УрМатФиз / УрМатФиз с теорией

, f = p=T p |

, T | 6 & -

& '4, 5,.

6

0 " 2.2 g = const

'4, 5,.

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-

~

grad u

E =

k x

~

-

f,x

2.1 #2, 4, 5, 10|12(.

)

*

@D + :

u @D= const:

.

*

*

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/

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,

~

@u

= x x 2 @D =

:

@n @D

k

0

D, /

* @D.

:

2 + u x

2

2

D

D

C

C D

3

4u = f x x 2 D

2:7

* @D 1

u

@D

= g x

x 2 @D:

2:8

:

2 + u x

2

2

D

1

2.7

C

C

D

D * @D /

@u + hu

!

= g x

x 2 @D:

2:10

@n

@D

22

ZZZ

ZZ

g ds +

f dv = 0:

2:11

@D

D

u x = O 0

1

1

jxj ! 1:

2:12

@jxjm 2 A

" #

D $" u = u x %

% &

4u = 0

D.

1 G x y =

1

ln

1

+ v

x y 2 IR2

2:13

2

jx yj

G x y =

1

1

+ v

x y 2 IR3

2:14

4

jx yj

/ v x | % / # $ D

$" 1

2 G x y

= 0:

2:15

y2@D

2.5. 3

$" 4 $ -

, 5

2.7 , 2.8 #

u x =

ZZZ

ZZ

@G

dSy

:

2:16

f y G x y dVy g y

@ny

D

@D

. ( $" G x y

-

2.7 , 2.9 ,

% %-

:

1

2.13 2.14 1

2 @G

=

1

2.17

L

2

@n y2@D

2

@G

+ hG

! y2@D

= 0 h

0 h 6 0:

2.18

@n

2.6.

" # $% % & % ' & % (

u x =

ZZZ

f y G x y dVy

ZZ

:

2:19

+ g y G x y dSy

D

@D

4v + v = 0

D

2:20

@v

+ v! @D= 0 j j + j j 6= 0 v x 6 0:

2:21

@n

7 8) # $% % 6 8% * . .

2.21 . )

1 vn x vn y

G x y = nX=1

:

2:22

n

2

2

4u = @x@ u2 +

@@yu2 = 0 D = x y : 0 x 0 y

2:1:1

2

u x=0= '1 y = 2 cos 2y

u x= = '2 y 0

0 y 2 !

2:1:2

@u

@u

y= =2= 2 x 0 0 x :

@y y=0= 1 x = 3 sin 2x

@y

2:1:3

.

,

x

,

y :

u

x=0= '1 y = 2 cos 2x

u

x= = '2 y 0 0 y

2 !

2:1:8

@u

@u

y= =2= 0 0 x :

@y y=0= 0

@y

2:1:9

) , *

*

uII x y,

:

u x y = uI x y + uII x y :

2:1:10

*

I 2.1.4 , 2.1.5 , 2.1.6

+. -

* 2.1.4 , -

/0

2.1.5

u x y = X x Y y 60:

2:1:11

2.1.11 2.1.4 :

X00 x Y y + X x Y 00 y = 0 ,

X00 x

= Y 00y

:

2:1:12

X x

Y y

X00 x

Y 00y

X x =

Y y = :

& ( ' % )

Y 00 y Y y = 0

2:1:13

X00 x + X X = 0:

2:1:14

2.1.11 + '

2.1.5 -

'

X0Y y = 0

X Y y = 0:

) ( . Y y 6= 0 '

+ '

X0 = 0

X = 0:

2:1:15

'

(6 %

l = ( (6 0

n = n2 n =

1 1

Xn x = sinnx n =

1 1

:

# ) 2.1.13 = n:

Yn00 y nYn y = 0:

7+ %6 .

8 ) - : %

Yn y = Aneny + Bne ny

Yn y = An shny

+ Bn chny :

-

Yn y

= An ch n y

2 !! + Bn chny :

2:1:16

@

chny

y=0= 0

@

ch

n y

2 !!!

y= =2= 0:

@y

@y

, ! "

2.1.16 $! % .

& ', ( 2.1.11

un x y = Xn x Yn y =

An ch

n y

2 !! + Bn chny ! sinnx :

) % 2.1.4 | 2.1.6

$ ' ,$'- -

"

1

nX

u x y =

un x y =

= =1 An ch

n y

=1

2:1:17

!! + Bn chny ! sinnx

1

nX

2

1 x = nX=1

Ann sh n 2 ! + Bnn 0! sinnx

2:1:18

1

2 x = nX=1

Ann 0 + Bnn sh n 2 !! sinnx :

2:1:19

1

Z sinnx sinkx dx =

nk:

2

0

0

1

0

X

Z 1 x sinkx dx = n=1 Ann sh

n 2 ! Z sinnx sinkx dx =

Ak =

2

Z 1 x sinkx dx:

2:1:20

!

k sh k 2

0

" 2.1.19 $

Bk =

2

Z

2 x sinkx dx:

2:1:21

k sh k

2 ! 0

3 sin 2x =

1

Ann sh n ! sinnx

2:1:22

X

2

n=1

1

Bnn sh n

! sinnx :

0 =

X

2:1:23

n=1

2

A2 2 sh = 3 An = 0 n 6=: 2

2:1:24

Bn = 0 n =

1 1

:

2:1:25

I

3

u

x y =

ch 2

y

2 !! sin 2x:

2:1:26

2 sh

II 2.1.7 , 2.1.8 , 2.1.9

$

%&. ' (

% $ $ 2.1.7 , -

$*+ %

, %

$

2.1.9

u x y = X x Y y :

2:1:27

2.1.27 2.1.7

% :

X x Y y + X x Y y = 0

X x = Y y

:

X x

Y y

0

1 (2$ x, c | y,

, ( . 34

5 ( :

X x = Y y = :

X x

Y y

3 *

4%( % 11 2 % $

X x X X = 0

2:1:28

Y y + Y y = 0:

2:1:29

2.1.27 % , % $ 2.1.9 :

X x Y 0 = 0

X x Y 2 ! = 0:

3 *

, % $

Y 0 = 0

Y 2 ! = 0:

2:1:30

6 7

8

|9$ 2.1.29 , 2.1.30 . :-

* *+ 7

n = 2n 2 n =

0 1

Yn y = cos 2ny

n =

:

0 1