Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Л9-ТВ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

462.8 Кб

Скачать

☆

ЛЕКЦИЯ №9

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

1. Закон больших чисел

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для различных исходных данных устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым постоянным величинам.

Под центральной предельной теоремой в теории вероятностей понимают теорему, устанавливающую условия приближения распределения вероятностей суммы большого числа случайных величин к нормальному распределению.

Под предельными теоремами теории вероятностей понимают различные формы закона больших чисел и центральной предельной теоремы.

Доказательство основных форм закона больших чисел основано на использовании неравенства Чебышева П.Л.

2. Неравенство Чебышева

Чебышев Пафнутий Львович 1821-1894 – русский математик.

Рассмотрим случайную величину X с математическим ожиданием mx

и дисперсией Dx .
Для любого сколь угодно малого положительного числа						вероятность
того, что величина	X отклонится от своего математического ожидания на
величину больше	ограничена сверху величиной D / 2				, то есть:
				x
	P	X mx	Dx	.		(1)
			Dx
			2

Данное неравенство получило название неравенства Чебышева.

Доказательство (на примере дискретной случайной величины):

Пусть дискретная случайная величина X задана рядом распределения:

xi	x1	x2	x3	…	xn 1	xn
p xi	p x1	p x2	p x3	…	p xn 1	p xn
				…

Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)

Рис. 1

X mx

P x mx , mx

x .

x m

, m

x m

i x

С другой стороны

D X

xi mx 2 p xi

xi mx

2 p xi .

i 1

D X

p xi

xi mx

2 .

, то

Так как

X mx

D X

p xi

= 2

p xi

2 P

X mx

Откуда следует

xi mx

X mx

Данное неравенство получило название оценки отклонения от математического ожидания сверху.

Перейдя к противоположному событию можно получить оценку снизу.

P X mx 1 D2x .

Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)

Неравенство справедливо для случайных величин, распределенных по любому закону распределения f (x) ( p(x)), для которого выполняются свойства функции плотности вероятности (ряда распределения).

В частности, пусть 1 x , 2						2 x , 3			3 x тогда:
P				X mx		x 1;						(2)
P				X mx		x 1;						(2)
P		X mx			2 x		1			;		(3)
							1
							4
							4
P			X mx		3 x			1		.		(4)
								1

Соответственно,							9
Соответственно,
P			X mx			x 0;						(5)
P			X mx			x 0;						(5)
P	X mx				2 x		3			;		(6)
							3
							4
							4
P		X mx			3 x				8		.	(7)
									8

							9

3. Теорема Чебышева

Рассмотрим случайную величину X с математическим ожиданием mx и дисперсией Dx . Пусть проводится n независимых одинаковых опытов, в результате которых фиксируется:

X1- значение случайной величины X в первом опыте;

X 2 - значение случайной величины X во втором опыте;

X3 - значение случайной величины X в третьем опыте;

…………………………………………………………….

X n - значение случайной величины X в n -ом опыте.

		1	n
Пусть	Y		X i - среднее арифметическое случайных величин

		n i 1

X i . Тогда числовыми характеристиками данных опытов являются:

		1	n	1	n	1
my	M Y M		Xi		mx		nmx	mx ,	(8)
						n
	n i 1			n i 1

Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)

D Xi

nDx

(9)

i 1

Теорема Чебышева.

При достаточно большом числе независимых

опытов среднее арифметическое

случайных

величин

X i сходится по

вероятности к математическому ожиданию случайной величины X -

X m

1 .

(8.10)

i 1

Неравенство выполняется для любых сколь угодно малых

положительных величин и .

Доказательство:

Применим к величине Y

X i неравенство Чебышева:

n i 1

Y my

Найдем такое n , чтобы выполнялось

n 2

Тогда

Y my

Перейдя к противоположному событию, получим

X i mx

1 .

n i 1

4. Обобщенная теорема Чебышева

Пусть проводится n независимых опытов, в результате которых

фиксируется:

x1 - значение случайной величины X1 в первом опыте;

x2 - значение случайной величины X 2

во втором опыте;

x3 - значение случайной величины X 3 в третьем опыте;

…………………………………………………………….

Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)

			5
xn - значение случайной величины X n в n -ом опыте.
Где X i - независимые случайные величины с математическими
ожиданиями mxi и дисперсиями Dxi .
		1	n
Пусть	Y		X i - среднее арифметическое случайных величин
Пусть	Y		X i - среднее арифметическое случайных величин
		n i 1
X i , а все дисперсии			Dxi ограничены сверху:
			Dxi L,	i .	(11)
Обобщенная теорема Чебышева. При достаточно большом числе
независимых	опытов среднее арифметическое случайных величин				X i

сходится по вероятности к среднему арифметическому математических

ожиданий случайных величин X i			-
	1 n			n
			1
P		X i		mxi	1 .	(12)

	n i 1		n i 1

Неравенство выполняется для любых сколь угодно малых положительных величин и .

Доказательство:

В данном случае

M Y M

1 n

mxi

(13)

n i 1

D Y

Dxi .

