Л4 - матстат

Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

t1 /2 n m 2 ,

n m 1 - квантиль уровня 1 / 2 распределения Стьюдента с

числом степеней свободы n m 2 .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

1.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

5. Решение задачи сдвига для двух выборок из нормальных генеральных

совокупностей

Постановка задачи: Даны две выборки из нормальных генеральных

совокупностей:

x1, x2 , x3 ,..., xn , y1, y2 , y3 ,..., ym .

На уровне значимости

принять

(отклонить) гипотезу

H0 : mx my ,

против

альтернативы

H1 : mx my .

Случай 1. Известны генеральные дисперсии:

и 2 .

Решение:

Из теории вероятностей известно,

что

случайная величина

X Y

где

xi ;

yi имеет

стандартное

n i 1

m i 1

нормальное

распределение

Z N 0,1 .

Тогда

условие принятия

нуль-

гипотезы при двусторонней критической области имеет вид:

u1 /2 ,

(22)

где

u1 /2 -

квантиль

уровня

1 / 2

стандартного

нормального

распределения.

Случай 2.

Генеральные дисперсии 2 и

2 неизвестны, но гипотеза

H0 : x2 y2

принимается.

Решение:

Из

теории вероятностей известно,

что

случайная величина

X Y

где

;

yi ,

n i 1

m i 1

	2	2			1	n
s2	(n 1)s1	(m 1)s2	,	s12		X i
	n m 2
					n 1 i 1

имеет распределение Стьюдента c числом

X 2 ,	s22 1		Yi Y 2
			m

		m 1 i 1
степеней свободы			n m 2 .

Тогда условие принятия нуль-гипотезы при двусторонней критической области имеет вид:

Л 4 Математическая статистика. Стаценко И.В.

Пример 5. Даны две выборки из нормальных генеральных совокупностей

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
18,9	18,7	22,4	23,3	20	19	19,4	17,8	20,3	21,8	17,8	14,06	18	18,8	19
17,5	20,2	21,1	19,9	21,6	21	20,5	20,2	21,7	20,5	19,8	16,8	21,6	19,7	21

1.На уровне значимости 0,05 принять (отклонить) гипотезу о равенстве генеральных математических ожиданий, если генеральные дисперсии

известны и равны: 2

2 2.

Решение: (полагаем, что красным цветом обозначена выборка X , а синим

цветом выборка Y

19, 28 ;

yi 20, 21;

n i 1

X Y

1,46 ;

u0,975 1,96 .

Так как 1, 46 1,96 гипотеза

H0 : mx my принимается.

2.На уровне значимости 0,05 принять (отклонить) гипотезу о равенстве генеральных математических ожиданий, если генеральные дисперсии не известны.

2 1,98

Решение: s12

4,85 ; s22

n 1 i 1

m 1 i 1

(n 1)s12 (m 1)s22

3,3

;

n m 2

X Y

1,39;

t0,975 29 2,04;

Так как 1,39 2,04 гипотеза H0

: mx my принимается.

Л 4 Математическая статистика. Стаценко И.В.

6. Решение задачи масштаба для двух выборок из нормальных генеральных совокупностей

Постановка задачи: Даны две выборки из нормальных генеральных совокупностей: x1, x2 , x3 ,..., xn , y1, y2 , y3 ,..., ym . На уровне значимости

принять (отклонить) гипотезу

2 2 , против

альтернативы

H :

2 2 .

Решение:

Из

теории

вероятностей известно,

что

случайная

величина

s1 Dy

2 ;

n 1;m 1

где

n 1 i 1

2 x

s22

имеет

распределение

Фишера

числом

степеней

m 1 i 1

свободы:

n 1;m 1 .

В этом случае критическая область из двусторонней

трансформируется в правостороннюю при использовании условия s2

s2 ,

тогда условие принятия нуль-гипотезы имеет вид:

n 1;m 1 ,

(19)

/ 2

s22

где F

n 1;m 1

квантиль распределения Фишера уровня 1 / 2 и

1 /2

числа степеней свободы:

n 1;m 1 .

Примечание 1.

Для альтернативной гипотезы

H : 2

2 критическая

область правосторонняя. В этом случае условие принятия нуль-гипотезы имеет вид:

		s12		F	n 1;m 1	,	s2	s2	(20)
				F	n 1;m 1	,	s2	s2	(20)
		s	2	1			1	2
1			2
1
где F	n 1;m 1	-	квантиль распределения					Фишера уровня	1 и

числа степеней свободы: n 1;m 1 .

