Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

УрМатФиз / Bilety_po_urmatfizu_v0_9.docx

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

9.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Билет 5.

1) Решить

Будем искать решение в виде

умножим на

Рассмотрим задачу для т.к. решаем уравнение в круге, то добавим условие Рассмотрим какая может быть : 1) , тогда , но эта функция не удовлетворяет 2ому условию, кроме тривиального решения. 2) , тогда , чтобы она удовлетворяла 2ому условию, должна быть равна нулю. 3) , тогда ААА!!! Тригонометрические формулы! Всё, что стоит перед синусом в правой части (в данном случае только А) должно равняться всему, что стоит перед синусом в левой части. Аналогично с косинусом. Эта система имеет нетривиальное решение, если её определитель равен нулю. Т.е. если Значит, Значит

Рассмотрим задачу для 1) n=0 снова проинтегрируем - ответ для n=0 2) Будем искать решение в виде сокращаем на n было задано заранее, а уравнение является линейным, значит сумма двух решений тоже решение

Краевые условия: Проинтегрируем от 0 до 2π по φ Умножим уравнение краевых условий на cos(mφ) и проинтегрируем от 0 до 2π по φ Умножим уравнение краевых условий на sin (mφ) и проинтегрируем от 0 до 2π по φ

2) См. Билет 4.

Билет 6. 1) Решить задачу Воспользуемся методом Фурье. Будем искать решение в виде , тогда разделим на Получаем систему для X(x) а) Если , то Тривиальное решение. б) Если , то это возможно только если Тривиальное решение.

в) Если , то Если А=0, то решение тривиально. Если Для ; т.к. задача линейна, то сумма двух любых решений тоже будет решением. Начальные условия: Значит , т.к. мы видим слева и справа сумму рядов, а также sin(nx) ЛНЗ относительно друг друга, то другое разложение невозможно. 2) Задача Коши для колебания бесконечной струны. Формула Даламбера. Задача Коши: Начальные условия: (скопировано из билета № 4) Приведём к каноническому виду. Посчитаем D, чтобы определить тип уравнения В нашем случае значит тип гиперболический Переход к каноническому виду можно осуществить с помощью общих интегралов дифференциального уравнения . Поделим на получим , решаем его как обычное квадратное уравнение ; в нашем случае а) b) Найдём производные от новых переменных

Нач. условия t=0 Проинтегрируем второе уравнение. Перепишем систему, учитывая, что Теперь эту систему можно легко решить. Для всех t Это формула Даламбера. Билет 7. 1) Смотри билет №4. 2) Решить задачу Коши: Приведём к каноническому виду. Посчитаем D, чтобы определить тип уравнения В нашем случае значит тип гиперболический Переход к каноническому виду можно осуществить с помощью общих интегралов дифференциального уравнения . Поделим на получим , решаем его как обычное квадратное уравнение ; в нашем случае а) b) Найдём производные от новых переменных

В итоге получим Тогда, Начальные условия: Проинтегрируем второе уравнение. Теперь эту систему можно легко решить. Для всех y Билет 8. 1) Бесконечная дифференцируемость решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности в области . Формулировка. Пусть задана задача

Перенесём начало системы координат в точку (a, ) при такой изменении системы координат u имеет вид: . Обозначим Найдём решение в виде в виде , тогда разделим на Получаем систему для X(x)

Если , то Если А=0, то решение тривиально. Если Для ; т.к. задача линейна, то сумма двух любых решений тоже будет решением. Из начального условия Умножаем на и интегрируем от нуля до l, т.е. раскладываем по собственным функциям задачи Значит, эта функция точно решение нашего уравнения. Перепишем выражение ещё раз, Как видно, функция u бесконечно дифференцируема по x и t. Хочу заметить, что это не было найдено мной в учебнике (не полностью), а было почти придумано мной. Так что этот вопрос не точный. 2) Решить задачу Гурса Приведём к каноническому виду. Посчитаем D, чтобы определить тип уравнения В нашем случае значит тип гиперболический Переход к каноническому виду можно осуществить с помощью общих интегралов дифференциального уравнения . Поделим на получим , решаем его как обычное квадратное уравнение ; в нашем случае а) b) Найдём производные от новых переменных

В итоге получим Подставляем начальные условия. т.е. на прямой из условия следует т.е. на прямой из условия следует При x=0 Пусть t=4x, тогда Билет 9. 1) Решить задачу Дирихле в области Посмотрим как действует оператор Лапласа на функцию 0 = 0; В силу единственности решения для внутренней задачи Дирихле, – решение уравнения.

