Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5310 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Предмет:
Высшая математика
Файл:

УрМатФиз / УрМатФиз с теорией

.pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
16.05.2024
Размер:
4.39 Mб
Скачать
☆

 

 

u 0 = g x

4:14

@u

 

= p x x 2 D @D:

4:15

@t

t=0

4.12 , !

4.13

u x t = v x T t 6 0:

4:16

% 4.16 4.12 , & ' :

T t v x = a2T t 4v x ,

T t

=

4v x

:

2

v x

 

a T t

 

 

% ' ) x 2 D t 0 -

, ' ' . +) & ,

- :

 

 

 

T t

 

 

 

4v x = :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2T t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v x

 

 

 

 

 

 

 

+ ! ' +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T t + a2T t = 0

t 0

 

 

 

 

4:17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4v x + v x = 0

x 2 D:

 

 

 

 

4:18

% ' - 4.16 1 4.13 , '

T t

 

@v

+ v

!

 

 

 

 

= 0 ,

 

@v + v

!

 

 

= 0:

4:19

 

@n

 

 

 

@D

 

 

@n

 

@D

 

 

4.18 , 4.19 | !! "#$-

## &' "

v x 6 0 #( # (! #)! D * !#-

4.19 .

+ (#!#$ , # #) n, n = 1 1 ## &' #) ,-. vn x, -# # #) & # # # # &, (#! & ,-. # #) "

#) " ,-. . x 3.8 .

231

 

4.17 = n, n =

1 1

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tn t = An cosq

 

at + Bn sinq

 

 

 

 

 

 

n

n

at n =

1 1

 

4:20

# = 0: $ # % , & ' #( ) #) ) * + %0 = 0 , 4.17

T0 t = A0 + B0t:

+ % 4.12 | 4.15 # n = 0 . &-

0 #( ' )

1

u1x t = X Tn t vn1x =

n=0

1

An cosq nat + Bn sinq nat vn1x

 

= nX=1

4:21

# ' ), % ' 2 ..0 ( 2 * t x:1 3 + * & ..0 * An Bn + % #( * #

4.14 4.15 . 4 4.21 4.14 # %

1

 

g1x = nX=1 Anvn1x :

4:22

5# #( , An | & ..0 * 6 ( +# 2 ) + . &-

0 1 # 1 * . &0 1 = 1

g x D vn x n 1:

#) # ) An #(+ ) (7 - * . &0

ZZZ

vn1x vk1x dx1 = nk:

 

D

 

 

 

 

2 4.22 vk1x, ' x1 D # %

1

 

 

 

 

ZZZ g1x vk1x dx1 = nX=1 An ZZZ vn1x vk1x dx1 = Ak k =

 

:

4:23

1 1

D

D

 

4 # & 4.21 4.15 # %

1

p1x = X Bnq navn1x :

n=1

232

Bk:

p x vk x dx =

D

= Bnq

 

a ZZZ vn x vk x dx = Bkq

 

 

 

n

k

a k =

1 1

:

:24

n

 

D

 

 

 

 

, ! "

u x t - # An Bn "$ %

' % ! -

.

( c )*

f x t 6 0 -

" # "

! "

-% . , " / " n -" / " vn x 0 |1% ! % -% "3 $4 # #

# "

 

 

 

 

5 !

 

 

 

.

 

 

 

%

/ " vn x =

1 1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

u x t =

un t vn x

:25

 

 

1

 

 

 

# unt

. " f x t

x x . -

. " % / "

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

f x t =

fn t vn x

:26

 

n=1

 

 

1

 

 

 

 

 

g x =

gn vn x

:27

 

n=1

 

 

1

 

 

 

 

 

p x =

pn vn x

:28

n=1

233

fn t gn pn

fn t =

f x t vn x dx

4:29

 

D

 

gn =

g x vn x dx

4:30

D

 

 

 

 

pn =

p x vn x dx n =

 

:

4:31

1 1

D

 

 

 

 

$% , 4.25 % % t x: $ 4.25 , 4.26 4.9

 

8d2un t

2

n

n

t

n

9

n

x = 0:

n=1

 

dt2

+ a

 

u

f

t = v

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ,- . vn x D, :

d2un t

2

 

 

 

 

 

 

dt2

+ a nun t = fn t n = 1 1:

4:32

$ 4.27 , 4.28 4.14 , 4.15

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4:33

 

un0

 

gn

g

vn x = 0

 

un0 = gn

 

n =

1

 

2

 

 

n=1 f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

8dun0

 

 

 

n9 n

 

 

 

 

 

 

dun0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

x = 0

 

 

 

n

= 1 :

4:34

 

 

 

 

p

= v

dt

 

= p n

n=1

:

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3 4 5 6 4 un t 4.32 | 4.34 n 6= 0%

, , :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

un t = Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinaq n t fn d

 

+ gn cosaq nt+

 

 

ap

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

1

 

 

sinaq

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4:35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

pn

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ap

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$ 4.35 4.25 , 4 5 4.9 , 4.13 | 4.15 .