Л 4 Математическая статистика. Стаценко И.В.

Пример 6. Даны две выборки из нормальных генеральных совокупностей

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
18,9	18,7	22,4	23,3	20	19	19,4	17,8	20,3	21,8	17,8	14,06	18	18,8	19
17,5	20,2	21,1	19,9	21,6	21	20,5	20,2	21,7	20,5	19,8	16,8	21,6	19,7	21

На уровне значимости 0,05 принять (отклонить) гипотезу о равенстве генеральных дисперсий

Решение: (полагаем, что красным цветом обозначена выборка X , а

синим цветом выборка Y .

xi 19, 28 ;

20, 21;

n i 1

2 1,98 ;

s12

X i

4,85 ;

s22

n 1 i 1

m 1 i 1

F0,975 14;14 2,979 .

Так как 1,98 2,979 гипотеза

H0 : Dx Dy принимается.

Л 4 Математическая статистика. Стаценко И.В.

Приложение 1

Критерий Викоксона-Манна-Уитни
		n1 3
		n2 1	n2 2	n2 3
	wн 0	0,250	0,100	0,050
	wн 1	0,500	0,200	0,100
	wн 2	0,750	0,400	0,200
	wн 2
	wн 3		0,600	0,350
	wн 4			0,500
	wн 5			0,650
		n1 4
		n2 1	n2 2	n2 3	n2 4
	wн 0	0,200	0,067	0,028	0,014
	wн 1	0,400	0,133	0,057	0,029
	wн 2	0,600	0,267	0,114	0,057
	wн 2
	wн 3		0,400	0,200	0,100
	wн 4		0,600	0,314	0,171
	wн 5			0,429	0,243
	wн 6			0,571	0,343
	wн 7				0,344
	wн 8				0,577

	n1 5
	n2 1	n2 2	n2 3	n2 4	n2 5
wн 0	0,167	0,047	0,018	0,008	0,004
wн 1	0,333	0,095	0,036	0,016	0,008
wн 2	0,500	0,190	0,071	0,032	0,016
wн 2	0,667	0,286	0,125	0,056	0,028
wн 3	0,667	0,286	0,125	0,056	0,028
wн 3
wн 4		0,429	0,196	0,095	0,048
wн 5		0,571	0,286	0,143	0,075
wн 6			0,393	0,206	0,111
wн 7			0,500	0,278	0,155
wн 8			0,607	0,365	0,210
wн 8
wн 9				0,452	0,274
wн 10				0,548	0,345
wн 11					0,421
wн 12					0,500

Л 4 Математическая статистика. Стаценко И.В.

16

		wн 13										0,579
							Приложение 1 (продолжение)
	Критерий Викоксона-Манна-Уитни
				n1 6
		n2 1	n2 2			n2 3	n2 4			n2 5	n2 6
	wн 0	0,143	0,036		0,012		0,005		0,002		0,001
	wн 1	0,286	0,071		0,024		0,010		0,004		0,002
	wн 2	0,428	0,143		0,048		0,019		0,009		0,004
	wн 2	0,571	0,214		0,083		0,033		0,015		0,008
	wн 3	0,571	0,214		0,083		0,033		0,015		0,008
	wн 3
	wн 4		0,321		0,131		0,057		0,026		0,013
	wн 5		0,429		0,190		0,086		0,041		0,021
	wн 6		0,571		0,274		0,129		0,063		0,032
	wн 6
	wн 7				0,357		0,176		0,089		0,047
	wн 8				0,452		0,238		0,123		0,066
	wн 9				0,548		0,305		0,165		0,090
	wн 9
	wн 10						0,381		0,214		0,120
	wн 11						0,457		0,268		0,155
	wн 12						0,545		0,331		0,197
	wн 12
	wн 13								0,396		0,242
	wн 14								0,465		0,294
	wн 15								0,535		0,350
	wн 15
	wн 16										0,409
	wн 17										0,469
	wн 18										0,531
	wн 18
								n1 7
		n2 1	n2 2		n2 3		n2 4		n2 5		n2 6		n2 7
	wн 0	0,125	0,028		0,008		0,003		0,001		0,001		0,000
	wн 1	0,250	0,056		0,017		0,006		0,003		0,001		0,001
	wн 2	0,375	0,111		0,033		0,012		0,005		0,002		0,001
	wн 2	0,500	0,167		0,058		0,021		0,009		0,004		0,002
	wн 3	0,500	0,167		0,058		0,021		0,009		0,004		0,002
	wн 3	0,625	0,250		0,092		0,036		0,015		0,007		0,003
	wн 4	0,625	0,250		0,092		0,036		0,015		0,007		0,003
	wн 4
	wн 5		0,333		0,133		0,055		0,024		0,011		0,006
	wн 6		0,444		0,192		0,082		0,037		0,017		0,009
	wн 7		0,556		0,258		0,115		0,053		0,026		0,013
	wн 7
	wн 8				0,333		0,158		0,074		0,037		0,019
	wн 9				0,417		0,206		0,101		0,051		0,027
	wн 10				0,500		0,264		0,134		0,069		0,036
	wн 10
Л 4 Математическая статистика. Стаценко И.В.

