

Неизвестные x, y, z,  определяются решением системы уравнений:

;

; (2.9)

;

.

Решая систему, находим координаты стационарной точки и значение .

Обратим внимание на смысловое значение множителя Лагранжа λ в этой задаче. Множитель имеет размерность 1/(м²·м³), и его значение можно трактовать, как возможное изменение утечки нейтронов на 1 м³. Иными словами, это цена за изменение объема реактора, выраженная изменением утечки нейтронов: это значение отрицательное при увеличении объема и положительное при его уменьшении.

Назовем особенности метода множителей Лагранжа:

а) существенным достоинством этого метода является решение уравнений ограничения совместно с уравнениями - частными производными целевой функции, приравненными нулю. Причем это решение численное, а не символьное;

б) при составлении функции Лагранжа вводятся дополнительные переменные ; таким образом, размерность задачи становится равной n+m. Однако с учетом возможностей современных ЭВМ такое увеличение размерности задачи несущественно. В работе [2] например, описанным методом определено оптимальное распределение регенеративного подогрева питательной воды между подогревателями турбоустановки;

в) введение функции Лагранжа позволяет свести задачу условной минимизации к задаче безусловной минимизации с помощью вспомогательных функций и коэффициентов (множителей) Лагранжа. Однако применять для решения новой задачи какие-либо численные методы следует с осторожностью, поскольку вспомогательные функции могут придавать поверхности, описываемой новой целевой функцией, форму типа "седла" или форму с горизонтальным перегибом.

Последнее положение подтверждается следующим простым примером.

Определить точку минимума целевой функции при ограничении х=3.

Введем функцию Лагранжа: L(x,λ)=x²+λ(3-x).

Решая систему , можно получить х=3, λ=6.

В таблице 2.1 приведены значения функции L для некоторых диапазонов изменения x и λ. По расчетным данным таблицы можно проследить особенности поверхности, описываемой целевой функцией.

Таблица 2.1.

λ	х
	1	2	3	3,1	4	5
2	5	6	9	9,41	14	21
4	9	8	9	9,21	12	17
6	13	10	9	9,01	10	13
8	17	12	9	8,81	8	9
10	21	14	9	8,61	6	5