Мат.стат. и теория вероятностей / Лекции / Л5-матстат

M

X M X

Y M Y

.

(1)

x y

Коэффициент корреляции показывает, насколько связь между

случайными величинами близка к линейной.

Коэффициент

корреляции

нормирован

в

диапазоне

значений 1 1.

вид

y my

y

x mx .

(2)

x

2. Оценка коэффициента корреляции неранговыми методами

Пусть дана совокупность нормально распределенных величин X и Y

по парам

xi , yi - (распределение двумерное нормальное) объема n .

Выборочной оценкой коэффициента корреляции является величина

n

xi x yi y

*

i 1

.

(3)

n

n

xi

x 2 yi y 2

i 1

i 1

1 n

1 n

*

xi x yi y

xi x yi y

n i 1

n i 1

1

n

2

n

2

1

n

2

1 n

2

xi

x

yi y

xi

x

yi

y

n

i 1

i 1

n i 1

n i 1

1 n

xi yi

xi y yi x x y

n

xy x y

*

i 1

.

(4)

x 2

1 yi

x2 x 2 y2 y 2

1 xi

y 2

n

n

n i 1

n i 1

Далее с учетом замены генеральных параметров в уравнении

регрессии (2) их статистическими точечными оценками

D *

D *

D

*

y y *

y

x x

*

y

x y

*

y

x

Ax B ,

D *

D *

D

*

x

x

x

y Ax B ;

(5)

где

A

xy

x y

;

B y Ax .

x2 x 2

При n 5 распределение случайной величины

1

1 *

arcth *

Z

ln

(6)

2

1 *

M Z arcth ,

D Z

1

.

(7)

n 3

При n 10 распределение случайной величины

*

T

n 2

(8)

1

*2

1 2

удовлетворительно аппроксимируется

распределением

Стьюдента с

отклонения от нуля, формулируется следующим образом:

H0 :

0 против альтернативы H1 :

0 .

(9)

Корреляция между случайными величинами считается значимой, если

*

H

0

отклоняется.

С использованием статистик (7) и (8) получим

2

exp

u1 /2

1

n

3

,

(10)

N

2

exp

u1 /2

1

n

3

где

u1 /2 -квантиль нормального распределения.

t1 /2 n 2

,

(11)

T

n 2

t21 /2 n 2

где

t1 /2 n 2 -квантиль распределения Стьюдента с n 2 степенями

свободы.

Пример 1.

Дана совокупность

нормально

распределенных пар X ,Y

случайных

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x i

5

4

7

7

3

11

14

15

15

4

y i

7

6

4

11

2

21

31

23

40

15

Y на уровне значимости 0,05 .

Решение:

x 8,5 ,

y 16 ;

xy 184;

x2 93,1;

y2

398, 2 ;

D * 20,85;

D

*

142, 2 ;

x

y

*

184 8,5 16

0,88 ;

20,85 142, 2

По статистике (7) получим

2 1,96

exp

1

7

0,05 N

0,6296 .

2 1,96

exp

1

7

По статистике (8) получим

t0,95 8

1/2

2,312

0,05T

8 t2

0,95 8

8 2,312

0,632.

Так как 0,05

* 0,88

гипотеза

о значимости коэффициента

корреляции принимается.

0

5

10

15

20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

y i

12

12,03

12,06

12,07

12,1

12,08

12,07

12,05

12,03

12,02

12,02

12,01

x 6,5,

y 12,045 ;

xy 78, 27 ;

x2

54,17 ;

y2 145,08 ;

D * 11,92 ;

D *

0,0009;

x

y

exp

2 1,96

1

9

0,05 N

0,57 .

exp

2

1,96

1

9

t

0,95

1/2

0,05T

10

0,58.

0,95

8 t2

10

0, 25 0,57 0,05N

Так как

*

изменение веса транзистора в

3.1. Коэффициент корреляции Кендалла

Пусть

дана

совокупность случайных величин X

и

Y

по

парам

xi , yi - (распределение любое) объема n .

Расположим ряд значений

xi

в порядке возрастания,

тогда ряд

xi

можно заменить последовательностью

рангов

данных

величин

-

Rxi

-

1,2,3,..., n . Соответствующие по паре

значений xi , yi

ранги случайных

величин Y обозначим - Ryi .

Назовем пару рангов Ryk , Ryl

инверсией, если в последовательности

рангов Ryi , 1, 2,3,..., n наблюдаем

Ryk Ryl .

Обозначим число таких пар

величиной Q .

Коэффициент корреляции Кендалла (при отсутствии совпадений

рангов) вычисляется по формуле

1

4Q

,

1 1.

(12)

n

n 1

При

n 10

гипотеза о

значимости

коэффициента

корреляции

принимается на уровне значимости

, если величина

u

2 2n 5

,

(13)

1

9n

n 1

Пример 3.

Дана совокупность случайных величин X и Y , реализации которых

представлены парами значений

xi , yi .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x i

5

4

7

8

3

11

14

15

16

6

y i

7

6

4

11

2

21

31

23

40

15

Найти

коэффициент

корреляций

данных

величин,

используя

Решение:

1.

Расположим значения случайной величины

X в порядке возрастания

вместе с соответствующими им в паре значениями случайной величины Y .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x i

3

4

5

6

7

8

11

14

15

16

y i

2

6

7

15

4

11

21

31

23

40

2.

Запишем ранги для значений случайной величины

X ,

а под ними

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x i

3

4

4

5

7

7

11

14

15

15

y i

2

6

7

15

4

11

21

31

23

40

R x i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

R y i

1

3

4

6

2

5

7

9

8

10

Q1 0,

так как

1 3,

1 6 , ….,

1 10 ;

Q2 1,

так как

3 2 ;

Q3 1,

так как

4 2;

Q4 2,

так как

6 2 ,

6 5;

Q5 0

;

Q6

0

;

Q7

0 ;

Q8

1;

так как

6 8 .

Q9

0

;

1

4Q

1

4 5

7

0,78.

n

10 9 9

n 1

u

2 2n 5

1,64

2 2 10 5

0, 41.

1

9n

n 1

9 10 10 1

Далее,

учитывая,

что

,

полагаем

коэффициент корреляции

3.2. Коэффициент корреляции Спирмена

Пусть дана совокупность

случайных величин X и Y по

парам

xi , yi - (распределение любое) объема n .

Находим разность рангов

di Rxi Ryi , соответствующую

паре

xi , yi .

n

6 di2

1

i 1

,

1 1.

(14)

n

n2 1

При n 10

корреляция

считается

статистически

значимой, если

величина

u

1 /2

,

(15)

n 1

будет меньше, чем

;

где

u1 /2 - квантиль нормального распределения.

Пример 4.

Дана совокупность случайных величин X и Y , реализации которых

представлены парами значений xi , yi

.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x i

5

4

7

7

3

11

14

15

15

4

y i

7

6

4

11

2

21

31

23

40

15

Найти

коэффициент

корреляции

данных

величин,

используя

1

2

3