wн 11

0,583

0,324

0,172

0,090

0,049

Приложение 1 (продолжение)

Критерий Викоксона-Манна-Уитни

		n1 7
	n2 1	n2 2	n2 3	n2 4	n2 5	n2 6	n2 7
wн 12				0,394	0,216	0,117	0,064
wн 13				0,464	0,265	0,147	0,082
wн 14				0,538	0,319	0,183	0,104
wн 14
wн 15					0,378	0,223	0,130
wн 16					0,438	0,267	0,159
wн 17					0,500	0,314	0,191
wн 17					0,562	0,365	0,238
wн 18					0,562	0,365	0,238
wн 18
wн 19						0,418	0,267
wн 20						0,473	0,310
wн 21						0,527	0,355
wн 21
wн 22							0,402
wн 23							0,451
wн 24							0,500
wн 24							0,549
wн 25							0,549
wн 25

Л 4 Математическая статистика. Стаценко И.В.

Приложение 2

Критические значения m1 p и m2 p статистики Муда ( p - доверительная вероятность)


			p							p
n1	n2					n1	n2
n1	n2	0,90		0,95		n1	n2	0,9			0,95
		m1	m2	m1	m2			m1	m2		m1	m2
2	6	1	18	1	18	6	10	65	191		55	203
2	7	1	25	1	25	6	11	74	217		62	230
2	8	2	32	1	32	6	12	81	245		69	259
2	9	2	34	1	41	6	13	90	274		75	291
2	10	2	50	1	50	6	14	99	303		83	323
2	11	3	57	1	61	7	7	68	160		60	168
2	12	3	72	2	72	7	8	76	185		67	196
2	13	4	74	2	80	7	9	86	214		74	224
3	3	3	15	3	15	7	10	95	243		83	255
3	4	5	22	2	22	7	11	106	274		92	290
3	5	5	27	3	31	7	12	116	307		100	324
3	6	5	34	5	36	7	13	128	342		110	362
3	7	9	43	5	47	8	8	106	234		94	246
3	8	9	51	5	57	8	9	117	267		104	280
3	9	9	63	7	71	8	10	130	302		116	318
3	10	11	77	8	81	8	11	144	338		127	356
3	11	13	87	9	93	8	12	158	378		138	398
4	4	9	33	9	33	9	9	156	328		140	344
4	5	11	42	9	45	9	10	172	369		155	386
4	6	15	53	11	55	5	10	42	147		34	155
4	7	15	66	14	70	5	11	47	107		39	179
4	8	19	79	15	83	5	12	54	190		43	203
4	9	21	93	15	101	6	6	41	101		35	107
4	10	23	107	19	117	6	7	46	123		39	130
5	5	21	61	17	65	6	8	51	143		43	151
5	6	25	76	20	79	6	9	59	166		50	176
5	7	29	91	23	95	9	11	188	410		168	432
5	8	33	107	27	114	10	10	220	444		200	464
5	9	37	125	31	135

Л 4 Математическая статистика. Стаценко И.В.

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024501.59 Кб2Л1-ТВ.pdf
#
16.05.20241.11 Mб3Л2-матстат.pdf
#
16.05.2024451.07 Кб2Л2-ТВ.pdf
#
16.05.2024829.51 Кб3Л3-матстат.pdf
#
16.05.2024394.41 Кб2Л3-ТВ.pdf
#
16.05.20241.09 Mб3Л4 - матстат.pdf
#
16.05.2024453.96 Кб2Л4-ТВ.pdf
#
16.05.20241.06 Mб4Л5-матстат.pdf
#
16.05.2024400.2 Кб2Л5-ТВ.pdf
#
16.05.2024377.37 Кб3Л6-матстат.pdf
#
16.05.2024489.81 Кб2Л6-ТВ.pdf