![](/user_photo/91653_YtWm7.jpg)
Мат.стат. и теория вероятностей / Лекции / Л4-ТВ
.pdf1
ЛЕКЦИЯ №4
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1. Классификация случайных величин. Понятие закона распределения
Случайной называется такая величина, которая в результате опыта (эксперимента) может принять то или иное значение, при чем заранее неизвестно какое именно.
Случайные величины обозначают большими буквами X ,Y , Z..., а
возможные (конкретные) значения случайных величин - малыми буквами, соответственно x, y, z...
Пример 4.1.
X x - случайная величина X приняла значение x .
Случайные величины (СВ) классифицируют по следующим позициям:
1.Дискретные.
2.Непрерывные.
3.Смешанные.
Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют величину, возможные значения которой принимают конечное или бесконечное, но счетное число значений.
Примеры. Число шаров фиксированного цвета в возвратной выборке объема m из конечного набора в n шаров разных цветов (ДСВ конечного типа). Число видимых звезд на небе в конкретное время суток (ДСВ бесконечного, но счетного типа).
Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют величину, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый диапазон возможных значений.
Примеры. Температура окружающей среды, атмосферное давление, вес и рост человека и.т.д.
Случайные величины также подразделяются на скалярные и векторные. Скалярная величина может быть представлена только единственным значением. Векторная величина состоит из системы случайных величин.
Стаценко И.В. Лекция 4. Теория вероятностей и математическая статистика
2
Под законом распределения СВ понимают всякое соотношение, устанавливающее взаимосвязь между возможными значениями (диапазонами значений) СВ и вероятностями их реализации.
Основными законами распределения СВ являются:
1.Ряд распределения.
2.Функция распределения.
3.Функция плотности вероятности.
2. Ряд распределения дискретной случайной величины
Ряд распределения вводится |
только для |
дискретной случайной |
|
величины. |
|
|
|
Под рядом распределения - |
p(x) P X x |
ДСВ ( X -имя СВ) |
|
понимают таблицу, в которой возможным значениям |
x1, x2 ,..., xn СВ X |
||
ставятся в соответствие вероятности их реализации |
p x1 , p x2 ,..., p xn . |
||
Основное свойство ряда распределения: |
|
|
|
p xi 1. |
|
(4.1) |
|
i |
|
|
|
Пример 4.2. Монетка бросается на идеальную горизонтальную поверхность 3 раза. Пусть X - число появлений герба в данном эксперименте. Построить ряд распределения.
Решение.
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
p xi |
0,125 |
0,375 |
0,375 |
0,125 |
Стаценко И.В. Лекция 4. Теория вероятностей и математическая статистика
3
3. Функция распределения случайной величины
Функция распределения, в отличие от ряда распределения, является универсальной характеристикой случайной величины, так как может быть задана для случайных величин дискретного и непрерывного типа.
Под функцией распределения от аргумента |
x случайной величины |
X понимают зависимость F (x) , задаваемую правилом |
|
F (x) P( X x) . |
(4.2) |
Таким образом, функция распределения F (x) |
случайной величины X |
есть вероятность того, что случайная величина X примет значения строго |
|
меньше некоторого текущего (фиксированного) значения x . |
Пример 4.3. В ящике находится 10 деталей, из которых три бракованные. Последовательно и безвозвратно извлекают четыре детали. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X - числа извлеченных бракованных деталей в данной выборке.
Решение:
Очевидно, что случайная величина X имеет дискретное множество значений - X 0,1, 2,3, .
Ряд распределения данной случайной величины имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( xi |
) |
|
|
|
|
|
0,167 |
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
0,0333 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
P(0) |
|
7 6 5 4 |
|
|
|
1 |
|
0,167 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
10 9 8 7 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
P(1) |
3 7 6 5 |
|
|
7 3 6 5 |
|
|
|
7 6 3 5 |
|
|
|
7 6 5 3 |
|
0,5; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
10 9 8 7 |
|
10 9 8 7 |
|
10 9 8 7 |
|
10 9 8 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P(2) |
|
3 2 7 6 |
|
7 3 2 6 |
|
7 6 3 2 |
|
3 7 2 6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10 9 8 7 |
|
10 9 8 7 |
10 9 8 7 |
10 9 8 7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
7 |
|
6 |
|
2 |
|
7 |
|
3 |
|
6 |
|
2 |
0,3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
10 9 8 7 |
10 9 8 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
P(3) |
|
3 2 1 7 |
|
|
7 3 2 1 |
|
3 7 2 1 |
|
3 2 7 1 |
|
1 |
|
0,0333. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
10 9 8 7 |
|
10 9 8 7 |
10 9 8 7 |
10 9 8 7 |
30 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 4. Теория вероятностей и математическая статистика
4
Функцию распределения данной случайной величины можно представить в табличном виде следующим образом:
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
x 3 |
F(xi ) |
0 |
0,167 |
0,667 |
0,967 |
1 |
Где F (0) P( X 0) 0;
F (1) P( X 1) P(0) 0 ;
F (2) P( X 2) P(0) P(1) 0,167 ;
F (3) P( X 3) P(0) P(1) P(2) 0,667 ;
F ( X 3) P( X 3) P(0) P(1) P(2) P(3) 1.