(14)

n i 1

i 1

Применим к величине

X i

неравенство Чебышева:

n i 1

Dxi

X i

mxi

i 1

(15)

n i 1

Неравенство усилится, если записать:

		n		n
	1		1		L
P		X i		mxi			.	(16)
					n	2
	n i 1		n i 1

Найдем такое n , чтобы выполнялось

Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)

n зависимых опытов, в результате которых

L . n 2

Тогда

		n		n
	1		1
P		X i		mxi	.	(17)

	n i 1		n i 1

Перейдя к противоположному событию, получим

		n		n
	1		1
P		X i		mxi	1 .

	n i 1		n i 1

5. Теорема Маркова

Марков Андрей Андреевич 1856-1922 – русский математик.

Пусть проводится фиксируется:

x1 - значение случайной величины X1 в первом опыте; x2 - значение случайной величины X 2 во втором опыте; x3 - значение случайной величины X3 в третьем опыте;

…………………………………………………………….

xn - значение случайной величины X n в n -ом опыте.

Где X i - зависимые случайные величины с математическими ожиданиями mxi и дисперсиями Dxi .

		1	n
Пусть	Y		X i - среднее арифметическое случайных величин

		n i 1

X i , и для n

то

для любых сколь

D Y D

D Xi

(18)

n i 1

i 1

X i

mxi

n i 1

угодно малых 0 и 0 .

Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)

Доказательство:

Kij .

известно, что

D Xi

D Xi 2

i 1

i `1

i j

По условию

D Y D

D Xi

2 Kij

n i 1

i 1

i j

То есть, стремится к нулю и вся ковариационная часть D Y

- игнорируется

зависимость случайных величин X i . Тогда, применяя неравенство

Чебышева, имеем

Y my

Переходя при достаточно большом n к неравенству

Y my

, получим далее

Y my

1 .

(19)

6. Следствия закона больших чисел. Теоремы Бернулли и Пуассона

Теорема Бернулли. (следствие из теоремы Чебышева) Пусть

проводится n независимых одинаковых			опытов, в каждом из которых
фиксируется случайная величина X i		c рядом распределения:

	X i	1	0

	p(X i )	p	q
	p(X i )

				1	n
тогда при n	относительная частота p*				X i появления случайной
тогда при n	относительная частота p*				X i появления случайной
				n i 1
величины X i сходится по вероятности к вероятности						p . В формализованном
виде:
	P	p p *	1 ,			(20)
	P	p p *	1 ,			(20)

для любых сколь угодно малых 0 и 0 .

Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)

Теорема Пуассона. (следствие из обобщенной теоремы Чебышева)

Пусть проводится n независимых			опытов, в каждом из которых
фиксируется случайная величина X i		c рядом распределения:

	X i	1	0

	p(X i )	pi	qi

тогда при n относительная частота

X i появления случайной

n i 1

величины X i сходится по вероятности

к вероятности

pi . В

n i 1

формализованном виде:

p *

1 ,

(8.21)

для любых сколь угодно малых 0 и 0 .

7. Центральная предельная теорема (А.М. Ляпунов 1900 г.)

Ляпунов Александр Михайлович 1857-1918 – русский математик.

Теорема. Если X1, X 2 , X3 ,..., X n - независимые случайные величины, имеющие один закон распределения с параметрами:

mX1 mX2 mX3 ... mXn mx ; DX1 DX2 DX3 ... DXn Dx ,

то случайная величина

Z X1 X 2 X3 ... X n

при n имеет закон распределения асимптотически приближающийся к нормальному с параметрами:

mz nmx ; Dz nDx .

Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)

Следствие:	Пусть проводится n независимых опытов, в каждом из
которых фиксируется случайная величина					X i	c рядом распределения:

		X i		1	0
		p(X i )		p	q
		p(X i )

и числовыми характеристиками:
mX1	mX2	mX3	... mXn			mx p ;	(22)
DX1	DX2	DX3	... DXn			Dx pq ,	(23)

тогда случайная величина

Z X1 X 2 X3 ... X n

при n имеет закон распределения асимптотически приближающийся к нормальному с параметрами:

mz np ;	(24)
Dz npq .	(25)

Используя следствие из центральной предельной теоремы, получим две формулы для условий (22)-(25) применения нормального закона распределения:

	mz
P Z Ф	z
	z

Ф mz


	Ф

np
		Ф
		Ф

npq

np , npq

(26)

Формула (26) получила название интегральной формулы МуавраЛапласа;

W mz 2

2npq

P Z W

2 z

(27)

2 npq

Формула (27) получила

название

локальной

формулы

Муавра-

Лапласа.

Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)

Пример 8.1. Монетка подбрасывается 1000 раз. Пусть Z - число раз выпадений герба в данном эксперименте. Найти вероятности следующих событий: A) Z 500 ; B) 490 Z 510 .

Решение:

	1				500 500	2
P Z 500	1		e		500	0,025 ;
P Z 500			e		500	0,025 ;

		500
510 500					490 500
P 490 Z 510 Ф				Ф			0, 48.

	250					250
	250					250

Стаценко И.В. Лекция 9 (ТВ и МС)

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024400.2 Кб2Л5-ТВ.pdf
#
16.05.2024377.37 Кб2Л6-матстат.pdf
#
16.05.2024489.81 Кб2Л6-ТВ.pdf
#
16.05.2024383.6 Кб2Л7-ТВ.pdf
#
16.05.2024461.05 Кб2Л8-ТВ.pdf
#
16.05.2024462.8 Кб2Л9-ТВ.pdf