Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5310 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Предмет:
Высшая математика
Файл:

УрМатФиз / УрМатФиз с теорией

.pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
16.05.2024
Размер:
4.39 Mб
Скачать
☆

U 1

U 1 = A cos 3x + B sin 3x:

 

2 d2U

2

U = 2p sin 3x

 

 

 

a

dx2

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a29A cos 3x 9B sin 3x

 

 

p2 Acos 3x + B sin 3x =

2p sin 3x:

 

 

 

 

 

 

 

2p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B =

 

 

 

 

A = 0:

 

 

 

 

p2 + 9a2

 

 

 

! " :

 

 

 

 

 

 

 

2p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U 1 =

 

 

 

 

sin 3x:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 + 9a2

 

 

$ %

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U 2 =

 

 

 

p

 

 

 

sin 5x:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 + 25a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'( 4.3.3 ' 4.3.1

 

 

U x p = C1 sh apx! + C2 ch ap x

2 !! +

 

+

2p

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

sin 3x +

 

 

sin 5x:

4:3:5

p2 + 9a2

p2 + 25a2

4.3.5 , - 4.3.2 , C1 = C2 = 0:

/ 0:

 

2p

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

U x p =

 

 

sin 3x +

sin 5x:

 

p2 + 9a2

p2 + 25a2

 

( ( 1 2 , ,- -1 ( 4- . . 7, ( . 7.2, . 8 :

L

1

"

p

# = cos at

 

 

 

p2 + a2

% 0 u x t :

271

4.3.2.

.

u x t = 2 cos at sin 3x + cos at sin 5x:

:3:6

- -# # $% &$' .

. ''# # -

 

 

@2u

2 @2u

 

 

 

 

@t2 = a

@x2

+ f x t

:3:7

' (# (# (# ' #

 

 

 

@u

 

@u

 

u

0 =

@x x

2= u t=0= @t t=0= 0

4:3:8

 

 

f x t = 3e

t sin x:

4:3:9

 

 

4.1.17 | 4.1.21 ! 4.3.7 | 4.3.9 ! 4.3.6 4.1.1 | 4.1.3 ,

$! ! 4.3.1.

@2u

%! $& , u x t, @x2 f x t ' ! . %-

& U x p = L)u* F x p = L)f* $! $! +! ,$ - ! ' 4.3.7 ! . 4.3.8 , $! / - 012

2 d2U

 

2

U =

 

3

sin x

4:3:10

a dx2

p

 

 

 

p + 1

! .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U x=0= 0

 

 

dU

 

 

 

 

 

dx x= 2= 0:

4:3:11

0+4 ! 12 4.3.10

 

 

U x p = C1 sh apx! + C2 ch ap x

2 !! +

+

 

3

 

1

 

sin x:

4:3:12

p + 1

 

 

p2 + a2

 

 

 

 

 

 

% 4.3.12 ! .

 

4.3.11 , C1 = C2 = 0.

272

4.3.1 4.3.2.

31

U x p = p + 1 p2 + a2 sin x:

, -! . . 7, . 7.1, . 7 $ -

 

 

% . . 7, . 7.2, . 7 . 3 :

 

 

1

1

 

t

 

 

1

1

 

 

 

1

 

 

L

 

"

 

# = e

 

 

L

 

"

 

# = a sinat :

 

 

p + 1

 

 

p2 + a2

 

' ( ) * ) 4.3.7 | 4.3.9

 

 

 

 

 

 

 

 

u x t = a3 Zt sina e

t d

 

 

 

sin x =

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

t

!

sin x

 

 

 

 

= 3 a sinat

cosat + e

 

 

:

4:3:13

 

 

 

 

1 + a2

. * ) 4.1.17 | 4.1.21 ) % *- % 4.3.6 4.3.13 .

.

1 t! sin x u x t = 3 a sinat cosat + e 1 + a2 +

+2 cos 3at sin 3x + cos 5at sin 5x:

1 ) * 2 2- ) ) $ ( ) )- , ) ) ( 4.1.1 4.1.2.

5.

3 ) 4.6

@u@t = a24u + f

4 % 4 ) 55 6 4- 4 % u t x7 , $) a2 | 855 4 ) 55 , f | 2

273

. , -

@u@t

= 0, f f = u,

 

 

 

 

 

4u + cu = 0 c =

 

:

5:1

 

a2

 

 

 

 

, -

c = 2 0, ! , , -

c = k2 0 "4, 5, 10|12&.