Свойства функции распределения случайной величины.
1.Функция распределения случайной величины является неубывающей функцией.
2.lim F (x) 0 .
3. |
lim F (x) 1. |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
4. |
Вероятность того, что случайная величина |
X окажется в интервале |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
значений |
, |
|
определяется |
равенством |
|
|
P( X ) F ( ) F ( ) . |
|
|
|
||
|
|
4.Функция плотности вероятности |
|
|||
|
Плотность вероятности является характеристикой случайной |
|||||
величины непрерывного типа. |
|
|
|
|
||
|
Функция f (x) |
плотности распределения |
случайной величины X в |
точке x есть предел отношения вероятности попадания случайной величины на бесконечно малый участок к длине данного участка, т.е.
f (x) lim |
P(x X x x) |
lim |
F (x x) F (x) |
F (x) . (4.3) |
|
x |
x |
||||
x 0 |
x 0 |
|
|||
|
|
|
Свойства функции плотности вероятности случайной величины X .
1. P( X ) f (x)dx F ( ) F ( ) ,
где ,b - константы.
Стаценко И.В. Лекция 4. Теория вероятностей и математическая статистика
![](/html/91653/141/html_jbXtaeJM9z.gGPG/htmlconvd-6WU7tJ5x1.jpg)
5
2. x f (x) 0 - плотность распределения является неотрицательной функцией.
3. f (x) 1.
4. f (x) F (x) .
5. F (x) x |
f (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
Пример 4.4. Время ожидания t |
(мин) очередного вызова скорой |
||
помощи на станции скорой помощи |
имеет плотность |
вероятности, |
|
определяемую |
следующей функцией |
f (t) 0,1e 0,1t . |
Определить |
вероятность того, что вызов придет не более чем, через 15 мин.
Решение:
Необходимо найти вероятность события A , заключающегося в том, что время ожидания будет находиться в диапазоне 0 t 15 , т.е.
15
P( A) P(0 t 15) 0,1e 0,1t dt e 0,1t 150 e 1,5 1 0,777.
0 |
|
|
|
|
Пример 4.5. Определить |
|
недостающий параметр k функции |
||
плотности вероятности случайной величины, имеющей следующий вид: |
||||
f (x) 0, |
|
|
для x 1, |
|
|
- x |
, |
для |
1 x 2, |
f (x) ke |
|
|||
f (x) 0, |
|
|
для |
x 2. |
|
|
|
|
|
Решение: Используя свойство 3 функции плотности вероятности |
||||
случайной величины, получим |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ke x dx 1 ke x |
2 1 ke 2 ke 1 1 k 4,3. |
|||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 4. Теория вероятностей и математическая статистика
![](/html/91653/141/html_jbXtaeJM9z.gGPG/htmlconvd-6WU7tJ6x1.jpg)
6
5.Модели некоторых непрерывных распределений случайной величины
Рассмотрим наиболее распространенные в практике модели распределений непрерывной случайной величины.
5.1. Равномерное распределение
Непрерывная |
|
|
|
|
случайная величина |
X |
имеет равномерное |
|||||||||||
распределение на отрезке a,b , если на этом отрезке плотность распределения |
||||||||||||||||||
постоянна, а вне его равна нулю |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (x) |
|
|
|
c const, |
a x |
b; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x a |
и x b. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
||||||
Постоянную |
c найдем, |
используя |
известное |
свойство плотности |
||||||||||||||
распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
cdx 1 |
|
|
|
|
c(b a) 1 |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
c |
|
||||||||||||||
b a |
||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные характеристики равномерно распределенной случайной |
||||||||||||||||||
величины определяются по формулам |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
mx |
b a |
- центр распределения; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
- |
среднее |
квадратическое отклонение СВ, |
|||||||||
|
|
a b |
|
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеющей равномерное распределение, от центра распределения.
Равномерному распределению подчинено, как правило, время ожидания события, имеющего некоторую регулярную периодичность наступления.
Пример 4.6. На некоторой станции поезда метрополитена следуют с равномерным интервалом времени 2 минуты. Определить среднее время ожидания поезда, среднее квадратическое отклонение времени ожидания, а также вероятность того, что время ожидания не превзойдет 1,5 мин.
Решение:
Полагаем, что случайная величина T - время прибытия поезда имеет равномерное распределение на отрезке 0, 2 , тогда
m |
2 |
1мин; |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
0,333 0,58 мин. |
|||||
|
||||||||
t |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 4. Теория вероятностей и математическая статистика
![](/html/91653/141/html_jbXtaeJM9z.gGPG/htmlconvd-6WU7tJ7x1.jpg)
7
Вероятность события T 1,5 найдем, воспользовавшись известным
свойством плотности вероятности P(a X ) f (x)dx .