234

4.1.1.

 

4.35 4.25

-

 

! 4.29 | 4.31 % & '

4.9 , 4.13 | 4.15 % )!* + :

 

 

u x- t =

f y- G x- y-/ t dyd- +

g y-

@G x- y-/ t 0

dy-+

@t

 

0 D

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

p y- G x- y-/ t 0dy-

4:36

3

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin aq n t vn y- vn x-

 

 

G x- y-/ t = n=1

ap

 

4:37

 

n

| , .

5 % ' % 6 & u x t !- ' 3

@2u

= a

2 @2u

= fx : 0 x =2g 0 t

4:1:1

@t2

 

@x2 D

3 % %

 

 

 

 

 

 

u x=0= 0

@u

 

 

 

 

 

@x x= =2= 0

0 t

4:1:2

! % %

 

 

 

u

 

t=0= g x = 2 sin 3x + sin 5x

0 x =2

4:1:3

 

 

@u

 

 

 

 

 

 

 

t=0= p x 0 0 x =2:

4:1:4

 

 

 

@t

. 7

% & -

4.1.1 , *) 3 % % 4.1.2

 

u x t = X x T t 0:

 

4:1:5

 

 

 

 

 

6

 

 

 

4.1.5 4.1.1 ' % % :

 

 

2

 

T t

X x

 

 

X x T t = a

T t X x

 

=

 

= :

 

a2T t

X x

235

 

 

 

T t + a2T t = 0

4:1:6

X x + X x = 0:

4:1:7

4.1.5

!

" 4.1.2 -

 

 

 

T t X0 = 0

X0 = 0

4:1:8

T t X =2 = 0 X =2 = 0:

& ' ( ) |+ " 4.1.7 , 4.1.8 . 1 . . -. ( " / . 0 12 l = =2 / 3 1.22 , 1.23 :

n = 2n + 12

Xn x = sin 2n + 1x n = 0 1: 6 7 4.1.6 = n:

Tn t + na2Tn t = 0:

8! ./ ' 9 ( 7

Tn t = An cosq nat + Bn sinq nat :

: 1, ' 9 ; ' 3 4.1.5 un x t = Tn t Xn x =

= <An cos 2n + 1at + Bn sin 2n + 1at= sin 2n + 1x n = 0 1:

& ' 3 ( 4.1.1 | 4.1.4 . 1 7 0 12-7 ! "

u x t = un x t =

0

1

= <An cos 2n + 1at + Bn sin 2n + 1at= sin 2n + 1x 4:1:9

n=0

! ", ! 9 00 2 7 ( 3 t 3 x.

236

 

 

4.1.9 4.1.3 4.1.4

 

 

g x =

An sin 2n + 1x

4:1:10

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

p x =

Bn2n + 1a sin 2n + 1x:

4:1:11

 

 

 

n=0

 

 

 

! "##$ An Bn %

& '-

) * # !$+ ,0 =2-:

 

 

 

2

 

sin 2k + 1x dx = nk:

 

 

 

Z sin 2n + 1x

 

 

 

0

 

4

 

/

 

* & 4.1.10 sin 2k + 1 , & '&-

&

x ,0 =2-

 

 

2

2

 

 

 

1

 

 

Z g x

sin 2k + 1x dx = X An Z sin 2n + 1x sin 2k + 1x dx

0

n=0 0

 

 

1 ' % 4.1.11

 

 

 

2

 

 

 

Z p x sin 2k + 1x dx = Bk2k + 1a

:

 

0

4

 

2 )

2

An = 4 Z g x sin 2n + 1x dx0

2

Bn = 4 Z p x sin 2n + 1x dx: 2n + 1a 0

= Ak 4 :

4:1:12

4:1:13

! An Bn 4.1.9 !

& 3

& .

 

4 3 # !$ g x p x 4.1.3

4.1.4 )

! !& + , % )5 + + ! "##$ 6 & 4.1.12 4.1.13 , & * ' ! '& & ). ! 4.1.94.1.3 , 4.1.10

1

 

2 sin 3x + sin 5x = X An sin 2n + 1x:

4:1:14

n=0

 

237

sin 3x = X1 x sin 5x = X2 x |. ! - ! #! #! 4.1.14

 

A1 = 2

A2 = 1

An = 0 n 6= 1 2:

4:1:15

(

 

4.1.9

* 4.1.4 ,

 

4.1.11

 

 

 

 

 

0 =

Bn sin 2n + 1a sin 2n + 1x:

 

n=0

- . :

Bn = 0 n = 1 1: 4:1:16

( 4.1.15 4.1.16 4.1.9 1 ! 2 .

