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Вуз: Предмет: Файл:

УрМатФиз / УрМатФиз с теорией

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@2u

 

 

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17.

 

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+ @y2 +

 

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= 0:

 

 

 

 

 

18.

2

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+ 2

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+ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x@y

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19.

 

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= 0:

 

 

 

 

 

 

 

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+ 2

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2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20.

2

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+ 3

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+ 2

 

 

 

 

 

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21.

 

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= 0:

 

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22.

 

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2

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+

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+ 4

 

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10

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= 0:

 

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@z2

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23.

 

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24.

 

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15

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2

 

 

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26.

 

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= 0:

 

 

 

 

 

 

 

27.

 

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+ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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28.

 

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= 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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29.

2

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= 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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11

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$ $ x y 2 D IR2: % !

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+ a22 x y

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) 1.2.1 -

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= a2 x y a11 x y a22 x y 0:

12

2. ) 1.2.1 # -" D IR2, 4 = a212 a11a22 0:

3. ) 1.2.1 # -

" D IR2, 4 = a122

a11a22 = 0:

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a11dy a12 q

 

dx = 0

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4 = a212 a11a22, # # #

1.1.1 , $ ' x y = C1x y = C2 # .

, 1.2.1 . . 4 0 , $ -

# 1.2.2 -

' x y i x y = C2: -! $ = ' x y = x y 1.2.1 #

u~ @@u~ @@u~! = 0:

12

.

1.2.1 . . 4 0 ,

1.2.2 -

! ' x y = C1 x y = C2: #

= ' x y

= x y 1.2.1

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13

 

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3

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0 ) . % & 1 x + y = C1 3x y = C2: * % - * & 0. 0. = x + y = 3x y & . % & . 2 3 %, % (" , u x y u~ : / & %

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14

 

 

 

 

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u x y = v x + y 3x y e 3 x+y 3x y = v x + y 3x y e 6x 2y:

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4 = 22 13 = 9 0. 0) % ), %) -

. ( ) ) ) , 1 2) ) 2 1.2.2 )

dy = 2 3i: ) 3) 1 2 3i x y = C:

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** + , # * 2+ 1 :

@u~ =

 

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+ @u~ @

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34

 

 

 

 

 

 

 

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15

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u x y = u~ : ,

:

 

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+

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+

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+ u~ = 0

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@ 2

@

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y 3x = u x y :

 

 

 

 

 

 

 

 

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2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

+ + 11 e

 

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@ = 1=2 =

 

1=2

 

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1

 

 

 

 

 

 

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@ 2

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1:2:10

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u x y = v2x y 3x e 2x y =2 3x=2 = v2x y 3x e x+y =2:

3 , --. &$ . /-

4 = 52 25 = 0. 2 ,

. , )( 1.2.2

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= 5x y = x . /

) -. ) u x y u~ : -- -

. -. :

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5 +

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14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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4

 

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@x

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@2u~

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x@y

@ 2

@ @

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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16

,

u x y = u~ : ,

:

@2u~

@u~

+

@u~

+ u~ = 0

1:2:11

@ 2

@

@

 

 

 

# u~ 5x y x = u x y :

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0@2v

@v

@v

 

 

2

1

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@

+ @ 1 + 2 + v1

+ +

A e

 

= 0:

= 3=4 =

1=2

 

 

 

 

 

 

@2v

@v

= 0

 

 

1:2:12

 

 

 

@ 2

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# u~ = v e3 =4

=2:

 

 

 

 

 

, #

 

 

 

 

 

 

 

 

u x y = v5x y x e3 5x y =4 x=2 = v5x y x e 13x 3y =4:

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= x + y = 3x

y

1.2.7

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= 0

 

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# u~x + y 3x y = u x y.

2 - 1.2.5 / # '%( -

= 2x y = 3x 1.2.9

@2u~

+

@2u~

@u~

+

@u~

+ u~ = 0

@ 2

@ 2

@

@

# u~ 2x y 3x = u x y :

3 - # '%(

= 5x y = x 1.2.11

@2u~

@u~

+

@u~

+ u~ = 0

@ 2

@

@

# u~ 5x y x = u x y :

 

 

 

 

17

1.2. -

.

 

 

 

 

@2u

 

@2u

@2u

@u

@u

 

1.

3

@x2

+ 4

 

+ @y2 + @x +

@y = 0:

@x@y

 

 

@2u

 

@2u

@2u @u @u

= 0:

2.

3

@x2

+ 8

 

+ 4@y2

+ @x

 

@x@y

@y

 

@2u

 

 

@2u

 

 

@2u @u

 

 

@u

= 0:

3.