2) Привести к каноническому виду уравнение в области эллиптичности. Чтобы уравнение было эллиптическим, необходимо, чтобы выполнялось D<0 , значит y>0, Переход к каноническому виду можно осуществить с помощью общих интегралов дифференциального уравнения . Поделим на получим , решаем его как обычное квадратное уравнение ; в нашем случае а) b) Найдём производные от новых переменных

Все вторые производные, кроме сократились, что соответствует каноническому виду. при y>0. Билет 10. 1) Решить задачу Дирихле в области Посмотрим как действует оператор Лапласа на функцию 0 = 0; В силу единственности решения для внутренней задачи Дирихле, – решение уравнения.

2) Решить задачу Коши (далее вывод общей формулы скопирован из №6) Воспользуемся методом Фурье. Будем искать решение в виде , тогда разделим на Получаем систему для X(x) а) Если , то Тривиальное решение. б) Если , то это возможно только если Тривиальное решение.

в) Если , то Если А=0, то решение тривиально. Если Для ; т.к. задача линейна, то сумма двух любых решений тоже будет решением. Начальные условия:

Значит , т.к. мы видим слева и справа сумму рядов, а также sin(nx) ЛНЗ относительно друг друга, то другое разложение невозможно.

Билет 11. 1) Принцип максимума для уравнения теплопроводности

Т.е.

Если функция определена и непрерывна в замкнутой области и удовлетворяет уравнению теплопроводности в точках , то максимальное (минимальное) значение функция принимает на Г, т.е. в начальный момент времени, или в граничных точках x=0, x=l. Докозательство: Пусть М_Г – наибольшее значение функции u(x,t) на Г, а μ – наибольшее значение u(x,t) в области . Очевидно, что , нам необходимо доказать, что . Доказательство будем вести от противного. Пусть в некоторой точке функция u(x,t) достигает своего максимального значения, большего M_Г. Таким образом, , где - const Введём вспомогательную функцию Эта функция непрерывна в , поэтому она в этой точке достигает наибольшего значения в некоторой точке . Эта точка не может принадлежать Г, т.к. но , т.к. в . В точке должны выполняться необходимые условия максимума Замечаем, что Получаем следующие оценки для производных в Следовательно, т.е. функция не удовлетворяет уравнению ; приходим к противоречию. Значит, 2) решить задачу Неймана в круге Проверим условие разрешимости задачи Неймана Проинтегрируем от 0 до 2π по φ (далее скопировано из 5^ого билета)

Будем искать решение в виде

умножим на

Рассмотрим задачу для т.к. решаем уравнение в круге, то добавим условие Рассмотрим какая может быть : а) , тогда , но эта функция не удовлетворяет 2ому условию, кроме тривиального решения. б) , тогда , чтобы она удовлетворяла 2ому условию, должна быть равна нулю. в) , тогда ААА!!! Тригонометрические формулы! Всё, что стоит перед синусом в правой части (в данном случае только А) должно равняться всему, что стоит перед синусом в левой части. Аналогично с косинусом. Эта система имеет нетривиальное решение, если её определитель равен нулю. Значит, Значит

Рассмотрим задачу для а) n=0 снова проинтегрируем - ответ б) Будем искать решение в виде сокращаем на n было задано заранее, а уравнение является линейным, значит сумма двух решений тоже решение

Уравнение Лапласа тоже является линейным. Для решения нашего конкретного уравнения, введём дополнительные условия: , из этого условия можно сделать вывод, что для всех n, т.к. и при , а по условию (конец копипаста) Видим, что слева и справа стоят суммы рядов, поэтому Билет 12. 1) Решить задачу теплопроводности в прямоугольнике Будем искать решение в виде

Для X получаем систему а) Если , то Тривиальное решение. б) Если , то это возможно только если Тривиальное решение.

в) Если , то Если А=0, то решение тривиально. Если

Для Y получаем систему:

Аналогично X

Начальные условия:

Видим слева и справа сумму ряда, значит

2) См. билет 4

Билет 13. 1) Решить задачу Дирихле в области Посмотрим как действует оператор Лапласа на функцию 0 = 0; В силу единственности решения для внутренней задачи Дирихле, – решение уравнения.

2)Привести к каноническому виду уравнение Трикоми в области эллиптичности См. билет 9 2^ое задание.

Билет 14.

1) Определить множества эллиптичности, гиперболичности и параболичности Посчитаем D, чтобы определить тип уравнения В нашем случае Решим , значит при область гиперболическая, при – параболическая, при – эллиптическая. Тут, я смотрю в билеты, которые ты мне прислал и вижу, что у этого чувака в условиях при таком раскладе всё в разы проще и x<0 – элипт, x=0 – парабол, x>0 – гипербол. 2) Решить задачу Штурма-Лиувиля Доказать ортогональность собственных функций. а) Если , то Тривиальное решение. б) Если , то это возможно только если Тривиальное решение.

в) Если , то Если А=0, то решение тривиально. Если Докажем ортогональность его функций Пусть

Если Билет 15.

1) Решить Будем искать решение в виде тогда разделим на Решим для Y систему а) Если , то Тривиальное решение. б) Если , то это возможно только если Тривиальное решение.