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
dt |
|
1,5 |
|
||
P(T 1,5) |
|
|
|
|
0,75 . |
|
2 |
2 |
|||||
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
5.2.Показательное распределение
Плотность вероятности случайной величины X , имеющей показательное распределение, задается следующим образом:
e x , |
0, |
x 0. |
|
f (x) |
0, |
x 0. |
|
|
|
||
|
|
|
Основные числовые характеристики случайной величины, имеющей показательное распределение, определяются по формулам
mx |
1 |
; |
x |
1 |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
Показательному распределению подчинено, как правило, время работы до момента отказа различных технических систем и устройств.
На рис 4.1. представлена функция плотности вероятности показательного распределения для =1 .
1
0.9
0.8
0.7
0.6
f(x) 0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
x
Рис. 4.1.
Стаценко И.В. Лекция 4. Теория вероятностей и математическая статистика
![](/html/91653/141/html_jbXtaeJM9z.gGPG/htmlconvd-6WU7tJ8x1.jpg)
8
Пример 4.7. Электронасос подачи воды в системе водоснабжения в среднем работает до момента отказа 25000 часов. Определить вероятность того, что а) данный электронасос проработает не менее 25000 часов; б) данный электронасос проработает менее 30000 час
Решение: Полагаем, что случайная величина T - время работы электронасоса до момента отказа имеет показательное распределение и известно математическое ожидание данной величины, т. е. mt 25000
1 / 25000.
Далее используем свойства плотности вероятности случайной величины
P(T t) 1 F (t) 1 t |
f (t)dt ; |
P(T t) t |
f (t)dt . |
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Определим вероятность того, что насос проработает не менее 25000 |
|||||||||||
часов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25000 |
|
t |
|
|
|
t |
|
|
||
|
25000 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
25000 |
|
|
|
P(T 25000) 1 |
|
dt 1 ( e |
25000 ) |
0,37. |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
25000 |
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим вероятность того, что насос проработает менее 30000 часов
30000
P(T 30000) 1 e 25000 0,7 .
5.3. Нормальное распределение
Нормальное распределение - наиболее часто встречающееся распределение случайных величин в природе. Распространенность нормального распределения объясняется тем, что оно является предельным распределением, к которому приближаются другие распределения при условиях, довольно часто встречающихся на практике.
В фундаментальном курсе теории вероятностей А.М.Ляпуновым сформулирована, так называемая, центральная предельная теорема:
распределение суммы достаточно большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин с примерно одинаковыми дисперсиями и произвольными распределениями приближается к нормальному распределению.
Обоснование нормального распределения исторически связывают с именем К.Гаусса, поэтому его часто называют также распределением Гаусса.
Плотность нормального закона распределения может быть представлена в следующем виде
|
|
1 |
|
|
|
( x mx )2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
f (x) |
|
|
|
|
e |
|
2 x |
, |
x |
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
Стаценко И.В. Лекция 4. Теория вероятностей и математическая статистика
![](/html/91653/141/html_jbXtaeJM9z.gGPG/htmlconvd-6WU7tJ9x1.jpg)
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
где |
mx |
и x - |
математическое |
ожидание |
и |
среднее |
квадратическое |
|
отклонение случайной величины X , |
имеющей нормальное распределение. |
|||||||
Величины |
mx и x |
также |
называют параметрами нормального закона |
|||||
распределения. |
|
|
|
|
|
|
||
|
На рис 4.2. представлена функция плотности вероятности |
|||||||
нормального распределения для mx =3 и x 1. |
|
|
|
|||||
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.05 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Рис. 4.2.
Свойства нормального распределения:
1.Нормальное распределение полностью характеризуется (задается) двумя параметрами - математическим ожиданием и дисперсией (средним квадратическим отклонением).
2.Нормальное распределение случайной величины X является
|
симметричным относительно mх . |
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Максимум |
плотности |
вероятности |
|
распределения отвечает |
|||||
|
абсциссе равной mx . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f (mx ) fmax |
(x) |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
lim f (x) lim |
f (x) 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
На отрезке mx x X mx |
x |
случайная величина X распределяется |
|||||||
с вероятностью P(S1 ) 0,683. См. рис. 4.3. |
|
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 4. Теория вероятностей и математическая статистика
![](/html/91653/141/html_jbXtaeJM9z.gGPG/htmlconvd-6WU7tJ10x1.jpg)
10
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
0.35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) |
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.338 10 4 |
|
0.05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
7 |
|
|
Рис. 4.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
На |
отрезке |
mx |
2 x |
X mx |
2 x |
случайная |
величина |
X |
|
|
распределяется с вероятностью P(S2 ) 0,954. См. рис. 4.3. |
|
||||||||
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
0.35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) |
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.338 10 4 |
|
0.05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
7 |
|
|
|
Рис. 4.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
На |
отрезке |
mx |
3 x |
X mx |
3 x |
случайная |
величина |
X |
|
|
распределяется с вероятностью P(S3 ) 0,997 . |
|
|
|
||||||
|
Последнее свойство нормального распределения получило название |
|||||||||
правила |
трех сигм: на интервале mx 3 x |
X mx |
3 x рассеивается |
примерно 99,7% значений случайной величины X .
Стаценко И.В. Лекция 4. Теория вероятностей и математическая статистика