( ) * +) - + + 4.9

@2u

2

 

@t2

= a

4u + f x. t

u x. t | / , a | / -

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, 1 2 /-

+ , 0

u x. t = u x.e i!t

f x. t = f x.e i!t,

 

 

 

4u + k2u = f~ x. k2 = !2 f~ x. =

f x.

 

5:2

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

a2

 

k + .

 

 

 

 

4 5 / /

* .

6 + +

 

 

 

@u + u

!

@D

= g x. x. 2 @D

5:3

 

@n.

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0 | 8 , j j + j j 6= 0 |

= 0 | 6 ) ,

/ ( 2 .

 

 

 

 

9 2 / D @D

c = 2 0 1 +

1

+) : , . . 0

1 .

274

c = k2 0 k = i i | -.

5.2#, 5.3# &-' @D c = (2 0 & , ) .c = k2 0 - ) , & *4, 5, 10|12-.

& & & & e i!t#

@u

 

 

 

 

 

 

iku = o 1=pr#

 

r ! 1.

5:4#

@r

/& &

 

 

 

 

 

 

@u

iku = o 1=r#

 

r ! 1:

5:5#

@r

0 & / / .

5.1.

5.1. 1 ) 2 )& )'

2

1

 

@

 

@u

1

@2u

2

 

 

4u + k

u = r

 

 

 

r @r

! +

 

@'2

+ k

u = 0

5:1:1#

 

@r

r2

D = f r '# :

r a 0 ' =6g

& &

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

=

@u

 

 

= 0

 

 

5:1:2#

 

 

 

'=0

 

@' '= =6

 

 

 

 

 

 

u

r=a

= g '# = 2 sin 3'

 

 

5:1:3#

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k2 6= i i |

.

 

 

 

 

 

 

 

. 6 &

5.1.1#, -

& &

 

5.1.2#

 

 

 

 

 

 

 

u r '# = R r#7 '#:

 

 

5:1:4#

275

5.1.4 5.1.1

 

:

 

 

r + R r + k2R r

 

 

'

 

 

r

 

 

 

 

R r

=

' = :

 

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R r + 1r R r + k2

 

 

! R r = 0

5:1:5

 

 

r2

' + ' = 0:

5:1:6

5.1.4 # $ 5.1.2

 

0 = =6 = 0:

5:1:7

' ( ) |+$ 5.1.6 , 5.1.7

.

1 . . -. $ /

.-

1 23

/ 4 l = =6

 

 

 

 

 

n = 322n + 12 n =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5:1:8

 

 

0 1

 

 

 

 

 

n ' = sin 3 2n + 1'

jj njj2 = =12 n =

 

 

:

5:1:9

 

0 1

8 9

5.1.5 = n = 322n + 12:

 

 

1

 

k

2

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n = 0 1:

 

 

Rn r + r Rn r +

 

r2 ! Rn r = 0

5:1:10

-

4

4 x = kr: 8 # Rn r =

= Rn x=k y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

dy

dx

 

dy

d2y

 

dy

2

 

 

 

 

 

 

= dx

 

 

= dx k

 

=

 

k

:

 

 

 

dr

dr

 

dr2

dx2

 

 

 

2 :; < 4

 

5.1.10

-

=$ $2 p n = 3 2n + 1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k2 0dxd2y2

+ x1 dxdy + 1 xn2 ! y1 = 0:

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

276

y x = AnJ3 2n+1 x + BnN3 2n+1 x

Jk x | k- , Nk x | #$ k- . & ' $ $, '() 5.1.10

Rn r = AnJ3 2n+1 kr + BnN3 2n+1 kr :

- #$ Nk x ! 1 x ! 0. . - /$ ' 0 ' 0 r ! 0 ' Bn = 0: 1 , ' 0 () 5.1.10 2

 

Rn r = AnJ3 2n+1 kr

n =

0 1

:

5:1:11

3 0 5.1.4 $0:

 

 

 

 

 

 

 

un r ' = Rn r6n ' n =

 

:

 

 

0 1

 

7 ' 5.1.1 | 5.1.3

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

u r ' =

un r ' =

AnJ3 2n+1 kr sin 3 2n + 1'

5:1:12

n=0

 

n=0

 

 

 

 

 

 

, ' :

0 '

0

r, '. & :

: 0 An 0. #$-

/, 5.1.12 ' 5.1.3 :

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

g ' =

AnJ3 2n+1 ka sin 3 2n + 1' :

5:1:13

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

. ' 0 $ $g ' - $ ;0 =6= - 0/ $ 5.1.9 . /

=6

AnJ3 2n+1 ka = Z g ' sin 3 2n + 1' d': 5:1:14 12 0

7 /$ ' u r ',5.1.12 , : 0 An 0' 2 5.1.14 .

& $ ' : 0 An $, - 2 5.1.14. . 5.1.12 ' 5.1.3 '

277

2 sin 3' = AnJ3 2n+1 ka sin 3 2n + 1' :

0

sin 3' = 0 ' | .! " # !$ - !$ $, #

A0J3 ka = 2 An = 0 " n 6= 0: 5:1:15

) # 5.1.15 5.1.12 " * + # 5.1.1 | 5.1.3 .

.

u r ' = 2I3 kr sin 3': 5:1:16

I3 ka

. -* + # # . / 0 /

4u 12u = 0

5:1:17

0 ! 5.1.2 , 5.1.3 + # # 34 . 56 5.1.5 " # 7 # - #$ 0 0

R r + 1rR r 12 + r2 ! R = 0: 5:1:18 90 4 * " = n = 322n + 12 + " * #

Rn r = AnI3 2n+1 1r + BnK3 2n+1 1r

0# Ik x | : /# , Kk x | ; # /# . <-; # /# Kk x ! 1 " x ! 0: =0 ! * 56 5.1.18 3 #

Rn r = AnI3 2n+1 1r n = 0 1:

-* + # 5.1.17 , 5.1.2 , 5.1.3 # 34

#:

u r ' = 2I31r sin 3': I31a

278

279
u' '=0= u' '=2
u' '=0= u' '=2
u' '=0= u' '=2

5.1.1.

4u + k2u = 0

D = f r ' :D = f r ' : r a

1.u '=0= u '=2

2.u '=0= u' '= =4= 0

3.u '=0= u '= =3= 0

4.u' '=0= u '= =2= 0

5.u' '=0= u' '= = 0

6.u '=0= u' '= =3= 0

7.u '=0= u '= =2= 0

8.u' '=0= u '= = 0

9.u' '=0= u' '= =4= 0

10.u '=0= u '=2

11.u '=0= u' '= =2= 0

12.u '=0= u '= = 0

13.u' '=0= u '= =4= 0

14.u' '=0= u' '= =3= 0

15.u '=0= u' '= = 0

16.u '=0= u '=2

r a 0 ' 2 g 0 ' g.

u r=a= 2 sin 2':

u r=a= 5 sin 2': u r=a= 3 sin 6': u r=a= 2 cos 3': u r=a= 3 cos 2':

u r=a= 3 sin 3'=2 : u r=a= 3 sin 4':

u r=a= 2 cos '=2 : u r=a= cos2 2':

u r=a= 3 sin 4':

u r=a= 2 sin 3': u r=a= 3 sin 2':

u r=a= 2 cos 6': u r=a= 2 sin2 3':

u r=a= 3 sin '=2 :

u r=a= cos 5':

17.

u

'=0

= u

'= =4

= 0

u

r=a

= 5 sin 8':

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

u' '=0= u '= =3= 0

u r=a= 2 cos 9'=2 :

19.

u '=0= u' '= =4= 0

u r=a= 6 sin 6':

 

20.

u '=0= u '= =3= 0

u r=a= 5 sin 3':

 

21.

u '=0= u '=2

u' '=0= u' '=2

u r=a= 4 cos 3':

22.

u' '=0= u '= =2= 0

u r=a= 3 cos 5':

23.

u' '=0= u' '= = 0

u r=a= 2 sin2 ':

 

24.

u '=0= u' '= =3= 0

u r=a= sin 9'=2 :

25.

u '=0= u '= =2= 0

u r=a= 5 sin 6':

 

26.

u' '=0= u '= = 0

u r=a= 3 cos 3'=2 :

27.

u '=0= u '=2

u' '=0= u' '=2

u r=a= 4 sin2 ':

28.

u' '=0= u' '= =4= 0

 

u r=a= 2 cos 2':

29.

u '=0= u' '= =2= 0

u r=a= 2 sin 5':

 

30.

u '=0= u '= = 0

u r=a= 3 sin ':

 

5.2.

5.2. ! "#$ %

1 @

 

2 @u

1

@

 

@u

1

@2u

2

 

 

 

 

 

r

 

!+

 

 

 

sin

@ ! +

 

 

+ k

u = 0

5:2:1

r2

@r

@r

r2 sin

@

r2 sin2

@'2

280

Соседние файлы в папке УрМатФиз
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности