График функции распределения.

На рисунке изображен график функции распределения ДСВ с конечным множеством возможных значений.

Математическое ожидание и дисперсия.

Двумя важнейшими характеристиками СВ являются её математическое ожидание и дисперсия . Прежде, чем напомнить что это такое, отметим, что если две случайные величины, то для любых действительных чисел случайными величинами также будут: . Первые два свойства распространяются на любое конечное множество СВ. Кроме того, ДСВ называются независимыми, если для любых возможных значений выполняется равенство

Аналогично определяется независимость в совокупности и попарная независимость для какого угодно числа ДСВ.

Замечание. Вырожденным случаем СВ будем считать не СВ с вероятностью Рекомендуется нарисовать график функции распределения такой СВ. ∎

Математическим ожиданием ДСВ называется сумма произведений всех её возможных значений на соответствующие вероятности :

причем, если суммируется ряд, то он должен сходиться абсолютно. Иначе, случайная величина не имеет мат. ожидания.

Основные свойства математического ожидания ( ):

Дисперсией ДСВ называется сумма произведений на соответствую - щие вероятности :

Основные свойства дисперсии ( ):

По поводу обозначений: мат. ожидание часто обозначают буквой ; дисперсию обозначают через , где средне квадратичное уклонение (или отклонение).

Некоторые важные распределения

1*. Классическое распределение:

2*. Биномиальное распределение:

3*. Бернуллиевская величина:

4*. Распределение Пуассона:

5*. Геометрическое распределение:

6*. Гипергеометрическое распределение: натуральные числа,

Замечание. Бернуллиевские случайные величины, как правило, считаются независимы - ми. ∎

Пример 2.1 Возможные значения 1, 2, 3, 4 случайной величины принимает с вероятностя - ми 0,21, 0,3, 0,34 и соответственно. Требуется: а) найти ; б) составить ряд распределения; в) начертить многоугольник распределения; г) написать функцию распределения и нарисовать её график; д) вычислить мат. ожидание; е) вычислить дисперсию и средне квадратичное уклонение; ж) найти вероятность .

Решение. а) число найдем из условия 0,21 + 0,3 + 0,34 +

б) пишем ряд распределения

	1	2	3	4
p	0,21	0,3	0,34	0,15

в) чертим многоугольник распределения

0,21

0 1 2 3 4