@x2

+ 4

 

 

+ 3

@y2

 

 

 

 

3@y

@x@y

 

@x

 

 

 

@2u

 

 

@2u

 

@2u @u @u

 

 

4.

@x2

 

2

 

 

+ @y2 + @x

 

@y = 0:

 

@x@y

 

 

 

@2u

 

 

@2u

 

 

@2u @u @u

= 0:

5.

4

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+ 4

 

+

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+

 

 

 

 

@x@y

@x

 

 

@y

6.

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@2u

 

 

@2u @u

 

 

@u

= 0:

@x2

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+ 9

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+

 

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@x@y

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@2u

 

 

@2u

 

 

@2u

 

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@y

 

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@2u

 

 

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@2u

 

 

@2u

 

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@x@y

 

@y

10.

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+ 5

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11.

5

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@2u

 

+

@2u

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+

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@x2

+ 6

 

@y2

+

 

 

@x@y

@x

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12.

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@2u

 

 

@2u @u @u

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4

 

+

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+

 

 

 

 

 

@x@y

@x

 

 

@y

 

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@2u @2u

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13.

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+ 2

 

 

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@x@y

 

 

14.

4

@2u

 

4

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+

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+

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= 0:

 

 

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@2u

 

 

@2u

 

 

@2u

 

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15.

9

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+ 6

 

+

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@x@y

18

16.

@2u

2

@2u

 

+ 5

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+

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= 0:

 

 

@x2

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@y2

@x

 

 

 

@2u

 

@2u

 

 

 

@2u

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17.

@x2

2

 

 

 

+ 10@y2

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@x@y

 

 

18.

5

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2

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+

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+

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= 0:

 

 

@x2

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@2u

 

@2u

 

 

 

@2u

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19.

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@x2

8

 

 

+ 4@y2 + @y = 0:

 

 

@x@y

 

 

20.

@2u

+ 8

@2u

 

+ 7

@2u

 

@u

= 0:

 

 

@x2

@x@y

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@x

 

 

 

@2u

 

@2u

 

 

 

@2u

 

@u @u

= 0:

21.

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+ 3

@y2

 

 

+ @y

@x@y

 

@x

 

@2u

 

@2u

 

 

 

@2u

 

@u

@u

= 0:

22.

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+ 4

 

 

 

+ 4

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+

 

+ 2@y

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@x

23.

@2u

6

@2u

 

+ 9

@2u

+

@u

= 0:

 

 

@x2

@x@y

@y2

@y

 

 

24.

9

@2u

6

@2u

 

+

@2u

+

@u

= 0:

 

 

@x2

@x@y

@y2

@x

 

 

 

 

@2u

 

 

@2u

@2u

@u

 

 

25.

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+ @y2 + @x = 0:

 

 

@x@y

 

 

26.

@2u

+ 4

@2u

 

+ 5

@2u

 

@u

= 0:

 

 

@x2

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@y

 

 

27.

5

@2u

 

@2u

 

+

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= 0:

 

 

@x2 + 4

 

@y2

+

 

 

 

@x@y

@x

 

 

28.

7

@2u

8

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+

@2u

+

@u @u

= 0:

@x2

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@y2

@x

@y

 

@2u

 

@2u

 

 

 

@2u

 

@u

@u

= 0:

29.

@x2

4

 

 

+ 4

@y2

+

 

2@y

@x@y

@x

30.

@2u

4

@2u

 

+ 5

@2u

+

@u

= 0:

 

 

@x2

@x@y

@y2

@x

 

 

19

 

,

, D, -

@D,

 

 

div k x!" grad u" + f~ x!" = 0 x! 2 D

2:1"

@D )2, 4, 5, 10|12-. / u x!" | , k x!" |

, f~ x!" | -

.

0 @D 1 g1 x!"

 

 

u

 

= g1 x!" x! 2 @D:

 

2:2"

 

 

 

@D

 

 

0 @D

 

x!" -

 

 

@u

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= g2

x!" x! 2 @D g2 x!" =

x!"

2:3"

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n! | 3 @D.

 

0 @D 4-3 u0 x!",5 "

@u + hu

 

 

 

 

~

 

 

 

~

 

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= g3 x!" x! 2 @D h = h x!"

g3

= h x!"u0 x!"

2:4"

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k x!"

 

 

k x!"

 

@n!

 

@D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h x!" | .

 

 

 

 

 

6 ,

 

788 k x!" = k -

,

2.1"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4u = f x!" f x!" =

f~ x!"

:

 

2:5"

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

2.5" , -

2.6" !:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4u = 0:

 

 

 

 

2:6"

20