. u x t = 2 cos 3at sin 3x + cos 5at sin 5x:

. 3 # 4 4.37

2

 

 

 

 

 

 

 

 

G x y6 t =

4 1

 

1

 

sina2n+1t

sin 2n+1x sin 2n+1y

 

 

 

 

 

a n=0 2n + 1

 

 

 

1 2

 

# # 7*. 4

4.36

 

 

 

 

 

 

 

2

u x t = Z g y @G x y6 t 0 dy 0 @t

2

+ + Z p y G x y6 t 0 dy:

0

4.1.1. 8 1 * *-. 2 # #

@2u

2

@2u

@t2

= a

@x2

* # .

1. u

x=0

= ux

x= 2

= u

t=0

= 0

ut

t=0

= sin x 2 sin 3x:

 

 

 

 

 

 

238

2. u 0 = u x= 2= u t=0= 0

3.ux x=0= ux x= = u t=0= 0

4.u x=0= u x=2 = u t=0= 0

5.u x=0= ux x= = ut t=0= 0

6.ux x=0= u x= = ut t=0= 0

7.ux x=0= ux x= 2= ut t=0= 0

8.u x=0= u x=2 = u t=0= 0

9.u x=0= ux x=2 = u t=0= 0

10.ux x=0= u x=2 = u t=0= 0

11.ux x=0= ux x=2 = u t=0= 0

12.u x=0= u x= = ut t=0= 0

13.

u x=0= ux x=

2= ut

t=0= 0

14.

ux x=0= u x=

2= ut

t=0= 0

15.ux x=0= ux x= = ut t=0= 0

16.u x=0= u x=2 = u t=0= 0

17.u x=0= ux x= = u t=0= 0

18.ux x=0= u x= = u t=0= 0

19. ux x=0= ux x= 2= u t=0= 0

ut t=0= cos x 3 cos 3x:

ut t=0= cos x + 3 cos 2x:

ut t=0= sin x=2 + 2 sin x:

u t=0= sin x=2 + 2 sin 3x=2 :

u t=0= 2 cos x=2

cos 5x=2 :

u t=0= cos 2x + cos 4x:

ut t=0= 2 sin x=2 + sin x:

ut t=0= sin x=4 + 2 sin 3x=4 : ut t=0= 2 cos x=4 + 3 cos 3x=4 : ut t=0= cos x=2 + 2 cos x:

ut=0= 3 sin x + sin 3x:

ut=0= sin x + 3 sin 5x:

ut=0= 3 cos x + cos 5x:

u t=0= cos x cos 2x:

ut t=0= 3 sin x=2

sin 2x:

ut

t=0= 2 sin x=2

sin 5x=2 :

ut

t=0= cos x=2

cos 3x=2 :

ut t=0= cos 2x

cos 4x:

239

20.u 0 = u x=2 = ut t=0= 0

21.u x=0= ux x=2 = ut t=0= 0

22.ux x=0= u x=2 = ut t=0= 0

23.ux x=0= ux x=2 = ut t=0= 0

24.u x=0= u x= = u t=0= 0

25.

u x=0= ux x=

2= u t=0= 0

26.

ux x=0= u x=

2= u t=0= 0

27.ux x=0= ux x= = u t=0= 0

28.u x=0= u x=2 = ut t=0= 0

29.u x=0= ux x= = ut t=0= 0

30.u x=0= u x= = ut t=0= 0

u t=0= 2 sin x=2 3 sin x:

ut=0= 3 sin x=4 + 2 sin 3x=4 :

ut=0= 5 cos x=4 + cos 3x=4 :

ut=0= 3 cos x + 2 cos 3x:

ut t=0= 2 sin x

sin 3x:

ut

t=0= 5 sin x

sin 3x:

ut

t=0= 2 cos x

cos 3x:

ut t=0= cos x + cos 3x: u t=0= sin x 3 sin 3x:

u t=0= 2 sin x=2 + 3 sin 3x=2 : u t=0= sin 2x + sin 3x:

4.1.2. -

! " " # " "-

$ $ #

 

 

 

 

@2u

 

2 @2u

 

 

 

 

@t2

= a

@x2 + f x t

D = fx :

0 x =2g 0 t

:1:17

 

 

 

 

 

u x0 = 0

@u

2= 0

t

:1:18

 

 

@x x=

 

 

 

 

 

 

u t=0= g x = 2 sin 3x + sin 5x

x =2

:1:19

 

 

@u

 

 

 

 

 

 

@t t=0= p x 0

x =2

:1:20

 

 

f

x t = 3e t sin x:

 

:1:21

 

 

 

240

 

 

 
Соседние файлы в папке УрМатФиз
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности